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平面图的线性荫度、均匀染色和全染色

谭香  
【摘要】:图论起源于18世纪,最早关于图论的文章是在1736年由Euler完成的,这篇文章用图的方法解决了著名的哥尼斯堡七桥问题.自二十世纪五十年代以来,由于计算机科学的迅速发展,有力地推动了图论的发展,关于图论方面的结果大量涌现.四色猜想作为图的染色问题的起源,一直引领着图论的发展,并使得图的染色理论成为图论中的一个重要分支.图的染色理论在最优化、计算机理论、网络设计、时间表问题等方面都有着重要的应用.本文主要讨论图的几类染色问题,如图的线性荫度、均匀染色及全染色等. 本文所考虑的图都是有限简单图.给了一个平面图G,我们用V(G),E(G),F(G)和△(G)分别表示图G的顶点集,边集,面集及最大度.给了一个实数x,[x]和[x]分别表示不小于χ的最小整数和不超过χ的最大整数. 图G的正常κ-全染色是指用κ种颜色对V(G)∪E(G)中的元素进行染色,使得相邻的或者相关联的两个元素染不同的颜色.使得图G存在正常的κ-全染色的最小正整数κ称为G的全色数,记作χ"(G).类似地,如果我们只对图G的顶点(边)染色,那么就可以得到图G的点色数χ(G)(边色数χ'(G)). 一个线性森林是每一个极大连通分支均为路的图.对于一个图G,φ是从E(G)到{1,2,…,t}的映射.若对任意α,1≤α≤t,均有染α色的边的导出子图是一个线性森林,则称φ为图G的一个线性t-染色.图的线性荫度是使得G有一个线性t-染色的最小t值,记为la(G).此定义由Harary于1970年提出.下面是一个著名的线性荫度猜想: 猜想1.对任何简单图G,均有[(?)]≤la(G)≤[(?)]. Peroche证明了:即使△(G)=4,确定图G的线性荫度也是一个NP-困难问题.本文第二章主要给出了一些平面图的线性荫度的确切值. 本文讨论的另一个问题是均匀染色.设φ是图G的一个正常κ-点染色,若(?)的任何两种不同颜色所染的顶点数目至多差1,则称(?)是G的一个均匀κ-染色.若G有一个均匀κ-染色,则称G是均匀κ-可染的.图G具有均匀κ-染色的最小正整数κ,称为G的均匀色数,记为Xe(G).1973年,Meyer提出以下猜想(均匀染色猜想): 猜想2.如果G是不为完全图和奇圈的连通图,则χe(G)≤Δ(G). 1994年,Chen,Li和Wu提出了以下猜想: 猜想3.如果G是一个连通图,且既不是完全图Kn,奇圈又不是完全二部图K2n+1,2n+1(n≥1),那么G是均匀△(G)-可染的. 本文将给出关于猜想3的几个结果. 对于全染色,Behzad和Vizing分别提出以下猜想: 猜想4.(全染色猜想)对任意图G,都有△(G)+1≤X″(G)≤△(G)+2. 该猜想目前还远没有解决,对于平面图G,如果最大度△(G)≠6,则该猜想已经被验证.另外当G为一个平面图且△(G)≥9时,X″(G)=△(G)+1.本文将会讨论△(G)≤8时,几类有限制条件的平面图的全色数. 本文共分四章.在第一章,我们介绍了图论中的一些定义、符号、本文所讨论的各种染色的进展状况及本文的主要结论,给出了一个简短但相对完整的综述. 在第二章,我们讨论了平面图的线性荫度.求得了几类有限制条件的平面图的线性荫度的确切值,以下是本章的主要结果: 结论1假设G是一个△(G)≥5的平面图.如果G不含5-圈和6-圈,则la(G)=[(?)]. 结论2令i和j是两个固定的正整数(3≤i≤j≤5).若G是一个△(G)≥7的平面图,且G中任意i-圈和j-圈均不相邻,则la(G)=[(?)]. 结论3令G是一个△(G)≥5的平面图.若G中每一个4-圈均不与i-圈相邻(Vi∈{3,4,5}),则la(G)=[(?)]. 在第三章,我们讨论了平面图的均匀染色.利用平面图的结构性质及换色法等技巧,改进了zhang和Yap的关于平面图均匀染色的结果.以下是本章的主要结果: 结论4若G是最大度△≥10的平面图,则对任意的正整数m≥△,图G都是均匀m-可染的. 结论5若G是最大度△≥6且不含3-圈的平面图,则对任意的正整数m≥△,G是均匀m-可染的. 结论6若G是最大度△≥7且不含4-圈的平面图,则对任意的正整数m≥△,G是均匀m-可染的. 在第四章,我们讨论了平面图的全染色.我们给出了有限制条件的两类平面图的全色数的精确值.以下是本章的结果: 结论7假设G是一个不含相邻4-圈的平面图.如果△≥8,那么X″(G)=△+1. 结论8假设G是一个△(G)≥6且不含相交4-圈的平面图,且G满足下列条件之一:(1)不含相交3-圈,(2)不含5-圈,(3)不含6-圈,则全色数X″(G)=△+1.


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