收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

非线性数学期望的性质及其在金融风险中的应用

胡锋  
【摘要】:由Pardoux和Peng[54],我们知道假定函数g关于变量y和z满足Lipschitz条件并且ξ和(g(t,0,0))0≤t≤T平方可积时,则倒向随机微分方程具有唯一的平方可积的适应解.我们称g为倒向随机微分方程(1)的生成元.记为倒向随机微分方程(1)的唯一的平方可积的适应解. 自从Pardoux和Peng[54]发表以来,研究者们得到了关于倒向随机微分方程的许多重要结果.例如,1997年,Peng[56]给出了g期望的定义并研究了其相关性质.1999年,Peng[57]得到了倒向随机微分方程的单调极限定理和非线性Doob-Meyer分解定理.2004年,Peng[60;62;63]研究了非线性动态相容评价并且得到了以下结果:在一个控制条件下,任意Ft适应的相容评价都是εg评价. 但是,在过去许多年,研究者们只在L2(Ω,FT,P)空间上研究g期望.显然,一个随机变量如果属于L1(Ω,FT,P)空间,则它的数学期望一定有意义.基于这个原因,在本篇论文中,我们给出了g期望的一个扩张即把它的定义域扩张到L(Ω,FT,P)空间中,称其为扩张的彭的g期望并研究了其相关性质.进而,我们研究了Lp(1<p<2)空间上倒向随机微分方程的单调极限定理和非线性Doob-Meyer分解定理并且给出了扩张的彭的g期望在金融风险中的一些应用. 自从Artzner et al.[1]发表以来,人们对于次线性期望或者更一般的凸期望(可见,Follmer和Schied[31],Frittelli和Rossaza Gianin[32])越来越感兴趣。由Peng[66;68;69;70;71;73;74]可知一个次线性期望可以表示为一族线性泛函{Eθ:θ∈Θ}的上确界,即在大多数情况下,次线性期望可以表示为这里P是一个不确定的概率分布族.次线性期望这一概念提供了一种稳健的方法来衡量一个风险损失Ⅹ.事实上,非线性期望理论提供了许多丰富、灵活和优雅的工具. 众所周知,古典概率极限定理在概率论的发展和应用领域发挥了至关重要的作用.但是,这类极限定理只能考虑可加概率或可加期望.实际上,很多不确定的现象不能被可加概率或可加期望所解释,这就使得概率或期望的可加性在很多领域已经被丢弃.为了进一步研究数理经济学、统计学和量子力学的一些问题,许多文章通过容度和非线性期望(例如,Choquet期望,9期望)来描述和解释这些不具有可加性的现象.近来,为了更好地研究风险测度、上-下对冲价格和金融模型的不确定性,Peng[66;68;69;70;71;73;74]给出了次线性期望下随机变量独立同分布的概念.而且,他得到了次线性期望下的大数定律和中心极限定理,从而把经典的结果从线性情形推广到非线性情形. 在本篇论文中,我们首次得到了在次线性期望下的一些极限结果。例如,由次线性期望诱导产生的容度的中心极限定理,由次线性期望诱导产生的容度的重对数率,由次线性期望诱导产生的容度的Cramer上界和满足较弱条件的次线性期望下的三个大数定律. 在Peng[66;69;70;73;74]中,一类最重要的次线性期望空间为G期望空间.作为在线性情况下Winener空间的对照,在Peng [66;69;70;73;74]中, G-Brownian运动,G-鞅,关于G-Brownian运动的Ito积分等概念也被介绍.这些概念具有非常丰富和有趣的新的结构而且不平凡地推广了经典结果.自从这些概念被提出以后,关于G-Brownian运动的许多性质已经被研究,可见,Denis, Hu和Peng [24], Gao [33], Gao和Jiang [34], Soner, Touzi和Zhang [80], Song [81], Xu和Zhang [87]. 在经典情形下,Brownian运动(Wiener过程)的极限理论在概率论的发展和应用领域发挥了非常重要的作用.人们已经得到了Wiener过程轨道的大量性质.例如,1964年,Strassen[83]研究了Brownian运动的重对数率.1970年,Erdos和Renyi[30]研究了Brownian运动的大数定律.1979年,Csorgo和Revesz[19]研究了下述问题:Brownian运动的增量有多大,这个结果推广了Erdos和Renyi的大数定律和Strassen的重对数率.后来,关于Brownian运动的增量的许多性质被研究得到,可见,Hanson和Russo [35], Ortega和Wschebor[53]等. 在本篇论文中,我们首次得到关于G-Brownian运动的一些极限结果.例如,G-Brownian运动的连续模定理和G-Brownian运动的增量有多大问题. 以下是本文的结构和主要结论. 第一章:我们给出了g期望的一个扩张即把它的定义域扩张到L(Ω,FT,P)空间中,称其为扩张的彭的g期望并研究了其相关性质.进而,我们研究了Lp(1<p<2)空间上倒向随机微分方程的单调极限定理和非线性Doob-Meyer分解定理并且给出了扩张的彭的g期望在金融风险中的一些应用. 定理1.1.1(平稳性定理).假定g满足(A.2)和(A.3).对于ξ,ηn∈Lp(Ω,FT,P)(p 定理1.3.1.假定(ⅰ)-(ⅲ)成立,则(a)(ytn)的极限(yt)具有以下形式: 这里(gto)是(gtn)在Lp(0,T;P;R)中弱收敛的极限,(zt)是(ztn)在Lp(0,T;P;R)中弱收敛的极限,(At)是右连左极的增过程满足Ao=0和 (b)若进一步假定,(ytn)关于t一致收敛于(yt),则对于任意的p'∈(0,p),(ztn)在Lp(0,T;P;R)中强收敛到(zt),即 定理1.3.2.假定终端条件(yTn),生成元g和增过程(Atn)分别满足(A.1(?)),(A.2),(A.4)和(i).如果(ytn)单调递增收敛到yt且满足则(yt)为g-上解,即存在(zt)∈Lp(0,T;P;R)右连左极的增过程(At)满足Ao=0和E[(AT)p]<∞使得(yt,zt)是倒向随机微分方程的唯一解,这里(zt)是(ztn)在Lp(0,T;P;R)中弱收敛的极限,对于每一个t,At是Atn在Lp(Ω,Ft,P)中弱收敛的极限. 定理1.3.3.假定(Yt)是右连续的Lp g-上鞅且满足则(K)是g-上解,即存在右连左极的增过程(At)满足A0=0和使得(Yt)是倒向随机微分方程的唯一解. 定理1.3.4(非线性Doob-Meyer分解定理).假定g不依赖于y,(Xt)是右连续的Lp g-上鞍且满足则(Xt)具有以下分解 这里(Mt)是Lp g-鞅,(At)是右连左极的增过程满足Ao=0和 第二章:我们证明了超前倒向随机微分方程生成元g关于y满足单调和一般增长条件,关于z满足Lipschitz条件的解的存在唯一性定理并且给出了关于1维超前倒向随机微分方程的几个比较定理. 定理2.2.1.假定g满足假设条件2.1.2,则对于任意的终端条件和超前BSDE(2.1)具有唯一Ft-适应解 定理2.3.1.假定g1和g2满足假设条件2.1.2,并且若ξs1≥ξs2,则 第三章:我们首次得到了在次线性期望下的一些极限结果.例如,由次线性期望诱导产生的容度的中心极限定理,由次线性期望诱导产生的容度的重对数率,由次线性期望诱导产生的容度的Cramer上界和满足较弱条件的次线性期望下的三个大数定律. 定理3.1.1.是次线性期望E下独立同分布的随机变量序列.记假定E[X1]=E[-X1]=0,则对于任意的r>2,都存在一个不依赖于n的正实数Kr使得对于任意的n∈N,有 定理3.2.1(容度下的中心极限定理).是次线性期望E下独立同分布的随机变量序列.记若E[X1]=E[-X1]=0,则(1)如果y是V的连续点,我们有 (2)如果y是v的连续点,我们有这里 定理3.3.1(容度下的重对数率).假定是次线性期望E下有界的独立同分布的随机变量序列,且满足(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)假定C({xn})是{xn}在R中的聚点的集合,则 定理3.4.1(次线性期望下的一般大数定律).假定是次线性期望空间(Ω,Η,E)中的随机变量序列满足以下条件: (ⅰ)每一个Xi+1独立于(X1,…,Xi),i=1,2,…; (ⅲ)存在常数μ,μ,使得(?) (ⅳ)则对于任意满足连续和线性增长条件的函数φ,都有 定理3.4.2(容度下的一般强大数定律).假定是次线性期望空间(Ω,Η,E)中的随机变量序列满足定理3.4.1的条件,则 (Ⅰ) (Ⅱ)(?)b∈[μ,μ], (Ⅲ) 定理3.4.3(容度下的一般弱大数定律).假定是次线性期望空间(Ω,Η,E)中的随机变量序列满足定理3.4.1的条件,则对于任意的ε>0,有 定理3.5.1(Cramer上界).是次线性期望E下独立同分布的随机变量序列.则我们有:对于任意的闭集F(?)R,这里Λ*(·)是凸的速率函数. 第四章:我们首次得到关于G-Brownian运动的一些极限结果.例如,G-Brownian运动的连续模定理和G-Brownian运动的增量有多大问题. 定理4.1.1(G-Brownian运动的连续模定理).假定(Bt)t≥0是1维G-Brownian运动满足则(Ⅰ)(Ⅱ)(?)σ∈[σ,σ], 定理4.2.1.假定(Bt)t≥0是1维G-Brownian运动满足如果aT(T≥0)是一列关于T非单调下降的序列且满足 (ⅰ)0aT≤T(T≥0), (ii)aT/T芋非单调上升,则(Ⅰ) (Ⅱ)(?)σ∈[σ,σ], (Ⅲ)若或者aT≡1,则 (Ⅳ)若则对于任意的σ∈[σ,σ],有


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 方世祖;广义n参数Wiener过程和OUP_n的一类导出过程[J];广西大学学报(自然科学版);1996年02期
2 刘刚,韩汝珊;考虑质量效应的混合态中的vortex物质的Brownian运动[J];低温物理学报;2000年04期
3 谭智平,缪柏其;分布变点模型的非参数检验和区间估计[J];数学年刊A辑(中文版);2001年05期
4 王海燕,包景东;二维Brownianmotor工作模型[J];北京师范大学学报(自然科学版);2002年05期
5 倪文清;关于连续轨道Brownian Sheet存在性的证明[J];福建师范大学学报(自然科学版);2003年01期
6 黄志远;量子随机分析(英文)[J];数学进展;1988年04期
7 邵先喜,尹传存;暂留Bessel过程的将来极小值及其位置的联合分布(英文)[J];数学研究与评论;2001年03期
8 吴荣;与布朗运动有关的一个更新问题[J];数学进展;1984年03期
9 刘禄勤,章逸平;条件马尔可夫过程的表示(英文)[J];数学杂志;1990年01期
10 杨忠鹏;Brownian矩阵环中的群逆与Drazin逆[J];抚州师专学报;1994年01期
11 白苏华 ,蔡长林;平面布朗运动首中椭园之分布[J];四川大学学报(自然科学版);1982年02期
12 赵忠信;局部Feynman-Kac半群(英文)[J];系统科学与数学;1982年04期
13 陈典发;Bessel过程的位势及有关问题[J];数学学报;1985年04期
14 张春生;关于二参数时间变换[J];数学物理学报;1987年04期
15 汪茂泉;磁扰动引起的托卡马克中的反常输运(英文)[J];中国核科技报告;1990年00期
16 赵学雷;关于布朗运动首中时的注[J];工程数学学报;1990年03期
17 秦永松;三类密度估计收敛速度的比较[J];数学杂志;1991年03期
18 李俊平,侯振挺;SG(2,3)上的布朗运动[J];长沙铁道学院学报;2000年01期
19 雷晓莉,向开南;关于流形上鞅的内向爆发(英文)[J];数学进展;2000年04期
20 ;系统科学与数学第23卷2003年总目次[J];系统科学与数学;2003年04期
中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 ;Exponential Stability of Neutral Reaction Diffusion Systems with Brownian Noise[A];第二十九届中国控制会议论文集[C];2010年
2 ;Brownian Dynamics Simulations of the Recognition of the Scorpion Toxin Maurotoxin with the Voltage-gated Potassium Ion Channels[A];第九次全国生物物理大会学术会议论文摘要集[C];2002年
3 ;A Fluctuating Lattice-Boltzmann Model for Direct Numerical Simulation of Particle's Brownian Motion[A];中国颗粒学会第六届学术年会暨海峡两岸颗粒技术研讨会论文集(下)[C];2008年
4 ;TEMOM Method for Nanoparticle Brownian Coagulation in the Entire Size Regime[A];中国颗粒学会第六届学术年会暨海峡两岸颗粒技术研讨会论文集(上)[C];2008年
5 ;Stochastic Differential Games of Fully Coupled Forward-backward Stochastic Systems under Partial Information[A];第二十九届中国控制会议论文集[C];2010年
6 ;Pricing Reset Option in a Fractional Brownian Motion Market[A];中国自动化学会控制理论专业委员会B卷[C];2011年
7 ;Mean-Field Backward Stochastic Differential Equations With Continuous Coefficients[A];中国自动化学会控制理论专业委员会C卷[C];2011年
8 赵歆波;邹晓春;赵荣椿;;一种计算各向异性分形维数的新方法[A];信号与信息处理技术第三届信号与信息处理全国联合学术会议论文集[C];2004年
9 戴建岗;杨建奎;尤建功;张汉勤;;Last-Buffer-First-Served服务规则下Re-entrant Line扩散逼近的简单证明(英文)[A];中国运筹学会第七届学术交流会论文集(下卷)[C];2004年
10 朱位秋;邓茂林;;拟Hamilton系统随机平均法在活性布朗粒子动力学研究中的应用[A];祝贺郑哲敏先生八十华诞应用力学报告会——应用力学进展论文集[C];2004年
中国博士学位论文全文数据库 前8条
1 曾才斌;分数Brownian运动驱动的随机微分方程的动力学研究及统计分析[D];华南理工大学;2013年
2 焦丽;带漂移项的Brownian运动的概率估计问题以及P-adics上的Lévy过程的时间问题[D];复旦大学;2007年
3 胡锋;非线性数学期望的性质及其在金融风险中的应用[D];山东大学;2011年
4 闻继威;随机过程及其局部时和随机场的极限定理[D];浙江大学;2003年
5 王丽燕;随机利率下的寿险精算理论与方法的研究[D];大连理工大学;2004年
6 郑水草;稳定过程的水平集问题和图有向递归集的重分形分析[D];武汉大学;2004年
7 郭精军;高斯过程的局部时和随机流动形[D];华中科技大学;2011年
8 艾晓辉;高斯过程的KL展开及随机Logistic方程最优停时的研究[D];哈尔滨工业大学;2013年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 文书堂;分子马达定向运动物理机制研究[D];郑州大学;2004年
2 姜宏岸;三维分形地形的研究与实现[D];南京理工大学;2004年
3 范冰婵;一类分数随机微分方程解的存在唯一性[D];华中科技大学;2013年
4 曹云刚;基于分形原理的DEM数据内插及其三维显示技术[D];西南交通大学;2003年
5 吴芳琴;混合GARCH模型与分形Brown运动的研究[D];西北工业大学;2003年
6 李敏;次线性期望下的一般中心极限定理[D];山东大学;2010年
7 张冠男;倒向随机微分方程高精度数值方法[D];山东大学;2010年
8 金庆飞;随机FitzHugh-Nagumo格点系统的随机吸引子[D];上海师范大学;2011年
9 刘帆;壁面颗粒流运动的随机模型[D];清华大学;2010年
10 梁明杰;可加布朗单的局部时与某些独立高斯场的相交局部时[D];福建师范大学;2010年
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978