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《山东大学》 2011年
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非线性数学期望的性质及其在金融风险中的应用

胡锋  
【摘要】:由Pardoux和Peng[54],我们知道假定函数g关于变量y和z满足Lipschitz条件并且ξ和(g(t,0,0))0≤t≤T平方可积时,则倒向随机微分方程具有唯一的平方可积的适应解.我们称g为倒向随机微分方程(1)的生成元.记为倒向随机微分方程(1)的唯一的平方可积的适应解. 自从Pardoux和Peng[54]发表以来,研究者们得到了关于倒向随机微分方程的许多重要结果.例如,1997年,Peng[56]给出了g期望的定义并研究了其相关性质.1999年,Peng[57]得到了倒向随机微分方程的单调极限定理和非线性Doob-Meyer分解定理.2004年,Peng[60;62;63]研究了非线性动态相容评价并且得到了以下结果:在一个控制条件下,任意Ft适应的相容评价都是εg评价. 但是,在过去许多年,研究者们只在L2(Ω,FT,P)空间上研究g期望.显然,一个随机变量如果属于L1(Ω,FT,P)空间,则它的数学期望一定有意义.基于这个原因,在本篇论文中,我们给出了g期望的一个扩张即把它的定义域扩张到L(Ω,FT,P)空间中,称其为扩张的彭的g期望并研究了其相关性质.进而,我们研究了Lp(1<p<2)空间上倒向随机微分方程的单调极限定理和非线性Doob-Meyer分解定理并且给出了扩张的彭的g期望在金融风险中的一些应用. 自从Artzner et al.[1]发表以来,人们对于次线性期望或者更一般的凸期望(可见,Follmer和Schied[31],Frittelli和Rossaza Gianin[32])越来越感兴趣。由Peng[66;68;69;70;71;73;74]可知一个次线性期望可以表示为一族线性泛函{Eθ:θ∈Θ}的上确界,即在大多数情况下,次线性期望可以表示为这里P是一个不确定的概率分布族.次线性期望这一概念提供了一种稳健的方法来衡量一个风险损失Ⅹ.事实上,非线性期望理论提供了许多丰富、灵活和优雅的工具. 众所周知,古典概率极限定理在概率论的发展和应用领域发挥了至关重要的作用.但是,这类极限定理只能考虑可加概率或可加期望.实际上,很多不确定的现象不能被可加概率或可加期望所解释,这就使得概率或期望的可加性在很多领域已经被丢弃.为了进一步研究数理经济学、统计学和量子力学的一些问题,许多文章通过容度和非线性期望(例如,Choquet期望,9期望)来描述和解释这些不具有可加性的现象.近来,为了更好地研究风险测度、上-下对冲价格和金融模型的不确定性,Peng[66;68;69;70;71;73;74]给出了次线性期望下随机变量独立同分布的概念.而且,他得到了次线性期望下的大数定律和中心极限定理,从而把经典的结果从线性情形推广到非线性情形. 在本篇论文中,我们首次得到了在次线性期望下的一些极限结果。例如,由次线性期望诱导产生的容度的中心极限定理,由次线性期望诱导产生的容度的重对数率,由次线性期望诱导产生的容度的Cramer上界和满足较弱条件的次线性期望下的三个大数定律. 在Peng[66;69;70;73;74]中,一类最重要的次线性期望空间为G期望空间.作为在线性情况下Winener空间的对照,在Peng [66;69;70;73;74]中, G-Brownian运动,G-鞅,关于G-Brownian运动的Ito积分等概念也被介绍.这些概念具有非常丰富和有趣的新的结构而且不平凡地推广了经典结果.自从这些概念被提出以后,关于G-Brownian运动的许多性质已经被研究,可见,Denis, Hu和Peng [24], Gao [33], Gao和Jiang [34], Soner, Touzi和Zhang [80], Song [81], Xu和Zhang [87]. 在经典情形下,Brownian运动(Wiener过程)的极限理论在概率论的发展和应用领域发挥了非常重要的作用.人们已经得到了Wiener过程轨道的大量性质.例如,1964年,Strassen[83]研究了Brownian运动的重对数率.1970年,Erdos和Renyi[30]研究了Brownian运动的大数定律.1979年,Csorgo和Revesz[19]研究了下述问题:Brownian运动的增量有多大,这个结果推广了Erdos和Renyi的大数定律和Strassen的重对数率.后来,关于Brownian运动的增量的许多性质被研究得到,可见,Hanson和Russo [35], Ortega和Wschebor[53]等. 在本篇论文中,我们首次得到关于G-Brownian运动的一些极限结果.例如,G-Brownian运动的连续模定理和G-Brownian运动的增量有多大问题. 以下是本文的结构和主要结论. 第一章:我们给出了g期望的一个扩张即把它的定义域扩张到L(Ω,FT,P)空间中,称其为扩张的彭的g期望并研究了其相关性质.进而,我们研究了Lp(1<p<2)空间上倒向随机微分方程的单调极限定理和非线性Doob-Meyer分解定理并且给出了扩张的彭的g期望在金融风险中的一些应用. 定理1.1.1(平稳性定理).假定g满足(A.2)和(A.3).对于ξ,ηn∈Lp(Ω,FT,P)(p 定理1.3.1.假定(ⅰ)-(ⅲ)成立,则(a)(ytn)的极限(yt)具有以下形式: 这里(gto)是(gtn)在Lp(0,T;P;R)中弱收敛的极限,(zt)是(ztn)在Lp(0,T;P;R)中弱收敛的极限,(At)是右连左极的增过程满足Ao=0和 (b)若进一步假定,(ytn)关于t一致收敛于(yt),则对于任意的p'∈(0,p),(ztn)在Lp(0,T;P;R)中强收敛到(zt),即 定理1.3.2.假定终端条件(yTn),生成元g和增过程(Atn)分别满足(A.1(?)),(A.2),(A.4)和(i).如果(ytn)单调递增收敛到yt且满足则(yt)为g-上解,即存在(zt)∈Lp(0,T;P;R)右连左极的增过程(At)满足Ao=0和E[(AT)p]<∞使得(yt,zt)是倒向随机微分方程的唯一解,这里(zt)是(ztn)在Lp(0,T;P;R)中弱收敛的极限,对于每一个t,At是Atn在Lp(Ω,Ft,P)中弱收敛的极限. 定理1.3.3.假定(Yt)是右连续的Lp g-上鞅且满足则(K)是g-上解,即存在右连左极的增过程(At)满足A0=0和使得(Yt)是倒向随机微分方程的唯一解. 定理1.3.4(非线性Doob-Meyer分解定理).假定g不依赖于y,(Xt)是右连续的Lp g-上鞍且满足则(Xt)具有以下分解 这里(Mt)是Lp g-鞅,(At)是右连左极的增过程满足Ao=0和 第二章:我们证明了超前倒向随机微分方程生成元g关于y满足单调和一般增长条件,关于z满足Lipschitz条件的解的存在唯一性定理并且给出了关于1维超前倒向随机微分方程的几个比较定理. 定理2.2.1.假定g满足假设条件2.1.2,则对于任意的终端条件和超前BSDE(2.1)具有唯一Ft-适应解 定理2.3.1.假定g1和g2满足假设条件2.1.2,并且若ξs1≥ξs2,则 第三章:我们首次得到了在次线性期望下的一些极限结果.例如,由次线性期望诱导产生的容度的中心极限定理,由次线性期望诱导产生的容度的重对数率,由次线性期望诱导产生的容度的Cramer上界和满足较弱条件的次线性期望下的三个大数定律. 定理3.1.1.是次线性期望E下独立同分布的随机变量序列.记假定E[X1]=E[-X1]=0,则对于任意的r>2,都存在一个不依赖于n的正实数Kr使得对于任意的n∈N,有 定理3.2.1(容度下的中心极限定理).是次线性期望E下独立同分布的随机变量序列.记若E[X1]=E[-X1]=0,则(1)如果y是V的连续点,我们有 (2)如果y是v的连续点,我们有这里 定理3.3.1(容度下的重对数率).假定是次线性期望E下有界的独立同分布的随机变量序列,且满足(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)假定C({xn})是{xn}在R中的聚点的集合,则 定理3.4.1(次线性期望下的一般大数定律).假定是次线性期望空间(Ω,Η,E)中的随机变量序列满足以下条件: (ⅰ)每一个Xi+1独立于(X1,…,Xi),i=1,2,…; (ⅲ)存在常数μ,μ,使得(?) (ⅳ)则对于任意满足连续和线性增长条件的函数φ,都有 定理3.4.2(容度下的一般强大数定律).假定是次线性期望空间(Ω,Η,E)中的随机变量序列满足定理3.4.1的条件,则 (Ⅰ) (Ⅱ)(?)b∈[μ,μ], (Ⅲ) 定理3.4.3(容度下的一般弱大数定律).假定是次线性期望空间(Ω,Η,E)中的随机变量序列满足定理3.4.1的条件,则对于任意的ε>0,有 定理3.5.1(Cramer上界).是次线性期望E下独立同分布的随机变量序列.则我们有:对于任意的闭集F(?)R,这里Λ*(·)是凸的速率函数. 第四章:我们首次得到关于G-Brownian运动的一些极限结果.例如,G-Brownian运动的连续模定理和G-Brownian运动的增量有多大问题. 定理4.1.1(G-Brownian运动的连续模定理).假定(Bt)t≥0是1维G-Brownian运动满足则(Ⅰ)(Ⅱ)(?)σ∈[σ,σ], 定理4.2.1.假定(Bt)t≥0是1维G-Brownian运动满足如果aT(T≥0)是一列关于T非单调下降的序列且满足 (ⅰ)0aT≤T(T≥0), (ii)aT/T芋非单调上升,则(Ⅰ) (Ⅱ)(?)σ∈[σ,σ], (Ⅲ)若或者aT≡1,则 (Ⅳ)若则对于任意的σ∈[σ,σ],有
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O211.63

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