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《山东大学》 2011年
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自守L-函数在特殊点的非零问题

徐钊  
【摘要】:L-函数在中心点s=1/2处如何取值在很多研究方向中都是很深刻的研究课题,有重要的应用,譬如实的Dirichlet特征产生的Dirichlet L-函数在s=1/2是正的,这一事实可以推出虚二次域的类数的非常好的下界.从Hecke L-函数在中心点有好的正的下界就能证明Landau-Siegel零点不存在.除此之外,一些特定的Rankin-Selberg L-函数的非零结果对研究广义Ramanujan猜想有重要的作用(参见[32]). 2005年,Ramakrishnan和Rogawski [34]用相对迹公式得到了两类L-函数在中心点同时不为零的结果.他们证明了存在无穷多个N0使得L(1/2,(?)×X)L(1/2,(?))≠0,这里(?)是群r0(N)上权为κ的新形式,X是一个Dirichlet特征.此外,对单个的L-函数,有很多更强的非零的结果,可参见[1],[2],[18],[23],[24],[25],[31],[35].最近,Li[29]考虑了一个GL(3)×GL(2)上的Rankin-Selberg L-函数和一个GL(2)上的L-函数在1/2处同时非零的问题,证明了存在无穷多个这样的L-函数,使得它们在1/2同时不为零. 在本文中,我们考虑两类自守L-函数的乘积在1/2处的加权离散均值,这两类L-函数分别是GL(2)×GL(2)上的Rankin-Selberg L-函数和GL(2)上的Maass L-函数.首先,我们假设{uj}是SL(2,z)上的偶的Hecke-Maass形式的一组标准正交基.uj(z)有傅里叶展开我们假设是正规化的L-函数(RS1),它满足函数方程.假设g(z)是SL(2,Z)上权为κ的全纯Hecke eigenform,并且设λg(n)是正规化的傅里叶系数.定义Rankin-Selberg L-函数(RS1)那么它是全纯的,而且也满足相应的函数方程.考虑L(1/2,g×uj)L(1/2,uj)关于j的加权和,我们将要证明如下结果. 定理1.1.假设g(z)是SL(2,Z)上权为κ的全纯Hecke eigenform,{uj}是SL(2,Z)上偶的Hecke-Maass形式的一组标准正交基,且{uj}关于拉普拉斯算子的特征值是1/4+tj2.那么对于任意ε0和T1/3+ε≤M≤T1/2,我们有其中∑'表示只对偶的Hecke-Maass形式的标准正交基求和,且 (0.3)中的主项应该与[29]中定理1.1的主项比较,我们定理中的log T是在平移积分路径时经过的二阶极点时所得到的.定理的证明将借鉴Li[29]中的方法.首先我们由函数方程得到渐近函数方程,然后应用Kuznetsov迹公式将求和转化为含有Kloosterman sum的求和.我们展开Kloosterman sum,然后用Poisson求和公式和Voronoi求和公式,在这一过程中我们将两次应用stationary phase方法. 应用定理1.1及[10]和[7]中的结果,我们将证明 定理1.2.在定理1.1的假设下,存在无穷多个uj,使得上述结果说明了L(s,g×uj)和L(s,uj)可以在关键点s=1/2处同时不为零无限多次. 此外,我们还将证明下面的结果.定理1.3.我们有 注意L(1/2,g×uj)L(1/2,uj)的凸形上界是《(1+|uj|)3/2+ε,所以上述结果中的上界是这两类L-函数乘积的一个亚凸界.对于L(1/2,uj),目前最好的亚凸界是这个上界最初由Iwaniec[14]在适当的假设下给出证明,此后又被Ivic[13]和Jutila[21]无条件证明.对于L(1/2,g×uj),现在最好的亚凸界是由Lau-Liu-Ye[28]得到的:我们把L(s, uj)和L(s, g×uj)的analytic conductor分别记作C(uj)和C(g×uj).那么,根据Iwaniec-Sarnak [19],我们有所以,(0.6)和(0.7)的结果相当于黎曼zeta函数的Weyl上界的结果,从而相当于C(uj)1/6+ε和C(g×uj)1/6+ε.本文的目的不在于改进上述两个Weyl上界,而是用定理1.1及[28]和[21]的结果,进一步证明L(1/2,g×uj)和L(1/2,uj)同时非零的如下结论.定理1.4.在定理1.1的假设下,我们有 注意我们有下面的Weylaw:其中c是一个常数.由此可以看出(0.8)中的下界并不是最优下界,最优下界应是T2.
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O174

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