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Markov算子的渐近平稳性

胡琴琴  
【摘要】:Markov链在概率论、排队论、Monte Carlo的算法研究、随机动力系统、迭代函数系统以及统计物理学的研究中有着重要的应用。Markov链的遍历理论是研究Markov链的渐近性态的理论。不变测度的存在性和渐近稳定性是遍历论的重要研究内容。 一般来说,Markov链的渐近性态研究方法分两种:纯概率方法和纯分析方法。本文采用的是后一种方法。在纯分析方法中,一个重要研究工具是由Markov链的转移概率测度导出的测度空间或函数空间上的Markov算子,通过对Markov算子的渐近性态的研究,得到我们感兴趣的Markov链的渐近性态。渐近平稳性是描述Markov链渐近性态的最强性质。本文的重点是研究定义在Polish空间(即完备可分度量空间)上的非扩张半集中Markov算子和e-chain的渐近平稳性,以及状态空间为紧空间的Markov链的长期行为。本文共分为四个章节。 不变测度的存在性是Markov链的渐近性态的理论一个重要的研究课题,更是Markov算子渐近平稳性的前提条件。本文的第一章主要是总结文献中的定义在不同空间中具有不同性质的Markov算子的不变测度存在性的刻画。文献总结中包括三个空间:紧空间,局部紧可分度量空间以及本文中的重点空间Polish空间。在紧空间中,主要介绍了通用的证明思路,构造一个定义在有界连续泛函构成的空间上的不变正线性泛函,运用Riesz表示定理,找到不变测度。在局部紧可分度量空间中,重点介绍了A. Lasota和Yorke [2]中沿用上述思路,利用非扩张概念和下方有界方法所得到的不变测度存在条件;以及J.B. Lasserre [10]中得到关于Markov-Feller算子的不变测度存在的一个充要条件和她在2003年[11]中,得到容易验证的只用到一步转移概率的充分性条件。但是在Polsh空间中,Ch(x)的对偶空间不是测度空间,上述思路不可行。A.Lasota等波兰学派的学者们在polish空间中主要是基于测度序列的胎紧性来证明不变测度的存在性,J.Myjak和T.Szarek [12,13,14,15]构造一系列适度的“集中性”证明Markov算子不变测度存在性。 我们感兴趣的是polish空间上的Markov算子的渐近平稳性。根据T.Szarek的博士论文[18],非扩张半集中的Markov算子存在不变测度以及非扩张集中的Markov算子有渐近平稳性。根据半集中Markov算子和集中Markov算子的关系,猜想非扩张半集中的Markov算子具有渐近平稳性的条件。本文的第二章,主要通过找到非扩张半集中Markov算子自身特殊性质(即引理2.2)和A.Lasota和Yorke [2]中的引理(引理2.1),继而得到非扩张半集中的Markov算子具有渐近平稳性(定理2.1),补充了polish空间中Markov算子的渐近理论。 本文的第三章,我们的研究重点转移到polish空间上E-chain,也就是转移概率函数引导出的Markov算子的对偶算子具有等度连续性质的Markov链。从E-chain的不变测度存在条件(即条件(△):存在z,x∈X,使得任意包含z的开集9,满足lim sup(1/n∑(?)(x,(?))0)出发,经过研究,证明得到E-chain有两种不同程度的类渐近平稳性条件(符合某种条件的概率测度具有迭代收敛的性质)。第一种是关于点z的类渐近平稳,支集包含在X中(z=U(?) supn(z,·))的测度迭代弱收敛到不变测度。而且这个不变测度支集也包含于X,并且唯一。这种类渐近平稳性条件是T.Szarek[13]中e-chain的类渐近平稳性条件(即本文定理3.1)的减弱推广。即将T.Szarek[13]条件中的概率下极限大于0减弱为平均概率的上极限大于0。第二种是从存在性条件中的转移概率平均有界条件启示,得到关于集合Q={x∈X:(1/n∑(?)P'(?)x)n≥1是胎紧的}的类渐近平稳性条件。即将e-chain的不变测度的存在性条件中平均概率的上极限大于0加强为下极限大于0,则Φ有唯一不变概率测度μ*,而且对于任意满足suppv(?)Q的概率测度v∈M1 (X)成立1/n∑(?)P'v→μ,n→∞并且证明得到集合Q的一些很好的性质,例如:不变概率测度的支集包含于Q,Q是GS集,是Borel可测集。 本文的第四章我们主要讨论状态空间为紧空间的Markov链的长期行为。研究Markov矩阵P的长期行为一般的办法是通过对n步迭代Markov矩阵Pn的极限情况进行研究,但是迭代Markov矩阵pn的极限可能不存在,在Mei-Hsui Chi[39]中给出了一个新的研究方法,即探究n步转移概率分布的极限空间的构成。Mei-Hsui Chi [39]证明得到在有限维状态空间中,其极限空间严格包含所有的平稳分布和周期分布,且至少有一个平稳分布。本文的第四章,我们推广探究紧空间上的极限空间,通过引入局部凸概念,运用Krein-Milman定理,得到同样的结论。


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