一类Zeta函数的均值与含有尖形式傅立叶系数的的指数和估计

【摘要】：在本文的第一章,我们考虑了如下形式的Zeta函数其中α,β为给定的有理数,满足0αβ且我们证明了ζα,β(s)可以解析延拓到(?)s1/3并得到如下均值结果： 定理1.2.令T≥2且s=σ+it,则对任意1/2σ1,一定存在正常数ε(σ)0,使得一个三维数组(a,b,c)∈N3,如果满足a2+b2=c2,ab且gcd(a,b,c)=1,那么我们称之为一个原直角三角形.对x2,令P(x)为周长不超过x的原直角三角形的个数.作为定理1.2的一个应用,我们得到 定理1.3.在Riemann假设下,对x≥2以及任意E0,有这改进了[18]中余项的指数(?). 在本文的第二章,我们考虑了含有尖形式傅立叶系数的指数和.令f(z)为一个SL2(Z)上的权为k的全纯尖形式,则.f(z)有如下傅立叶展开式其中e(z)=e2πiz.类似的,令u(z)为一个SL2(Z)上具有Laplace特征值1/4+r2的Maass尖形式,则u(z)有如下傅立叶展开式这里K为K-Besscl函数.在[26]中,Pitt考虑了含有傅立叶系数a(n)的指数和并且证明了,对任意的ε0,有对α,β∈R一致成立,其中《中的隐含常数仅与ε和尖形式f有关.本文我们改进了Pitt的结果,证明了如下结论. 定理2.1.令X≥2,且a(n)由(2.1)或(2.2)给出,则对任意E0我们有对α,β∈R一致成立,且《中的隐含常数仅与ε以及(2.1)或(2.2)中的尖形式f有关.