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正倒向随机微分方程的高精度数值方法及误差估计

李洋  
【摘要】:在1990年,Pardoux和Peng首次证明了非线性倒向随机微分方程解的存在和唯一性.在[56],Peng首先得到了倒向随机微分方程(简称BSDEs)和抛物型偏微分方程(PDE)的关系,且在[55]中研究了基于BSDEs的最优控制问题的随机最大值原理.BSDEs理论发展得十分迅速,相应的正倒向耦合的随机微分方程(简称FBSDEs)也随着正向随机微分方程(简称SDE)和BSDE的发展而得到了长足的发展,而且FBSDEs的研究成果在随机控制,化学,物理,金融风险分析以及偏微分方程等数学领域有着十分重要的应用,其中关于FBSDEs的数值计算理论也就显得十分得重要.但是到目前为止,FBSDEs的计算理论还并不丰富,绝大多数结果的精度较低,很多这方面问题的研究尚处于初级阶段,还难以达到实际的应用要求. 现有一些数值求解BSDEs的工作.用BSDEs和PDEs的关系,Ma和Yong[45]提出了四步法.在[29],由四步法的思想,作者用抛物型偏微分方程的特征有限差分方法来求解BSDEs基于类似的想法,在[47,49,50,78]提出了一些格式来计算正倒向随机微分方程的解Chevance[23]用二项式技巧提出了BSDEs的数值方法.作者[12,44]得到了BSDEs数值解的弱收敛性Zhang在他的博士论文[75]中,研究了FBSDEs问题解的性质,提出随机Euler格式,分析了格式的半阶收敛性.在[76],Zhang提出了一个数值格式,且在弱规则性假设下研究了它的收敛性.在强Lp意义下(p≥1), Gob-et等[36]推广了Zhang [76]的结果,且基于函数基迭代回归[37]提出了一个新的数值格式.在[16], Bouchard和Touzi提出了一个倒向模拟格式Bender和Dcnk[11]引入了一个求解BSDEs的正向格式.在[27],Dclarue等提出了一个求解拟线性抛物型偏微分方程的时间和空间格式,然后通过特殊的插值程序改善了这个格式.在[58],Peng提出了一个迭代线性逼近格式,此格式在合理的假设下收敛,随后Memin, Peng和Xu[48]用这个格式研究了离散反射的BSDEs.Cvitanic和Zhang[26]把正倒向随机微分方程转化为控制问题,且提出了求解此问题的最速下降法.2006年,Dclarue和S. Mcnozzi用FBSDEs对拟线性PDEs提出了随机算法,并得到了其半阶收敛精度Gobct和Labart[36]给出了FBSDEs的Eulcr格式误差展开,证明了Eulcr格式的一阶弱收敛意义下的半阶收敛精度.2008年,在[15]基础上,Bouchard和Elie研究了带跳的非耦合FBSDEs的Eulcr格式,并且在Lp范数下得到了其半阶收敛精度.Bouchard和Chassagncux [14]得到了带反射FBSDEs的Eulcr格式的半阶收敛性. 2006年,Zhao, Chen和Peng[79]提出求解一般形式的BSDEs的θ-格式.在θ-格式中,确定的时间和空间分割用来离散BSDEs,且用一种蒙特卡罗方法结合插值来计算条件数学期望.在时间空间网格上用θ-格式求解BSDEs,且通过对BSDEs取条件数学期望和确定性的被积函数来逼近积分. 本文主要研究了正倒向随机微分方程的高精度数值方法及误差估计,共分为八章,以下是本文的结构和得到的主要结论. 第一章:本章中,我们首先介绍倒向随机微分方程和正倒向随机微分方程.然后回顾Fcynman-Kac公式和Malliavin积分,总结了以前的关于正向随机微分方程、带跳的正向随机微分方程、非耦合正倒向随机微分方程、非耦合正倒向随机微分方程数值解、带跳、带反射的正倒向随机微分方程数值解的一些知识.最后给出我们的主要创新结果. 第二章:本章中,我们研究在[79]中对BSDEs所提θ-格式的误差估计. 首先我们介绍求解BSDEs的θ-格式(见[79]):其中n=N-1,…:1,0,(yn,Zn)是(yt,Zt)在时间tn的数值解. 对于上面的θ-格式,我们有下面的误差结果. 定理2.2.1假设f=f(s,ys)∈Cb2,4和φ∈Cb4.令yt是BSDEs(2.2)的解,且(yn,zn)是格式2..1.1的解.则对充分小的时间步长△tn和p≥1,我们有其中C是一个常数,仅依赖于T,φ和.f导数的上界. 定理2.2.2假设f=f(s,ys)∈Cb2,4,4和φ∈Cb4.令(yt,Zt)(0≤t≤T)是BSDEs(2.2)的真解,且(yn,zn)(n=N,...,0)是格式2.1.1的解.则对充分小的时间步长△tn和p≥1,我们有其中C是一个常数,仅依赖于p,T,φ和.f导数的上界. 当.f=f(s,ys),通过变分我们提出了求解y和z的二阶数值格式. 格式2.3.1给定随机变量yN,由以下格式来求解随机变量yn和Zn(n=N-1,N一2,...,1,0), 定理2.3.2假设f=f(s,y。)∈Cn2,4,4且φ∈Cb4.令(yt,Zt)为(2.2)的解,且令(yn,Zn)为格式2.1.1的解.则对充分小的时间步长△tn和p≥1,有其中C是一个常数,依赖于p,T,φ和f导数的上界. 定理2.4.1假设f∈Cb2,4,h∈Cb2和φ∈Cb4.令(yt,Zt)为BSDEs(2.2)的解,(yn,Zn)为格式2.1..1的解.假设E[|yT—yN|2]≤C(△t)4和E[|ZT—zN|2]=E[|φ'x(WT)—zN[2]≤C(△t)2.则对充分小的时间步长At,我们有其中C是一个常数,依赖于c0,T,和函数h,φ和f它们导数的上界. 对于一般形式的倒向随机微分方程,当f=,(s,ys,Zs)时,我们得到了Crank-Nicolson格式(θ1=θ2=θ3=1/2)的二阶收敛性. 定理2.5.1令(yt,Zt)是BSDEs(2.2)的解,有终端条件yT=φ(WT),且(yn,zn)是格式2.1.1(θ1=θ2=θ3=1/2)的数值解.假设φ∈Cb3=f(s,ys,zs)∈Cb3,6,6且初始误差对某个C0满足则我们有下面的L2误差估计:当At足够小时,对0≤n≤N—1,成立其中CT,φ,f0是一般常数,仅依赖于T,φ和f导数的上界. 而且我们给出了Crank-Nicolson格式在Lp范数下的强二阶收敛性. 定理2.5.2在定理2.5.1的条件下,我们有下面的IP(p≥1)误差估计:当At充分小时,对0≤n≤N—1,成立其中Cp,T,φ,f0是一般常数,仅依赖于p,T,φ和f导数的上界. 第三章:基于[79]中关于BSDEs数值方法的思想,我们提出了一些求解倒向随机微分方程Girsanov变换格式,并对它们进行了严格的理论误差估计. 定理3.4.1设。f∈Cv1,3,3.令(yt,Zt)和(yn,zn)(n=N,...,0)分别为BSDEs(3.1)和格式3.2.1(θ∈[0,1])的解.设E[|ytN—yN|2+|φx(WT)—zN|2]≤(△t)2.则对充分小的时间步长At,我们有其中C是一个常数,仅依赖于T,函数φ和f导数的上界. 定理3.4.2设f∈Cb2,3和h∈Cb3.令(yt,Zt)为方程(3.1)的解,且生成算子f=f(t,yt)+h(t)Zt,且(yn,Zn)为格式3.2.2的解.设E[|ytN—yN|2]≤C(△t)4.则对充分小的时间步长△t,我们有下面的误差估计其中C是一个常数,仅依赖于T,函数φ,f和h导数的上界. 定理3.4.3设f∈Cb2,3和h∈Cb3.令(yt,Zt)为方程(3.1)的解,且生成算子f=f(t,yt)+h(t)zt,且(yn,Zn)为格式3.2.3的解.设E[|ytN-yN|2+|φx(WT)-zN|2]≤C(△t)4.则对充分小的时间步长△t,我们有下面的误差估计其中C是一个常数,仅依赖于T,函数φ,f和h导数的上界. 第四章:基于[79]中关于BSDEs数值方法的思想,我们提出求解倒向随机微分方程推广的θ-格式. 格式4.1.1给出随机变量yN和zN,对n=N—1,…,0,通过以下方程求解随机变量yn和Zn,其中θi∈[0,1](i=1,2)为确定性参数,θ3∈(0,1]和θ4∈[—1,1],且|θ4|≤θ3. 并且我们对一般形式的倒向随机微分方程进行了严格的理论误差估计,通过选用不同的参数,得到了从二分之一阶到二阶的收敛精度. 定理4.3.1令yt和yn分别为BSDEs(4.1)和推广的θ-格式的解.则对充分小的时间步长△t。,我们有以下结论. 1.对参数θi∈[0,1](i=1,2),θ3∈(0,1],和θ4∈[-1,1),且|θ4|θ3,若和则有且若和f∈Cb1,2,2,则 2.特别地,对θi=1/2(i=1,2,3),θ4∈(—1/2,1/2),若和f∈Cb2,4,4,则有 这里C是一个数,仅依赖于c0,T,φ和f导数的上界,以及参数θi(i=1,...,4). 通过变分,我们得到了格式关于z的最优误差估计. 定理4.3.2令yt和yn分别为BSDEs(4.1)和推广的θ-格式的解.则对充分小的时间步长△tn,我们有以下结论. 情况1:对θi∈[0,1](i=1,2),θ3∈(0,1]和θ4∈(—1,1)且|θ4|θ3,若和f∈Cb1/2,2,2,我们有估计 情况2:对θi∈[0,1](i=1,2),θ3∈(0,1]和θ4∈(—1,1)且|θ4|θ3,若和.f∈Cb1,3,3,我们有 情况3:特别的,对θi=1/2(i=1,2,3)和θ4∈(一1/2,1/2),若和f∈Cb2,5,5,我们有这里C是一个数,仅依赖于c0,函数f和φ导数上界,以及参数θi(i=1,...,4). 最后我们做一些数值实验,展示所提推广的θ-格式的有效性和精度. 第五章:本章我们考虑非耦合正倒向随机微分方程.我们研究了非耦合FBSDEs的θ-格式5.1.1,并且得到了它的误差估计. 定理5.3.1令(Xntn,Xn,Yttn,Xn,Zntn,Xn)和(Xn,Yn,Zn)分别为FBSDEs(5.2)和格式5.1.1的解.对0≤n≤N,令和令其中0≤i≤j≤N.则对充分小的时间步长△t,我们有其中n=N—1,...,0,CL是正常数,依赖于f(t,X,Y,Z)关于Y和Z的Lipschitz常数L,RYn定义为(5.9), 定理5.3.2令和(Xn,Yn,Zn)分别为FBSDEs(5.2)供中f=f(s,Xs,Ys))和格式5..1..1(θ1=θ2=θ3=1/2)的解.令令RYn定义为(5,9),则对充分小的时间步长△t,我们有其中n=N—1,…,0,CL是常数,依赖于f(t,X,Y)关于Y的Lipschitz常数L. 定理5.3.3令(Xttn,Xn,Yttn,Xn,Xttn,Xn)和(Xn,Yn,Zn)分别为FBSDEs (5.2)和格式5.1..1(θi∈[0,1],i=1,2,3)的解.令YN=φ(XN)和ZN=φx(XN)σ(t.N,XN).令函数b,σ∈Cbβ+1,2β+2,f∈Cbβ+1,2β+2,2β+2,2β+2和φ∈Cb2β+2+α(α∈(0,1)).则在假设5.1.1下,我们有这里C是一个正数,仅依赖于c0,T,K,以及b,σ,f和φ导数的上界. 定理5.3.4令YN=φ(XN)且f=f(t,Xt,Yt)令(Xt,Yt,Zt)为FBSDEs(5.1)的解.令函数b,σ∈Cb3,6, f∈Cb3,6,6和φ∈Cb6+α(α∈(0,1))则在假设5.1.1和定理5.3.2的假设下,我们有这里C是一个正数,仅依赖于c0,T,K,以及b,σ,f和φ导数的上界. 第六章:本章中,我们考虑求解正倒向随机微分方程(6.1).结合求解正倒向随机微分方程的数值格式,我们提出新的求解正倒向随机微分方程的数值格式(6.2.1).我们严格分析了格式(6.2.1),并且理论得到其误差估计. 定理6.3.1假设f和φ是Lipschitz连续函数,b,σ∈Cb0,1且Lσ为有界函数.令和其中0≤n≤N,0≤i≤j≤N,Xn是扩散过程Xt在时间tn的数值解.令(Yt,Zt)为FBSDEs(6.1)的解,且(Yn,Zn)为格式6.2.1的解.则对充分小的时间步长At,我们有其中θ1,θ3∈[0,1],θ2∈(0,1],0≤n≤N,C是依赖于c0,T,Xo,函数b,σ,φ和f以及它们导数上界的一个数RYn,RZn,RZ1n和RZ2n分别定义为(6.6),(6.9),(6.14)和(6.18),且 定理6.5.1令假设6.5.1成立.令和令△t→0时,Xn+1在条件期望EtnXn[·]下以α+1阶强收敛于Xtn+1tn,xn.当和f∈Cb1,2,2,,2对θi∈[0,1](i=1,2,3),α=1/2或1,我们有当和f∈Cb3,6,6时,对θi=1/2(i=1,2,3)和α=1/2,1,3/2,2,我们有以下估计这里C是一个常数,仅依赖于T,Xo,函数φ和f以及它们导数的上界. 定理6.5.2令假设6.5..1成立.令和令△t→0时,Xn+1在条件期望EtnXn”[.]下以β+1阶弱收敛于Xtn+1tn,Xn.当和.f∈Cb1,2,2,2对θi∈[0,1](i=1,2,3),β=1,2,γ=1,2,我们有当和,∈Cb3,6,6,对θi=1/2(i=1,2,3),β=1,2,γ=1,2,我们有这里C是一个常数,依赖于T,X0,函数φ,和它们导数的上界. 第七章:本章我们研究带跳的非耦合正倒向随机微分方程.在7.4节,我们研究求解带跳的FBSDEs(7.1)的Euler格式7.1.1的误差估计,并且我们严格理论证明了所提格式的一阶收敛性.在7.5节,我们提出了带跳的FBSDEs的Crank-Niconson格式,并且得到所提格式的二阶收敛性. 定理7.4.1对0≤n≤N,令eYn:=Ytntn,Xn-Yn和令(Xttn,Xn,Yttn,Xn,Zttn,Xn)和(Xn,Yn,Zn)分别是FBSDEs(7.3)和格式7.1.1的解.令RYn定义为则对充分小的时间步长△t,我们有其中n=N—1,...,0,C是一个常数,依赖于C0,以及,(t,X,Y,Z,r)关于Y,Z,和r的Lipschitz常数L. 定理7.4.2令和TtNtN,XN=TN.在假设7.1.1下我们有这里C是一个正常数,仅依赖于T,以及a,b,c和φ导数的上界.当f=f(s,Xs,Ys)时,我们有定理7.5.2和定理7.5.3. 定理7.5.2令和(Xn,Yn,Zn,Tn)分别为FBSDEs和格式7.5.1的解.令eYn:=Ktntn,Xn-Yn和令RYn定义为则对充分小的时间步长△t,我们有其中n=N—1,...,0,CL是常数,仅依赖于,(t,X,Y)关于Y的Lipschitz常数L. 定理7.5.3令YN=φ(XN).假设a,b,c∈Cb2,4和.f∈Cb2,4,4.当θ1=1/2,θ2,θ3∈[0,1],则在假设71.1下我们有和这里C是一个正常数,仅依赖于T,以及a,b,c,和φ导数的上界. 第八章:本章我们研究带反射的非耦合正倒向随机微分方程.首先我们用新的方法严格证明了[14]中所提格式的一阶收敛性,推广了[14]中格式的半阶收敛性结果.然后我们提出了带反射FBSDEs的Crank-Nicolson格式,并且严格理论分析其收敛性,得到了其二阶收敛精度. 定理8.1.1令(Xttn,Xn,Yttn,Xn,Xttn,Xn)和(xn,Yn,Zn)分别为FBSDEs(8.2)和格式8..1..1的解.令eYn:=Ytntn,Xn-Yn和eZn:=Ztntn,Xn-Zn(0≤n≤N).则对充分小的时间步长△t,我们有其中n=N—1,...,0,CL是正常数,依赖于c0,f(t,X,Y,Z)关于Y和Z的lipschitz常数定义为(8.5),和 定理8.1.2令YN=φ(XN)和ZtNtN,XN=ZN.假设φ∈Cb3+α“(α∈(0,1]),a,b∈Cb1,2.f∈C1,2,2,2,且a,b,h,f满足假设8.1.1.则有这里C是一个正常数,仅依赖于T,以及a,b和φ导数的上界. 定理8.2.1当f=f(s,Xs,Ys)时,令(Xttn,Xn,Yttn,Xn,Zttn,Xn)和(Xn,Yn:Zn)分别为FBSDEs(8.1)和格式8.2..1的解.令和令RYn定义为(8.3),和则对充分小的时间步长△t,我们有其中n=N—1,...0,CL是常数,仅依赖于,(t,X,Y)关于Y的Lipschitz常数L. 定理8.2.2令YN=φ(XN).假设φ∈Cb4+α(α∈(0,1])和a,b∈Cb2,4,f∈C2,4,4,4,且a, b, h, f满足假设8.1.1.则有和这里C是一个正常数,仅依赖于T,以及a,b和φ导数的上界.


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