几类拓扑图的结构与染色

【摘要】：自从四色问题在十九世纪中叶被提出来以后,图的染色问题成为了图论的重要研究课题,几乎所有的图论学者都会参与其中,或尽其一生研究这个富有色彩的专题。图的染色理论在组合最优化、计算机理论、网络设计等方面都起着重要的应用。例如,网络中的数据传输、Hcssians矩阵的计算等问题,都可以直接或间接地转化为图的染色问题。本文旨在讨论几类拓扑图(如1-平面图、IC-平面图、伪外平面图、平面图等)的结构与染色问题。 除非特别指明,本文所讨论的每一个图都是简单的,无向的,有限的并且是非空的,用V(G),E(G),F(G),δ(G),△(G)分别表示图G的顶点集,边集,面集,最小度以及最大度。如果一个图G可以画在一个平面上使得任何两条边之间不产生交叉(即任何两条边之间除了公共端点外没有其它的交点),则称G是可平面图。上述这种画法称为G的平面嵌入,平面图指的就是可平面图的某个平面嵌入。如果一个图可以画在一个平面上使得其每条边最多被交叉一次,则称该图为1-可平面图。1-可平面图满足上述条件的平面嵌入称为1-平面图。设G为一个图在平面上的一个嵌入,如果在G中存在交叉点,其必然是由G的某两条边相互交叉所产生的。因此,G中的每个交叉点都可以与G中的四个顶点(即两条交叉边上的四个端点)所构成的点集建立对应关系,记这个对应关系为λ。设a与b是G中的两个交叉点,如果入(α)nλ(b)=?,则称a与b是彼此独立的。如果G可以画在一个平面上使得其中任何两个交叉点都是彼此独立的,则称G是IC-可平面图。IC-可平面图满足上述条件的平面嵌入称为IC-平面图。如果一个图的每个2-连通块都可以嵌入在平面上使得这个块所包含的所有的顶点都固定在某个几何圆(注意此处的圆是几何意义上圆,并非图论意义上的圈)上,所有的边都位于这个圆区域的内部并且每条边最多被交叉一次,则称这个图是伪外可平面图。伪外可平面图满足上述两个条件的平面嵌入称为伪外平面图。1-平面图、IC-平面图、伪外平面图、平面图是本文主要研究的四类拓扑图。它们之间的关系为1-平面图(?)IC-平面图(?)平面图(?)伪外平面图。本文将分别从这四类图的染色结构出发,研究它们在染色方面的一些结果。 对于一个图G=(V,E),它的一个t-顶点染色,或者t-染色,是指图G的一个从顶点集V到颜色集{1,2,…,t}的映射c。如果染色c对于G中的每一条边uv都满足c(u)≠c(v),则称染色c是G的一个正常t-顶点染色且G是可t-染色的。在染色c下,具有相同颜色的顶点构成的集合称为一个色类。如果图G的某个t-顶点染色c的每个色类在G中都能导出一个最大度至多为k的森林,则称c是图G的一个k-森林t-染色。本文将在第五章将研究平面图的k-森林染色问题。 如果G的一个正常t一顶点染色c的任意两个色类的基数之差的绝对值至多为1,则称c是图G的均匀t-顶点染色。图的强均匀染色数Xeq*(G)是这样-个整数t的最小值,它使得图G对于每个不小于t的整数t',都具有一个均匀t'-染色。关于图的强均匀染色数,有一个著名的Chen-Lih-Wu猜想(又称为均匀△-染色猜想),它认为,如果图G是一个连通图,并且G既不是完全图,也不是奇圈,还不是完全二分图K2m+1,2m+1,则Xeq*(G)≤△(G)。本文将证明该猜想对于最大度至少为17的1-平面图是成立的。 对于一个图G=(V,E),它的一个t-边染色,是指图G的一个从边集E到颜色集{1,2,…,t}的映射c：。如果染色c使得G中任意两条相互关联的边都染不同的颜色,则称c为G的一个正常t-边染色且G是t-可边染色的。使得图G是t-可边染色的最小整数t称为G的边色数,记为X’(G)。关于边染色的Vizing定理指出,任何一个简单图G的边色数要么是△(G),要么是△(G)+1,从而产生了按边色数对图进行分类的问题。如果图G满足X’(G)=△(G),则称其为第一类的；如果其满足X’(G)=△(G)+1,则称其为第二类的。对于平面图G而言,现在已经证明了如果△(G)≥7,则G是第一类的；如果△(G)≤5则G可能是第二类的。本文将在第二章至第四章分别研究1-平面图,IC-平面图,伪外平面图的边色数分类问题。 设c为图G的一个正常t-边染色,如果在染色c下G中每个圈都关联至少min{|C|,r}种颜色,则称c为图G的r-无圈t-边染色。使得图G具有r-无圈t-边染色的最小整数t称为G的r-无圈边色数,记为ar'(G)。本文将在第五章讨论平面图的r-无圈边染色问题,并证明a4'(G)=O=(△(G))对所有的平面图成立。 对于一个图G=(V,E),它的一个t-全染色,是指图G的一个从V∪E到颜色集{1,2,…,t}的映射c。如果对于图中任意两个相邻或相关联的元素α,β∈V∪E,都有c(α)≠c(β),则称t-全染色c是正常的。如果图G具有t-全染色,则称G是t-全可染的。使得G是t-全可染的最小整数t称为G的全色数,记为χ"(G)。关于图的全染色,有一个著名的全染色猜想,其认为任何一个图G都满足χ"(G)≤△(G)+2。本文将证明全染色猜想对于最大度至少为13的1-平面图是成立的。 如果对于图G的每条边e∈E(G)都赋予其一个颜色集合L(e),那么就称L是G的一个边列表。如果G存在一个正常的边染色c,其对每条边e∈E(G)都有c(e)∈L(e),则称图G是L-边可染的,或者称c是图G的一个L-边染色。如果对于G的每条边e都有|L(e)|=t且G是L-边可染的,则称G是列表t-边可染的,或者称G是t-边可选的。使得G是列表t-边可染的最小整数t称为G的列表边色数,记为Xl'(G)。类似地,通过将上述定义中的边染色的相关表述换成对G的顶点和边同时进行染色,则可以定义列表全色数Xl"(G)的概念。关于列表染色,有一个著名的列表染色猜想,它认为Xl'(G)=X'(G)与Xl"(G)=X"(G)对于任何一个简单图G都成立。关于列表染色的另一个猜想是弱列表染色猜想,其猜测Xl'(G)≤△(G)+1与Xl"(G)≤△(G)+2对于任何一个简单图G都成立。本文将证明列表染色猜想对最大度至少为20的1-平面图与最大度至少为14的IC-平面图是成立的,并且弱列表染色猜想对最大度至少为16的1-平面图与最大度至少为11的IC-平面图也是成立的。 具体地说,本文主要研究的是1-平面图、IC-平面图、伪外平面图、平面图这四类图的结构与染色问题,全文共分为六章。 第一章给出了一个相对完整的简介：首先介绍一些图论中的基本术语和定义；然后给出本文所讨论的拓扑图与所涉及的染色的详细定义,并介绍与其有关的课题与猜想；最后给出了本文的主要结论。 第二章是全文最主要的部分,它研究了1-平面图的结构性质及其染色。在这章里,对于最大度至少为△并且不含弦k-圈的1-平面图G,我们证明了如果(△,k)∈{(7,3),(8,4),(9,5),(10,+∞)},则G是第一类的。另一方面,我们还构造了最大度为△∈{2,3,4,5,6,7}并且是第二类的1-平面图。此外,这章还证明了全染色猜想,列表染色猜想,弱列表染色猜想,均匀△-染色猜想等著名猜想对大部分的1-平面图都是成立的。 第三章讨论了IC-平面图的结构性质与染色。在这章里,我们首先证明了每个IC-平面图都是6-退化的,然后给出了IC-平面图的三个重要的结构定理,最后利用这些结构证明了每个最大度至少为8的IC-平面图是第一类的,并且对于最大度至少为△,围长至少为g的IC-平面图,我们还证明了如果(△,g)∈{(14,3),(8,4),(7,5)},则列表染色猜想成立。 第四章的主要研究对象是伪外平面图,它是作者定义的一个全新的图类。在这章里,我们首先给出了伪外平面图的一些基本性质,然后研究的伪外平面图的边分解问题,证明了每个伪外平面图都可以边分解为一个外平面图与一个线性森林,或者一个外平面图与一个星森林,或者两个森林与一个匹配,并说明了上述各种边分解在一定意义下都是最优的,最后通过研究伪外平面图中的一些不可避免构型,证明了每个最大度至少为4的伪外平面图的边色数恰好为△,每个最大度至少为3但不等于4的伪外平面图的线性荫度恰好为(?),此外,我们还说明了上述两个结论中关于最大度的界的限定都是紧的。 第五章主要研究了平面图的k-森林染色与r-无圈边染色。在这章里,对于最大度至少为△,围长至少为g的平面图G,我们证明了如果(△,g)∈{(k+1,10),(2k+1,8),(4k+1,7)}且k≥3,或者(△,g)=(k+1,8)且k≥7,则G的k-森林染色数恰好为(?)+1。此外,关于r-无圈边染色,我们证明了a'4(G)=O(△(G))对所有的平面图成立,a'r(G)=△(G)对于最大度至少为r,围长至少为5r+1的平面图成立。 第六章作为本文的结束部分,提出了一些可进一步考虑的问题,指出了后续研究的几个可行方向。