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拟阵基图的一些性质

徐鑫  
【摘要】:图论和拟阵理论在二十世纪经历了空前的发展。图的支撑图及拟阵的基图都是组合理论的基本研究对象。一个连通图的树图能够反映该图的不同支撑树之间的变换关系。因此,研究一个图的树图有助于我们更好地了解该图的性质。同样的一个拟阵的基图能够反映该拟阵的不同基之间的变换关系。因此,研究一个拟阵的基图有助于我们更好地了解该拟阵的性质。近些年来,树图和拟阵的基图被推广得到了一些新的图。 一个拟阵就是一个有限元素的集合E以及E的子集族B构成的系统,并且满足以下条件:对于任意的B1,B2∈B,则|B1|=|B2|,并且对于任一的x∈B1,存在一个元素y∈B2,使得(B1\{x}∪{y}∈B,记作M=(E,B)。其中B的每一个元素称为拟阵的基。 拟阵M中一个基的任何子集都是M的一个独立集,特别地空集是独立集。如果C(?)E不是一个独立集,并且任何C的子集都是独立集,则称C为M的一个圈。如果M的一个圈只有一个元素,那么这个元素称为M的环.如果两个元素的集合{x.y}是M的一个圈,称{x.y}为一对平行元。如果M既没有环也没有平行元,则称M为一个简单拟阵。如果一个元素含在M的任意一个基中,则称之为M的一个反环。对于任意e(?)B,B+e包含唯一一个圈,称之为基本圈。拟阵的秩是基中元素的个数,余秩是拟阵基本圈的个数。 如果S是E的一个子集,且对任意的圈C,都有C(?)S或者C(?)E\S,则称S是M的一个分离集.显然E和(?)都是M的分离集。M的极小分离集称为M的一个分支.如果拟阵M只有一个分支,则称M为连通拟阵。设e∈E,则M/e和M\e分别表示由M通过收缩和删除e后得到的拟阵。拟阵M的子拟阵是拟阵M通过有限步的收缩、删除变换后得到的拟阵。 拟阵的基图G=G(M)是以M,的基集B为顶点集的图,基图的边集定义为E(G)={BB':B,B'∈B,且|B\B'|=1}。这里图G的点与拟阵M的基用同样的符号表示。 设G是一个图,图G的点集和边集分别记为V(G)和E(G),令v(G)=|V(G)|。包含G的每个点的路称为G的一条哈密顿路;同样的,包含G的每个点的圈称为G的一个哈密顿圈。如果一个图存在一个哈密顿圈,则称图为哈密顿的。如果对于图的任意两个顶点,都有一条哈密顿路连接它们,那么称G是哈密顿连通的。如果对于图G的任意一条边,G都有一个含这条边的哈密顿圈,则称G是边哈密顿的,或者称G是正哈密顿的,记作G∈H+。如果对于一个图G的任意一条边来说,G都有一个不包含这条边的哈密顿圈,则称G是负哈密顿的,记作G∈H-。如果G既是正哈密顿的,又是负哈密顿的,我们称G是一致哈密顿的。 如果G的任意两条边都在G的一个哈密顿圈中,称G是E2-哈密顿的。设G是一个阶不少于3的简单图,若G的每条长为2的路都包含在G的一个哈密顿圈中,则称G是P3-哈密顿的。若对G的每一对顶点τ1和τ2以及任意一条边v2v3(其中τ1≠υ3)来说,G都存在一条从v1到v2的经过边v2v3的哈密顿路,则称G是1-哈密顿连通的。用M5表示有5个顶点的轮。 对于一个图G,如果对于任意的子集F(?)V(G),其中|F|≤f,使得图G—F仍然是哈密顿圈的,那么称图G是f-顶点容错哈密顿的。同样的,我们可以定义∫-顶点容错边哈密顿的、∫-顶点容错哈密顿连通的。 本文分为三章,第一章给出树图、森林图、拟阵基图的一个简短但相对完整的综述。第二章讨论拟阵基图的哈密顿性,一致哈密顿性。第三章讨论容错性条件下拟阵基图的一些哈密顿性质。 下面列出本文的主要结果: 结论1设M=(E,B)是一个简单拟阵, G=G(A,)是拟阵M的基图。如果|V(G)|≥5并且M中任何子拟阵的基图不同构于W5,则对于图G中任意两条边e和e',存在一个包含e,不包含e'的哈密顿圈。 结论2设G=G(M)是拟阵M的基图,|V(G)|≥4.如果有M(?)N,其中N表示每一个分支都是平行元或反环且至少有两对平行元的拟阵组成的集合,则M的基图G(M)是1-顶点容错哈密顿的。 结论3设M=(E,B)是简单拟阵,G(M)是拟阵M的基图,且有|V(G)|≥4,那么G(M)是1-顶点容错边哈密顿的。 结论4设M=(E,B)是简单拟阵,G(M)是拟阵M的基图,且有|V(G)|≥3,那么G(M)是1-顶点容错哈密顿连通的。 结论5设M=(E,B)是简单拟阵,G(M)是拟阵M的基图,且有|V(G)|≥5,那么G(M)是2-顶点容错哈密顿的。


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