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《山东大学》 2012年
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状态受限的随机微分方程:倒向随机微分方程、随机变分不等式、分形随机可生存性

聂天洋  
【摘要】:本论文由下面三个课题组成:第一个课题是研究完全耦合的正倒向随机微分方程的适定性,其中正向和倒向方程中均含有次微分算子。此外,我们还研究了与此类方程相关的偏变分不等式。第二个课题是针对于由分形布朗运动驱动的倒向随机微分方程,这里我们的分形布朗运动的Hurst参数大于二分之一。我们研究了带有和不带有次微分算子两种情形下的分形倒向随机微分方程。这篇论文的最后一个课题研究分形布朗运动驱动下的随机微分方程的生存性问题。 上面的三个课题都旨在研究状态受限的随机微分方程。事实上,对于此类问题,我们可以从很多不同的角度去理解。其中一个途径是通过研究随机微分方程的系数条件,使得此方程的解始终在给定的一个闭集K(?)Rd里,不论它的起始点在K里如何变化。这类问题就是所谓的生存性问题。另外一个途径是通过在原来的随机微分方程上以最小的方式加上一个有限变差过程使得此方程的解依然能够停留在K里,即使此方程不满足生存性所需的条件。这就是所谓的反射方程。作为更一般的情形,我们用一个适定的凸函数φ:Rd→R的次微分算子来代替K,这样就意味着研究含有次微分算子的随机微分方程,我们称之为随机变分不等式。而在本论文中,我们一方面研究了由经典布朗运动驱动的完全耦合的正倒向随机变分不等式,另一方面,在分形布朗运动的框架下,我们研究了随机微分方程的生存性问题以及倒向随机微分方程和倒向随机变分不等式。 下面将更进一步的介绍论文的内容以及论文的结构。 在绪论中,我们介绍从第二章到第四章我们研究的问题。 在第二章中,我们研究完全耦合的含有次微分算子的正倒向随机微分方程的适定性。我们建立了与此类方程相关的Feymann-Kac公式,给出了一类新的含有两个次微分算子的拟线性偏微分方程的粘性解的概率表示,其中在此类新的偏微分方程中,次微分算子分别作用在定义域和值域上。本章主要来自于: NIE, T., A stochastic approach to a new type of parabolic variational inequalities. arXiv:1203.4840v2已投稿。 在本文的第三章,我们的目的是研究含有次微分算子、分形布朗运动驱动下的倒向随机微分方程,这里分形布朗运动的的Hurst参数H1/2。为此,本章的第一部分首先证明了分形倒向随机微分方程的适定性。我们主要依赖于的思想,并给出更严格的分析。本章的第二部分,我们证明了含有次微分算子、分形布朗运动驱动下的倒向随机微分方程的解的存在性。本章来自于 MATICIUC, L., NIE, T., Fractional Backward Stochastic Differential Equations and Fractional Backward Variational Inequalities. arXiv:1102.3014v3已投稿。 第四章中,我们考虑了分形布朗运动驱动下的随机微分方程的生存性问题,这里分形布朗运动的的Hurst参数依旧是H1/2。我们通过研究分形随机切锥的正像和逆像,得到了使得分形随机微分方程的解停留在给定的集合KcRd里的充要条件。另一方面,我们还建立了分形随机微分方程的比较定理。本章基于: NIE, T., RaAcanu, A., Deterministic characterization of viability for stochastic differential equation driven by fractional Brownian motion已被ESAIM: Control, Opti-misation and Calculus of Variations接收。doi:10.1051/cocv/2011188. 下面我们给出本论文的主要结论。 1正倒向随机变分不等式以及相应的偏变分不等式 本节的结果来自Nie。 我们的目的是研究如下拟线性偏变分不等式的粘性解:(1)这里算子L定义为其中v∈C1.2([0,T]×Rn)。(?)ψ (resp.,(?)φ)是函数ψ (resp.,φ)的次微分算子,其中ψ((resp.,φ)满足: (H1′)函数ψ:Rn→(-∞,+∞]是凸下半连续函数,且0∈Int(Domψ)以及ψ(z)≥ψ(0)=0,z∈Rn. (H2)函数φ:R→(-∞,+∞]是凸下半连续函数,并且φ(y)≥φ(0)=0,y∈R. 我们首先定义了上述偏微分方程的粘性解,然后证明了在σ不依赖于y的情况下粘性解的唯一性。至于粘性解的存在性,我们通过建立Feymann-Kac公式来给出其粘性解的随机表示。为此,我们研究了一类完全耦合的正倒向随机变分不等式。 受启发于[120]以及[156],我们分别利用上、下抛射流以及光滑实验函数给出偏变分不等式(1)的粘性解的定义(见第二章定义2.1和定义2.3)。 定义0.1.假设u∈C([0,T]×Domψ)且u(T,x)=g(x),x∈Domψ。函数u被称为偏变分不等式(1)的粘性下解(resp.,粘性上解),如果对于所有的(t,x)∈[0,T]×Domψ,有u(t,x)∈Domψ以及对于任意的(p,g,X)∈P2+u(t,x)*(resp.,(p,q,X)∈P2,-u(t,x)),我们有这里φ'-(y)(resp.,φ'+(y))代表φ在y点的左(resp.,右)导数, 若函数u既是偏变分不等式(1)的粘性上解又是粘性下解,则称它为(1)的粘性解。 需要指出的是,我们可以利用光滑实验函数给出偏变分不等式(1)的粘性解的另等价定义(见第二章定义2.3)。 现在我们给出如下的关于(1)的粘性解的唯一性的结论: 定理0.1.假设(H1′)和(H2′)成立,以及Domψ(?) Rn是局部紧的,函数b,σ.f以及g连续,b和f关于(x,y,z)一致Lipschitz连续,σ(t,x,y)不依赖于y且关于x一致Lipschitz连续。那么,偏变分不等式(1)在连续函数,并且满足关于x一致Lipschit连续的函数集合里存在至多一个粘性解。 为证明此定理,只需要证明:若u是粘性下解,v是粘性上解,并且均满足定理中的连续性条件,那么u≤v。由于u,v均连续,我们只需要说明对于所有的(t,x)∈(0,T)x Int(Domψ),有u≤v。为此,我们定义其中Bd(Domψ)表示Domψ的边界,我们选择r00使得(Domψ)r0≠(?)。那么我们只需要证明对于每一个0r≤r0,在(0,T)×(Domψ)r上,都有υ≤υ。 为完成如上证明,我们应用并推广Barles, Buckdahn and Pardoux [17]以及Cvitanic and Ma [48]的方法,并给出下面的两个引理。 引理0.1.在定理0.1的假设条件下,我们假定u(resp.,v)是(1)的连续的粘性下解(resp.,粘性上解),并且关于x一致Lipschitz连续。那么对于所有的0r≤r0,,函数ω:=u-v是如下方程的粘性下解:其中这里K0是只依赖于b,f,u和v的Lipschitz系数的一个常数,且 引理0.2.对于任意的A0,存在C0使得函数满足在[t1,T]×(Dommψ)r上,其中t1=(T-A/)+. 基于上面的两个引理,我们可以应用中的讨论方法来完成定理0.1的证明。 第二章的余下部分,是研究一个一般化的正倒向随机变分不等式,以给出偏变分不等式(1)的粘性解的概率表示。 用(Ω,F,P)来表示一个完备的概率空间,{Bt}t≥0是此上的一个Rd-值的标准布朗运动。{Ft}t≥0是由布朗运动B生成的信息流,并由F中的P-零测集完备。我们考虑如下的倒向随机变分不等式:其中适应过程X,Y,Z分别取值于Rn,Rm以及Rm×d,函数ψ,φ,b,σ,f以及g满足标准性假设(见第二章4.1节中的(H1′)-(H5′),(H4′)and(H5′))。此外,我们还需要Cvitanic and Ma[48]中引入的相容性条件(见(C1)-(C3))。 我们的第一个目标是证明正倒向随机变分不等式(4)的适定性(对于(4)的解的定义。见第二章定于4.1)。(4)的解的唯一性可由下面的命题推出: 命题0.1.在(H1′)-(H5′)以及相容性条件假设下,我们有这里这里(Xt,x,Yt,x,Zt,x,Vt,x,Ut,x)(resp.,(Xt,x,Yt,x,Zt,x,Vt,x,Ut,x))代表开始时间为t系数为(x,b,σ,f,g)(resp.,(x,b,σ,f,g))的正倒向随机变分不等式的解。C是不依赖于(t,x,x)的常数。 为了证明(4)解的存在性,我们首先考虑下面的由函数ψ和φ的Yosida逼近所引出的惩罚正倒向随机微分方程:其中▽φε是凸下半连续函数φ的Yosida逼近的梯度: 应用伊藤公式以及x1-x2,▽ψε(x1)-▽ψε(x2)≥0和y1-y2,▽φε(y1)-▽φε(y2)≥0,我们可以得到相应的先验估计(见第二章引理6.1和命题6.2)。然后采用中的讨论方法,我们构造出了一个压缩映像,并证明了如下的定理:定理0.2.在(H1)-(H5)及相容性条件假设下,惩罚正倒向随机微分方程(5)存在唯一的解(Xε,Yε,Zε)。 下一步,我们将给出正倒向随机变分不等式(4)的解。为此我们去证明(Xε,Yε,Zε),ε0是一个柯西列。事实上,采用中的方法,我们可以得到 命题0.2.在(H1)-(H5)及相容性条件假设下,对于任意的E1,ε20,我们有这里C是不依赖于ε1和ε2的常数。 为了证明(Xε,yε:Zε),ε0是柯西列,我们现在需要估计(6)中右边的项。 受启发于Pardpux and Rascanu[122],我们需要建立(Xε,Yε,Zε)的Lp-估计,以此来估计E∫(?)|▽ψε1(Xsε1)‖▽ψε2(Xsε2)|ds。但是,Cvitanic and Ma[48]的方法只能得到L2-估计。我们这里需要应用Delarue[51]的迭代方法来完成Lp估计。我们需要指出的是这种方法需要σ不依赖于z(见(H5′))(4)的系数的Lp可积条件(见(H4′))。 基于Delarue[51]的迭代方法,我们首先建立小时间区间上的的Lp估计,然后我们推广至整个区间。事实上,我们有下面的结果: 命题0.3.在(H1′)-(H5′)、(H4′)(H5′)及相容性条件的假设下,对于任意的1≤p≤3+2p0/2(对于p0见(H4′)),存在一个不依赖于ε和x的常数C使得其中b0(s):=b(.,s.0.0,0),σ0(s):=σ(·,s,0,0.0),f0(s):=f(·,s.0.0,0)以及g0:=9(·,0)。 在我们的假设条件下,借助于上面的Lp-估计以及Pardoux and Rascanu[120].[122]的思想,我们得到了如下的两个命题: 命题0.4.对于所有的0ρ≤1+ρ0/4∧1,存在常数C,使得对所有的ε0,我们都有 命题0.5.假定1-ρ0/4+4ρ0∨0ρ≤1+ρ0/4∧1,我们有其中C是不依赖于ε1和ε2的常数。 应用上面的两个命题以及命题0.1,我们得到了如下的一个主要结果: 定理0.3.正倒向随机变分不等式(4)存在唯一的解(X,Y, Z,V,U)。 在第二章的最后,我们给出了偏变分不等式(1)的粘性解的概率表示。为此,我们考虑下面的起始条件为(t,z)∈[0.T]×Domψ的正倒向随机变分不等式:这里我们假设b,σ,f和g均是确定性的连续函数并且倒向方程的维数m=1(见(H7))。 定理0.3在区间[t,T]依然成立,我们并记(7)得唯一解为(Xst,x,Yst,x,Zst,x,Vst,x,Ust,x)。我们定义u(t,x):=Ytt,x其中t∈[0,T],x∈Domψ.(8)那么在(H7)条件下,函数u(t,x)是确定性的。此外,我们可以证明 命题0.6.对于所有的(t,x)∈[0,T]×Domψ,我们有u(t,x)∈Domψ且u∈C([0,T]×Domψ)。 借助于惩罚正倒向随机微分方程,作为Pardoux and Tang[123]以及Pardoux and Rascanu[120]的结果的推广,我们有如下的定理: 定理0.4.在我们的假设条件下,函数u(t,x)=Ytt,x,(t,x)∈[0,T]×Domψ是偏变分不等式(1)的粘性解。 作为定理0.1以及定理0.4的推论,我们得到了本章的另外一个主要结果: 定理0.5.在连续函数,且满足关于x一致Lipschitz连续的函数集合里,偏变分不等式(1)存在唯一的粘性解。 2分形倒向随机微分方程以及分形倒向随机变分不等式 本小节的结果来自于[96],是作者与Lucian Maticiuc(University of Al. I.Cuza,Iasi, Romania)合作的工作。 我们在第三章的研究目的有两个方面。第一是研究如下的由分形布朗运动驱动的倒向随机微分方程:这里η是一个随机过程:η(t)=η(0)+∫0tσ(s)δBH(s),t∈[0,T]。其中σ∈C([0,T];R)为一个连续的扩散系数,BH是Hurst参数大于1/2的分形布朗运动。随机积分是散度类型的积分。并记F={Ft}t≥0为由BH生成的信息流。 分形倒向随机微分方程(9)首次由Hu and Peng[72]所引入研究的。他们证明了(9)的适定性,但是需要下面的条件:存在c00使得inft∈[0,T]σ(t)/σ(t)≥c0,其中σ(t):=∫0tφ(l-r)σ(r)dr。而在我们的研究工作中,我们不需要这个条件。事实上,我们只需要假设对于所有的t∈[0,T],σ(t)≠0(见第三章(H2)),然后我们有如下的性质:存在一个适当的常数M0使得1/Ml2H-1≤σ(t)/σ(t)≤Ml2H-1,t∈[0,T](见第三章注3.1)。应用上面的性质,结合[72]中的思想,我们给出了分形倒向随机微分方程适定性的严格证明。 我们的方法依赖于Malliavin计算。我们用DH来表示Malliavin导数,并定义DtHF=∫0T(t-v)DvHFdv。现在让我们回忆一下散度类型积分的定义: 定义0.2.我们说一个过程u∈L2(Ω,F,P;H)属于Dom(δ),如果存在δ(u)∈L2(Ω.F,P),使得对于所有的光滑柱面函数F∈PT,有(至于H、·,·T以及PT见第三章第二节)。若u∈Dom(δ),则δ(u)唯一,那么我们定义u∈Dom(δ)关于分形布朗运动BH的散度类型的积分为∫0TusδBH(s):δ(u)。 现在我们回顾如下的关于散度类型积分存在的一个充分条件(见命题6.25):定理0.6.我们用LH1,2表示由所有满足如下条件的随机过程u:(Ω,F,P)→H组成的空间:若u∈LH1,2那么命题6.11所定义的Ito-Skorohoc随机积分片f0Tu(s)dBH(s)存在并且和散度类型的积分保持一致(见[69]定理6.23)。此外,E[f0Tu(s)dBH(s)]=0且 现在我们回过头来考虑分形倒向随机微分方程(9)。证明(9)的适定性的主要思想就是在一个装备有适当范数的适当空间上构造一个压缩映像。为此,受启发于,我们引入下面的空间:以及它在如下α-范数下的完备空间VTα(其中α≥1/2):对于空间VαT和VαT,我们可以证明如下的性质: 引理0.3.我们有VT(?)LH1,2Domm(δ)。 引理0.4.若Y∈VαT且ψ是Lipschitz连续函数,那么ψ(Y)∈VαT。 引理0.3告诉我们:若u∈VT,那么f0T仃usδBH(s)是有定义的。此外,基于[5]定理8,我们可以证明下面一般化的伊藤公式: 定理0.7.假定ψ是一个属于C1,2([0,T]×R)的函数。若u∈VT且f∈Cpol,0,1([0,T]×R),定义那么,对于所有的t∈[0,T],下式成立: 我们强调的是,若ψ(s,x)=|x|2,我们可以通过另外一种完全不同的方法,证明上面的定理(见第三章定理3.4)。 除了上面一般化的伊藤公式,拟线性条件数学期望E[·|Ft]是解决我们的倒向方程的另一重要工具(拟条件数学期望的定义,见第三章第3.3小节)。下面的两个引理给出了拟条件数学期望的性质: 引理0.5.假定F=f(η(T)),其中f:R→R是一个多项式增长的连续函数。那么F∈L2(Ω,F,P)且 引理0.6.假定f∈Cpol0,1([0,T]×R),记fs=,(s,η(s)),s∈[0,T],那么 有了上面的准备工作,我们现在可以考虑我们的分形倒向随机微分方程(9)了。首先我们给出此倒向方程的解的定义: 定义0.3.我们称一对随机过程(Y,Z)为分形倒向随机微分方程(9)的解,如果:现在让我们考虑下面的方程:这里χ,ψ∈Cpol1.3([0,T]×R)且(?)x/(?)t,(?)ψ/(?)t∈Cpol0,1([0,T]×R)。 基于[72]命题4.5[72],我们可以较严格的证明如下结论 命题0.7.在假定条件下(见第三章(H1)-(H4)),倒向方程(10)存在唯一的解(Y,Z)∈VT×VT。此外,这个解具有形式:其中u,v∈Cpol1.3([0.T]×R)且使得我们考虑如下的映射:Γ:VT×VT→×VT且(U,V)→Γ(U,V)=(Y,Z),其中(Y,Z)∈VT×YT是倒向方程的唯一解。首先,我们指出Γ是良定义的(见命题0.7)。此外,基于范数‖(u,v)‖1/2,H:=‖u‖1/2+‖v‖H,其中(u,v)∈VT1/2×VTH,Γ是一个压缩映像。事实上,这可以由下面的命题推出: 命题0.8.对于(U,V)∈VT×VT,记(Y,Z)∈VT×VT为如下倒向方程的唯一解:那么,对于任意的β0,存在C(β)∈R(只依赖于L和T)使得此外,我们可以选择C(β)使得(?)=0。 利用Γ是一个压缩映像以及散度类型积分的定义,我们可以构造一组(Y,Z),并可验证它是分形倒向随机微分方程(9)的解。 另外一方面,为了证明唯一性,我们引入空间Sf(见第三章第4.2小节)。我们可以证明(9)在空间Sf里的适定性: 定理0.8.在我们的假设条件下,分形倒向随机微分方程(9)存在唯一的解(Y,Z)∈Sf。第三章的第二个目标是研究如下的分形倒向随机变分不等式:其中(?)φ是凸函数φ的次微分算子,这里我们假设: (H5)φ是凸的下半连续函数且对于所有的x∈R,φ(r)≥φ(0)=0。此外,E|φ(ξ)|∞。我们本部分的主要结论是: 定理0.9.倒向随机变分不等式(11)的解是存在的,也就是说存在三元组(Y,Z,U)满足:(a1)Y,U∈VTH且Z∈VT2H-1/2,为证明上面的定理,受启发于[120],我们首先考虑下面的惩罚分形倒向随机微分方程:这里▽φε是下半连续凸函数φ的Yosida逼近的梯度:我们的第一步是证明倒向方程(12)存在一个解。我们需要指出的是由于▽φε并不满足条件(H3),所以我们需要使其光滑化以应用定理0.8来解方程(12)。事实上,我们可以得到下面的定理: 定理0.10.对于所有的ε0,倒向方程(12)存在一个解(Yε,Zε)∈VT1/2×VTH使得此外,利用(13)我们可以得到如下关于(Yε,Zε)的估计: 命题0.9.存在不依赖于ε的常数C,使得对所有的t∈[0,T],我们都有第二步就是利用序列(Yε,Zε),ε0来构造分形倒向随机变分不等式(11)的解。主要思想是证明(Yε,Zε),ε0是一个柯西列: 命题0.10.存在常数C使得对所有的ε,δ0,我们都有为了证明上面的结论,我们需要如下的命题: 命题0.11.存在常数C使得对所有的t∈[0,T],我们有其中我们需要指出的是下面的分形随机次微分不等式是很有用的(尤其是对于证明命题0.11): 引理0.7.假定ψ:R→R+是凸的且属于C1的函数,若它的导数▽ψ是Lipschitz连续的,那么对于所有的t∈(0,T],我们有P-a.s.最后,通过命题0.10、0.11以及引理0.4,我们可以构造一个三元组(Y,Z,U)作为分形倒向随机变分不等式(11)的解。 3分形随机微分方程的可生存性描述 本论文第四章的结果来自于Nie and Rascanu [111],已被ESAIM:Control, Optimisation and Calculus of Variations接收。我们考虑如下的Rd上的分形随机微分方程:其中BH={BtH,t≥0}是一个κ-维Hurst参数1/2H1的分形布朗运动。随机积分是轨道意义下的Riemann-Stieltjes积分。函数b:[0,T]×Rd→Rd和σ:[0,T]×Rd→Rd×k连续且满足(H1)和(H2),其中β1-H以及δ1/H-1(见第四章第2.1节)。由Nualart and Rascanu[115]知(14)存在唯一的解Xt,ξ∈L0(Ω,F,P;Wα,∞(t,T;Rd)),对于所有的α∈(1-H,α0)(至于这些记号,见第四章第2.1节)。 在本章中,我们假设:(H1)和(H2)满足1/2H1,1-H/β以及δ1-H/H。此外,max{1-H,1-μ}αα0。 我们的工作是受Ciotir and Rascanu [42]的启发,我们的目的是找到关于分形随机微分方程(14)的可生存性的简单易检验的描述条件。此外,我们还得到了分形随机微分方程的比较定理。受启发于Aubin and Da Prato [11],我们的主要思想是研究分形随机切锥的正像和逆像。 我们回顾如下众所周知的可生存性的定义: 定义0.4.假定Κ={K(t):t∈[0,T]}是Rd中的子集族。如果对于所有的t∈[0,T]以及起始点x∈K(t),方程存在至少一个解{Xst,x:s∈[t,T]}满足Xst,x(ω)∈K(s)对于所有的s∈[t,T],α.s.ω∈Ω.我们说方程(14)关于Κ可生存。 Ciotir and Raacanu[42]通过引入如下的(1-α)-分形BH切锥和伴随切锥,研究了分形随机微分方程(14)的可生存性: 定义0.5.假定t∈[0,T]、x∈K(t)且1/21-αH。那么K(t)在x点的(1-α)-分形BH-伴随切锥是由如下的对(u,v)构成的集合:(u,v)∈Rd×Rd×k,使得存在一个随机变量h=ht,x0以及一个随机过程Q=Qt,x:Ω×[t,t+h]→Rd,且对于任意的R0满足|x|≤R,存在两个随机变量HR,HR0及一个常数γ=γR(α,β)∈(0,1)使得对于所有的s,τ∈[t,t+h],P-a.s.,我们有以及 定义0.6.假定t∈[0,T]、x∈K(t)且1/21-αH。那么K(t)在x点的(1-α)-分形BH-切锥SK(t)(t,x)是由下面的对(u,v)构成的集合:(u,v)∈Rd×Rd×κ使得存在一个随机变量h=ht,x0和两个随机过程且对于任意的R0满足|x|≤R,存在两个随机变量DR,DR0,使得对于所有的s,τ∈[t,t+h],P-a.s.,我们都有以及 Ciotir and Raacanu [42]利用上述的分形切锥概念给出了分形随机微分方程(14)的可生存性的判定准则。基于他们的结论,若受限集合K(t)不依赖于t,我们有如下的推论: 推论0.1.若K(?)Rd不依赖于t,那么下面的命题是等价的: (j)分形随机微分方程(14)关于K可生存。 (jj)对于所有的t∈[0,T]以及x∈(?)K,(b(t,x),σ(t,x))属于K在x点的(1-α)-分形BH-伴随切锥。 (jjj)对于所有的t∈[0,T]以及x∈(?)K,(b(t,x),σ(t,x))属于K在x点的(1-α)-分形BH-切锥。 有了上面的准备工作以后,在本章的第一部分,我们研究形布朗运动的框架下随机切锥的正像和逆像。事实上,利用Aubin and Da Prato [11]的思想,我们证明了如下的定理(随机切锥正像): 定理0.11.假定K(t)=K(t)(?)Rd, t∈[0, T],若φ是一个从Rd到Rm的一个C2映射,并且具有有界的二阶导数,那么 至于随机切锥的逆像,我们需要φ满足更严格的条件。为此,我们引入空间H(见第四章第三节)并证明了如下定理: 定理0.12.若φ∈H,那么对于所有的x∈Rd且αφ-|x|bφ(至于αφ妒和bφ,见H的定义),我们有 在第四章的第二部分,我们假定BH是一维的分形布朗运动。我们的目标是得到分形随机微分方程(14)关于几类特殊形式的K的可生存性的一个确定性的可检验的充要条件。为此,我们首先在定理0.12中取φ(x)=|x|2,可以给出如下引理: 引理0.8.假定K={x∈Rd;r≤|x|≤R},那么对于所有满足|x|=R的x,我们有(b(t,x),σ(t,x))∈SK(t,x)当且仅当(x,b(t,x))≤0且
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O211.63

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9 李云翔;刘振海;;粘弹性压电材料接触问题的H-半变分不等式方法[A];数学·力学·物理学·高新技术交叉研究进展——2010(13)卷[C];2010年
10 冯勋立;何林生;;压缩真空态光场驱动的双光子激光[A];第八届全国量子光学学术报告会论文摘要选[C];1998年
中国重要报纸全文数据库 前10条
1 本报记者 魏海政;数学家彭实戈:享受攀登的感觉[N];中国教育报;2011年
2 袁佳丽 高建敏;探索的脚步[N];科技日报;2011年
3 本报记者 姜范 彭实戈;发现数学里的美丽[N];经济日报;2009年
4 李建国;致力于微电子电路与系统研究[N];科技日报;2007年
5 何雨锋;构建超循环与分形的体系结构[N];中国国防报;2010年
6 财经前导网 凌颢华;四月大3浪尾部延伸[N];中国证券报;2007年
7 财经前导网 凌颢华;谨慎观望二次回探[N];中国证券报;2008年
8 戴伟高;实盘大赛成“隐形”操盘手亮剑舞台[N];期货日报;2009年
9 陈璧羡;中医的科学基础和科学方法[N];中国中医药报;2004年
10 本报记者 尹晓华;四川师大丁协平名列榜首[N];四川日报;2000年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 聂天洋;状态受限的随机微分方程:倒向随机微分方程、随机变分不等式、分形随机可生存性[D];山东大学;2012年
2 付苗苗;随机微分方程中的几乎自守问题[D];吉林大学;2011年
3 张雨馨;随机微分方程若干数值方法的稳定性分析[D];吉林大学;2012年
4 吴小太;几类随机微分方程解的存在与稳定性的研究与应用[D];东华大学;2012年
5 胡琳;几类带泊松跳随机微分方程数值方法的收敛性与稳定性[D];中南大学;2012年
6 屈小妹;几类随机微分方程数值方法的稳定性分析[D];华中科技大学;2011年
7 王小捷;随机微分方程数值算法研究[D];中南大学;2012年
8 陈绍宽;欧氏空间和函数空间中的倒向随机方程[D];复旦大学;2010年
9 王兆娟;几类随机微分方程的渐近行为[D];上海师范大学;2012年
10 余国胜;随机时滞微分方程稳定性若干问题的研究[D];华中科技大学;2010年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 徐永锋;随机中立型微分动力系统的最优控制[D];广州大学;2010年
2 胡盈;倒向随机微分方程的数值方法及其金融应用[D];东华大学;2005年
3 田里;随机微分方程数值解的分裂格式及其收敛性分析[D];山东大学;2006年
4 傅味;随机微分方程的几类数值方法及其应用[D];吉林大学;2009年
5 薛亮;两种波动率模型的比较研究[D];南京信息工程大学;2006年
6 梁洁瑜;一类随机微分方程的辛算法[D];暨南大学;2006年
7 陈爱忠;基于随机微分方程和结构EM算法的系统发生树的构建[D];苏州大学;2009年
8 廖畅;复杂网络中的局部动力学模型[D];上海交通大学;2010年
9 卢霏;地下水运动随机模型及其Monte-Carlo方法应用[D];吉林大学;2006年
10 王虹;随机微分方程数值解法在水库调洪演算中的应用[D];吉林大学;2009年
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