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《山东大学》 2013年
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代数数域上算术函数的均值估计

杨志善  
【摘要】:历史上,在研究Fermat大定理和其它一些问题时,数学家们遇到了某些代数域中的代数整数不能唯一分解的困难.例如6=2.3=(1+51/2i).(1-51/2i),这两个分解是代数整数6在代数域K=Q((?))上完全不同的分解.这使得对Fermat大定理等问题的研究变得更复杂. 意识到这个问题后,在1845年Kummer给出了一个新的思想,提出了“理想数”的概念.对代数数域上的所有整数都可以嵌入到某个“理想数”中,这个“理想数”能够唯一分解成若干“素理想数”的乘积Kummer的‘‘理想数”的概念后来被称为代数数域整数环上的理想.这个思想现在已经发展为一个新的理论,即理想的唯一分解理论.也是现代代数数论与代数曲线理论的基础. 设K/Q是有理数域Q的代数扩张,且扩张次数为d.在代数数论对理想的研究中,理想的范是一个非常重要的概念.设a是数域K上的一个非零的整理想,且OK是代数数域K的整环.那么整理想a的范定义为ma=|Oκ/α|.它可以反映整理想许多的代数性质. 我们也可以用解析方法来研究代数数论.类似于Riemann zeta函数,Dedekind引进了一个新的函数,称为Dedekind zeta函数.对于扩张次数为d的代数数域K,它的Dedekind zeta函数(?)k(s)定义为其中a遍历K上所有的非零整理想,且nQ表示整理想a的范. 用aK(n)来表示K上范为n的整理想的个数,我们可以将Dedekind zeta函数重新写成它实际上是一个第n项系数为aK(n)的Dirichlet L函数.算术函数aκ(n)反映了数域K上的许多的代数性质.许多的数学家对此感兴趣,并作出了大量的研究. Chandraseknaran和Good在文献[4]中证明了算术函数aK(n)是乘性函数,并且满足aκ(n)≤T(n)d,其中τ(n)是除数函数,且d=[K:Q]. 很多作者(参见[4],[5],[38],[39],[42],[43],[44],[46]等)也对其作了深入的研究,给出了aκ(n,)的均值的渐近估计,并且给出了aκ(n)的l次均值估计. 本文中,我们讨论算术函数aK(n)在稀疏集上的均值估计,即考虑和式的估计,其中1≥2,m≥2为整数. 在第一章中,设K是Q的d次Galois扩张,利用代数数域中素理想分解定理,我们给出了算术函数aκ(n)的一种表示方法,构造出相应的L函数,利用分析中的方法,我们可以得到下面的结果 定理1.1.设K是Q的d≥2次Galois扩张,且l≥2为整数,当d是奇数时,我们有其中m=(C(d+1,2))1/d,Pm(t)是关于变量t的次数为m-1的多项式C(m,n)=m/(m-n)!n!,且ε0是任意小的常数. 定理1.2.设K是Q的d≥2次Galois扩张,且2≥2为整数,当d是偶数时,我们有其中α=(C(d/2,1))l,β={(C(d+1,2))l-(C(d/2,1))l}/d,Pm(t)是关于变量t的次数为m-1的多项式,C(m,n)=m!/(m-n)!n!,且ε0是任意小的常数. 上述定理假设了代数域K是Q的Galois扩张,我们要讨论其它的情况.在第二章中,我们讨论当K不是Q的Galois扩张时,和式(0.1)的估计. 设K3是Q三次非正规扩张,由不可约多项式f(x)=x3+ax2+bx+c给出.根据强Artin猜想,以及模形式Fourier系数的若干性质,利用对自守L函数相关的研究方法,我们对和式进行估计,得到以下结果 定理2.1.对于三次非正规扩张K3,有关系式其中c是常数,且ε0是任意小常数. 定理2.2.对于三次非正规扩张K3,有关系式其中C1与C2为常数,且ε0是任意小常数. 令K1与K2分别是两个不同的二次域.记aκi(n)(i=1,2)分别为在二次域K1与K2上范为n的整理想的个数.则它们的Dedekind zeta函数分别为 在第三章中,我们研究不同代数域上Dedekind zeta函数的系数乘积的均值估计,即关于卷积和的渐近估计.得到如下结果 定理3.1.设Ki=Q((?))(i=1,2)是判别式为di的二次域,且(d1,d2)=1.那么对任意的ε0与整数1≥2,可以得到其中PK1,K2表示秩为4l-1-1的多项式. 定理3.2.设Ki=Q((?))(i=1,2)是判别式为di的二次域,且(Cd1,(d2)=1.那么对任意的ε0与整数2≥2,可以得到其中PK1-1K2表示秩为M2+2M的多项式,且M=(3l-1)/2.我们还讨论了代数数域K上的k维除数问题.定义其中ai(i=1,2,…,k)为代数数域K上的非零整理想,且k≥1为整数.对有理数域Q上的Galois扩张,我们研究了和式在稀疏集上的分布. 在第四章中,我们得到以下结果 定理4.1.令K是关于Q的cd≥2次Galois扩张,当d是奇数时,我们可以得到其中k≥2是整数,m=(k2d+k)/2,Pm(t)是关于变量t的m-1次多项式,且ε0是任意小的常数. 定理4.2.设K是二次域,且k≥2为整数.则当k≥3,我们可以得到更精确的余项其中m=k2+k,Pm(t)是关于变量t的m-1次多项式,且ε0是任意小的常数.
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:O156.4

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