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非对称微分算子的谱问题

解兵  
【摘要】:算子谱理论的研究主要以对称算子为主,这些谱理论的成果已经得到了成功的应用,解决了量子力学、科学技术中的许多重要问题。但在实际应用和数学理论本身也会产生大量的非对称问题,例如,自伴算子在非实数点处的预解算子就是非对称的,利用复系数方法研究对称算子时会产生非对称问题,地球流体力学中的位涡动力系统稳定性研究中导出的Rayleigh方程的特征值问题也是非对称的。这自然需要对非对称算子的谱的性质有较全面的了解。这不仅对数学理论本身的发展有重要意义,也会为其它科技领域的发展提供坚实的理论基础和有效工具。在数学理论上,关于对称算子谱理论的研究比较完善,特别是自伴算子的谱分解定理、对称微分方程解的Sturm零点比较定理、零点分解定理、Priifer变换等。相比之下,非对称算子的谱理论还不够系统和完善,其研究的方法和工具还在不断的探索总结和发展中。 本文将研究两类非对称微分算子的谱问题:一类是关于非对称Sturm-Liouville(记作S-L)微分方程和系统的分类及其边界条件的刻画以及算子的实现。另一类是带不定权微分算子的非实特征值的相关问题,包括不定S-L算子、p-Laplace算子以及椭圆微分算子。下面将简要介绍本文研究的学术背景、研究方法和主要结论。 本文首先研究的是非对称S-L微分方程按照其所对应的微分算子的亏指数进行的分类问题。微分算子的亏指数分类是常微分方程谱理论中最基本的问题,也是微分算子谱问题的基础。它很大程度上决定了相应问题谱点的类型和性质。例如,极限圆型的问题仅有特征值,谱点类型复杂性仅产生于极限点型的问题。Weyl早在1910年就开创了奇异S-L微分方程的研究,将形式对称,即系数函数为实值的S-L微分方程分为极限点型和极限圆型两类。在1968年和1969年,Everitt首先研究了四阶对称微分方程极限点型的判定;接着Walker在1971年,Devinatz在1972年,作了进一步的研究;并且1972年,Hinton将其推广到2n阶对称微分算子。 关于非对称微分方程,直到1957年,Sims才研究了一类形式非常特殊的非对称S-L微分方程的分类问题。又过了近半个世纪,Brown, McCormack, Evans和Plum在1999年给出了系数函数满足一般条件的复值系数函数的S-L微分方程的分类。在文中,Brown等将其分为三类,但是并没有给出其不同分类中边界条件的刻画.2003年,Brown, Evans和Plum又在较强的条件下研究了偶数维非对称哈密顿系统的性质,但是没有给出其分类的结果。 基于以上成果,本文的前半部分研究了复值系数函数的S-L微分方程分类的充分必要条件,利用其最大定义域中元素的渐近性给出了Brown等在1999年得到的非对称S-L微分方程分类的边界条件的刻画。本文对高阶非对称S-L型微分系统也进行了分类,并且研究了此分类的充分必要条件,然后得到了此非对称系统的J-自伴算子的实现。 这部分内容采用的主要研究方法如下:首先利用容许旋转角将非对称复值系数S-L微分方程转化成一族对称的哈密顿系统,并建立了它们之间在适当权下的线性无关平方可积解个数的关系;然后利用此关系和对称哈密顿系统的性质给出了Brown分类的一个充分必要条件。此方法被进一步应用到高维,利用正交变换,将非对称S-L型微分系统转化为对称哈密顿系统。然后利用对称哈密顿系统的性质给出了按照非对称S-L系统以及其共轭系统线性无关加权平方可积解个数的分类。并且利用原系统以及共轭系统定义域中元素的渐近性得到了此分类的一个刻画。最后,作为应用,给出了非对称S-L系统的J-自伴算子的实现。上述方法中,关于非对称问题的对称转化思想和利用原系统的共轭系统进行分类的方法是本文在这一部分解决相关问题的技术关键。 本文的第二部分研究了不定微分算子的非实特征值问题。对于带权函数的S-L边值问题,权函数不变号时称作右定或Orthogonal(由Hilbert给出)问题;权函数变号时称作右不定或Polar(Hilbert)问题.带有自伴边界条件的右定问题已经有非常完善的谱理论,但是右不定问题,尤其是左右都不定的问题(称为不定问题)的谱结构与右定问题有很大区别,并且远比后者复杂。例如,不定S-L边值问题的实特征值上下无界,更关键的是会出现非实特征值。 Hilb在1907年,Richardson在1912年,Bocher在1912年Haupt在1915年最先研究了不定S-L问题谱的性质。Haupt在1915年,Richardson在1918年最先提到不定问题可能存在非实特征值;其中Richardson研究了带有Dirichlet边界条件的Richardson方程,权函数为符号函数的不定S-L问题。1982年,Mingarelli在一般条件下得到了非实特征值个数的有限性。1986年,Mingarelli对正则的、具有分离型边界条件、带有不定权函数的S-L问题的研究作了总结,并且在文章中提出了一系列关于非实特征值的Open Problem,其中包括: Open Problem1:分别给出非实特征值的实部和虚部上下界的预先估计。 Open Problem2:给出不定S-L问题非实特征值存在的充分条件。 Kong, Muller, Wu和Zettl在2003年,Zettl在2005年又提出了类似的关于非实特征值上下界的问题。Binding和Volkmer则在1996年再次提到了不定问题非实特征值存在性问题.2009年,Behrndt, Katatbeh与Trunk得到了权函数为符号函数的奇异不定S-L问题非实特征值存在性的充分条件;进一步,Behrndt, Philipp与Trunk在2013年给出了权函数为符号函数、势函数本性有界条件下的奇异不定S-L问题非实特征值的上界。但是他们的方法要求本质谱为整个实数轴,因此无法应用到正则不定S-L问题。 而对于正则不定S-L问题,直到2013年,Qi和Chen才在Dirichlet边界条件以及权函数变号一次或绝对连续的条件下,分实部和虚部给出了不定问题非实特征值上界的估计。他们还在相应的右定问题只有一个负特征值、其余的都大于零,以及势函数和权函数分别满足对称性条件下,得到了非实特征值存在性的一个充分条件。Xie和Qi在2013年,在具有一般分离型边界条件以及权函数更弱的条件下,分实部和虚部给出了不定S-L问题非实特征值的上界估计。他们同时在势函数和权函数满足一般条件下得到了非实特征值存在性和不存在性的充分条件。同年,Behrndt, Chen, Philipp和Qi得到了权函数可以无穷次变号的不定S-L问题非实特征值的上界估计。然而值得注意的是,上述所有结论都需要对权函数加可积性条件以外的要求,并且都没有给出非实特征值的下界估计。 针对上述成果的局限性,本文的第二部分主要进行了如下研究:首先在系数函数及权函数只满足基本条件下,分实部和虚部,给出了正则不定S-L问题非实特征值的上界估计。从而彻底解决了由Mingarelli在1986年提出的Open Problem1中的上界部分。然后,在右定问题有负特征值的条件下(这是不定问题存在非实特征值的必要条件)按照非实特征值的范数给出了其下界估计。此外,本文在基本条件下得到了非实特征值的存在性以及不存在性的充分条件,从而解决了Mingarelli Open Problem2.关于不定p-Laplace边值问题,本文分实部和虚部得到了非实特征值的上界估计以及不存在性的充分条件。关于不定椭圆算子,本文则给出了其非实特征值的上下界估计、存在性和不存在性的充分条件。 这一部分主要采用的研究方法如下:首先利用纯分析及测度论作为工具,给出了非实特征值的上界估计;然后,利用Krein空间中的算子理论,给出了一般算子不定问题非实特征值的下界估计;通过引入能够刻画变号权函数振动性的量,给出了不定S-L问题非实特征值下界更精确的估计。并举例说明得到的上界与下界的精确程度。然后,在非实特征值存在性问题的研究中,采用了双谱参数方法,利用实谱曲线和虚谱曲线的关系进行研究;给出了实谱曲线单调性与局部极值点的判定定理,并解决了实谱曲线和虚谱曲线在三维空间的连接问题;从而获得了非实特征值存在性的充分条件。 本文进而将上述处理不定问题的方法应用到一维正则不定p-Laplace边值问题,分实部和虚部得到了不定p-Lapace算子非实特征值的上界估计以及不存在性的充分条件。进一步,将上述方法更进一步应用到高维不定椭圆微分算子。由于维数的增加,许多在处理一维常微问题时常用的方法和工具难以奏效,例如在常微边值问题中可利用初值问题的理论和方法。而且涉及到积分和微分的许多不等式不仅与维数有关,也与所考虑的区域形状有关。因此,在给出其非实特征值上界估计时,除了上述工具外又用到了Sobolev空间理论。另外,同样利用了Krein空间算子理论,得到了在定义域、势函数及权函数满足对称性条件下,非实特征值存在性的充分条件。在第二部分的内容中,关于Mingareli Open Problem的解决是这一部分的最大特点,而将双谱参数法成功的运用到不定谱问题的研究也是本文的技术特点之一。 本文共分六章,第一章引言,介绍了所研究问题的背景、主要方法和结论。第一部分包括第二、三章,第二章给出了复值系数S-L微分方程分类的充分必要条件。第三章得到了非对称S-L微分系统的分类以及此分类的一个刻画;并且给出了其J-自伴算子的实现.第二部分包括第四、五、六章,第四章得到了不定S-L问题非实特征值的上下界估计,存在性和不存在性的充分条件。第五章给出了不定p-Laplace算子非实特征值的上界估计和不存在性的充分条件。第六章,得到了不定椭圆微分算子非实特征值的上下界估计,存在性和不存在性的充分条件。


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