新型模糊蕴涵及模糊联结词的分配性方程

【摘要】：模糊蕴涵作为经典布尔蕴涵的一种推广,是模糊逻辑的重要算子.目前,模糊蕴涵已广泛应用于模糊推理和模糊控制等领域.因此,学者们对模糊蕴涵表现出极大的兴趣,其主要研究内容包括模糊蕴涵的构造、相关性质的分析、特征刻画以及它们在实际推理中的应用等.此外,模糊联结词的分配性方程是研究热点之一,因为这些分配性方程的解在理论和实际应用中发挥着重要的作用.人们最初关注的是三角模和三角余模的分配性问题,随后则研究更为一般的算子的分配性. 本学位论文主要工作之一是构造新型模糊蕴涵.目前,常用构造模糊蕴涵的方法有以下三种：一是利用模糊逻辑算子三角模、三角余模和模糊否定生成模糊蕴涵,有R-蕴涵、(S,N)-蕴涵、QL-蕴涵等；二是利用一元单调函数构造模糊蕴涵,如Yager利用两个一元函数.f-生成子和_9-生成子分别提出了f-蕴涵和9-蕴涵,Massanet和Torrens基于h-生成子构造了h-蕴涵;三是利用已知模糊蕴涵生成新的蕴涵,如模糊蕴涵的凸组合以及模糊蕴涵的复合等.本文将依据第二种方法构造模糊蕴涵,即基于f-生成子和[0,1]上满足边界条件的单调递增一元函数.f’,构造(f,f')-蕴涵；基于g-生成子和[0,1]上满足边界条件的单调递减一元函数g',构造(g,g')-蕴涵. 本学位论文另一主要工作是讨论模糊联结词的分配性,包括一致模关于零模的分配性和模糊蕴涵关于连续三角余模的分配性. 为了统一和推广三角模和三角余模,Yager和Rybalov引入了以[0,1]中任意给定元为单位元的新型聚合算子：一致模.常见的一致模类型有：特殊的合取和析取一致模(即umin和umax类一致模)、幂等一致模、可表示一致模以及(0,1)2上的连续一致模.零模也是三角模和三角余模的一种推广,其吸收元是[0,1]上任意设定元. 关于一致模和零模的分配性问题,目前已有研究成果主要是由Mas和Qin获得,他们分别研究了前面两类一致模和零模的分配性.Mas等证明了零模只关于幂等一致模具有分配性,并研究了零模和umin(umax)类一致模的分配性.基于一般幂等一致模,Qin解决了零模和幂等一致模的分配性问题.因而,他们完全解决了零模关于一致模的分配性问题以及研究了前面两类一致模关于零模的分配性.但是到目前为止,尚未有相关文献研究后面两类一致模关于零模的分配性.鉴于此,本学位论文将研究后面两类一致模关于零模的分配性问题. 研究模糊蕴涵关于连续三角余模的分配性是本学位论文的主要研究工作,即求解下面分配性方程其中S1,S2是任意给定的连续三角余模,I:[0,1]2→[0,1]是关于第二变元单调递增的未知函数.在S1和S2均为严格三角余模或者都是幂零三角余模的条件下,波兰学者Baczynski和印度学者Balasubramaniam于2009年求解了上述分配性方程.他们首先给出满足该方程的任意固定点x∈[0,1]截直线表达式,通过截直线表达式获得方程的连续解,证明了它不可能存在[0,1]2上的连续蕴涵解,最后得到它除某些特定点之外均连续的蕴涵解,并且Baczynski和Balasubramaniam在文献中指出他们将来的工作是在一般的连续三角余模条件下求解该分配性方程.不久,在S1和S2其中一个为严格三角余模,另一个为幂零三角余模的条件下,Baczynski用上面类似方法继续求解了该分配性方程且获得它的连续解和蕴涵解.随后,在S2和S2分别为连续阿基米德三角余模和连续阿基米德三角余模的序和条件下,Xie等继续研究了上述分配性方程.Xie等巧妙地通过线性变换,用类似于上面的方法获得了该分配性方程的连续解和蕴涵解.众所周知,三角余模S是连续的当且仅当S=max、或者S是连续阿基米德的、或者S是连续阿基米德三角余模的序和.而从前面的叙述可知,已有的研究工作都是围绕连续阿基米德三角余模而展开.本学位论文将基于两个连续阿基米德三角余模的序和,求解上面分配性方程. 全文共分4章,具体章节及主要内容如下： 第一章简单扼要地介绍模糊逻辑算子：三角模、三角余模、模糊否定和模糊蕴涵的定义及其相关性质和定理,同时给出三角模和三角余模的两种推广(一致模和零模)的定义及其性质等. 第二章首先给出(f,,')-蕴涵和(g,g')-蕴涵的定义且说明f-和g-蕴涵分别是它们的特例.详细研究(f,f')-和(g,g')-蕴涵的基本性质,比如左单位元性、置换性、序性质以及恒等性等；讨论(f,f')-和(g,g')-蕴涵与其它常见模糊蕴涵(即R-蕴涵、(S,N)-蕴涵、QL-蕴涵以及Yager蕴涵)的关系且证明它们不同于常见的模糊蕴涵；研究带有(f,f')-和(g,g')-蕴涵的几类广义重言式,如换质位对称性、输入法则和分配性等,证明(f,f')-蕴涵满足换质位对称性,给出了它们满足输入法则的充要条件且详细地求解分配性方程,得到一系列比较满意的结果. 第三章研究可表示一致模以及(0,1)2上的连续一致模关于零模的分配性.首先基于(0,1)2上的连续合取一致模,求解一致模关于零模的分配性方程：证明零模的吸收元是一致模的幂等元;分两种情形讨论分配性方程且找出其解;特别地,当零模连续时,给出分配性方程成立的充要条件.在(0,1)2上的连续析取一致模的条件下,得出类似的结论.最后证明可表示一致模只关于三角模和三角余模具有分配性. 第四章将突破已有研究成果对连续三角余模的阿基米德性质限制,在S1,S2均为连续阿基米德三角余模的序和条件下,求解前面列出的分配性方程.首先,研究该方程的连续解：当S2在区间[I(1,0),I(1,1)]没有加数时,可直接得到上述方程成立的充要条件；当s2在区间[I(1,0),I(1,1)]有加数时,通过新的定义一可行性对应一来描述该分配性方程的可解性以及找出它的连续解.值得指出的是,在求分配性方程的连续解时,本章所用的方法完全不同于以往文献中出现的方法,即无需通过求任意点x∈[0,1]截直线表达式来得到连续解.其次,证明该分配性方程不存在连续蕴涵解,找出其在(0,1]×[0,1]上的连续蕴涵解.最后给出求该分配性方程蕴涵解的具体步骤,且举实例以验证相关结论. 全文主要创新点概括如下： 1.基于单位区间上的一元函数,提出了两类新型模糊蕴涵,并说明著名的Yager蕴涵是其特例.证明了这两类蕴涵具有很好性质,如左单位元性和置换性等;刻画了带有新型模糊蕴涵的系列广义重言式,如换质位对称、输入法则及分配性方程等. 2.针对一致模与零模的分配性问题,解决了目前研究中的遗留问题：可表示一致模和(0,1)2上的连续一致模关于零模的分配性.证明了可表示一致模仅对特殊的零模(三角模和三角余模)具有分配性；完全刻画了(0,1)2上的连续一致模关于连续零模的分配性方程的解. 3.模糊蕴涵关于三角余模的分配性问题,目前的研究仅限制在具有阿基米德性质的连续三角余模.本论文针对该问题,突破了已有限制,解决了模糊蕴涵关于连续阿基米德三角余模的序和的分配性问题,得到了系列比较满意的结果.