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若干非线性微分方程的数值方法及超奇异积分计算

赵庆利  
【摘要】:非线性微分方程作为微分方程的一个重要分支,在众多领域都有广泛的应用,如流体力学、气体动力学、材料力学、电磁场等.伴随着计算机运行能力的快速发展,数值分析和模拟日益成为工程问题中必不可少的工具之-相继产生了一系列的数值方法,如:有限差分法(FDM)[53]、有限元法(FEM)[12,22,33]、有限体积法(FVM)[52]、混合有限元法(MFEM)[9,13].谱方法[76]、配置法等,其中有限差分法具有较高的精度,有限元方法具有较强的灵活性,已经成为求解实际问题的强有力工具,然而对非线性微分方程的数值分析和模拟仍然是一项极具挑战性的工作. 有限差分方法,简称差分法,是数值解微分方程的一种重要方法[53].它的基本思想是:把连续的定解区域用由有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点,把在连续定解区域上定义的连续变量函数用在网格上定义的离散函数来近似,用差商来近似原方程和定解条件中的微商,积分用离散积分和来近似,于是原方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,解此代数方程组就得到原问题的近似解.有限差分方法简洁、实用、易于在计算机上实现,在工程计算中得到了广泛应用. 单元中心差分方法(CCFDM)是一种精度相对较高的差分方法,若剖分网格为矩形(或长方体),也被称为块中心差分方法,此方法可视为最低次RT混合元在特定数值积分下产生的格式Weiser等[89]研究了线性椭圆方程的块中心差分方法(BCFDM),Rui等[82]研究了Darcy-Forchheimer模型的块中心差分方法,他们都得到了二阶精度的误差估计Arbogast等[5,6]研究了具有张量系数的椭圆问题在四边形网格下的单元中心差分方法Shen[85]研究了具有间断系数的线性椭圆方程的块中心差分方法. 有限元方法,是在古典Ritz-Galerkin变分方法的基础上,以分片多项式为工具的一种求解微分方程及实际工程问题的数值方法.冯康[33]于20世纪60年代初独立于西方创立了有限元方法.从此,有限元方法被广泛的应用于船舶、机械、建筑、水利等的设计,后来又被广泛应用于流体力学、电磁场等问题的分析.20世纪70年代Babuska[9]和Brezzi[13]创立了混合有限元法的一般理论.混合有限元方法是一种基于限制或者约束条件的变分形式的有限元方法,其主要结果就是所谓的B-B条件.20世纪80年代初Falk和Osborn[31]又提出了一种改进的方法.混合有限元方法的主要优点是通过引入中间变量(一般它们也具有实际的物理意义),可以将高阶微分方程降阶,从而也就能够降低有限元空间的光滑性要求,例如Possion方程、Navier-Stokes方程、对流-扩散方程、Sobolev方程、Burgers、KdV、RLW、KdV-Burgers和双调和方程等问题,通过降阶能使有限元空间简化,同时可以求到一些有意义的中间变量,此方法方便且容易实现.在流体模拟等问题中,混合有限元方法由于能同时计算压力、速度(或流量)等物理量.被广泛采用.对于线性和半线性二阶椭圆方程的混合元方法的研究可见文献[36,80]Milner等[65]研究了拟线性二阶椭圆方程的混合元方法.Park等[49,66,74]研究了非线性椭圆方程混合元方法. 基于混合元方法,Chen[18,19]提出了扩展混合有限元方法(EMFEM),此方法可以同时逼近三个(或更多)物理量,他研究了线性和拟线性二阶椭圆方程的扩展混合有限元方法,Arbogast等[5,6]也提出了类似的技术.后来扩展方法还得到了进一步的延伸,相继提出了扩展混合有限体积法[81]、特征扩展混合元、多重网格扩展混合元等方法. 许多科学和工程问题,如声学、电磁散射和断裂力学等,可以归结为边界积分方程[98],而奇异积分方程又是积分方程的一个重要分支,其积分核函数往往使得通常的Riemann积分或者Lebesgue积分定义失效Linz[60]最早研究了超奇异积分的Newton-Cotes公式,其收敛阶要比Riemann积分的相应数值积分公式低,该文献在奇异点与节点不重合的条件下给出了二阶超奇异积分的梯形公式和Simpson公式及误差分析,当奇点位于某子区间中间时证明了其误差分别为O(h)和O(h2).对于奇点与节点重合的情况,Yu[98]给出了修正的Newton-Cotes公式,使得当奇异点与剖分节点重合时也可以计算.近年来,Wu等[91,92,93]研究了超奇异积分的超收敛现象,并且证明了超收敛现象出现在某个特殊函数的零点处. 全文分为五章,组织结构如下: 第一章介绍一些预备知识,首先介绍Sobolev空间及其范数,其次给出了几个常用的引理. 第二章研究散度形式下的非线性二阶椭圆方程的扩展混合元方法.利用此方法可以同时有效逼近u(压力),▽u(压力梯度)和——a(u,▽u)(流量).在传统的混合元方法中,不得不把变量Vu从a(u,Vu)中分离出来,对某些复杂的隐函数而言这往往是不可能的,而扩展混合元方法可以解决这个问题.此方法还有一些其他优势,比如,能处理三个变量的不同边界条件,同时也适用于微分方程系数很小(接近于零)的情况,并且不需要求倒数.因此,这种方法适用于扩散较小或低渗透流体问题.某些传统混合元方法只能得到拟最优的误差估计,而本章得到了最优阶L2模误差估计,同时得到了负模(H-s)和Lq模误差估计,证明了非线性离散形式解的存在唯一性,这比线性问题要复杂.为了得到误差估计,利用Taylor展开对误差方程进行了处理,最后进行数值实验. 第三章研究非线性单调椭圆方程的扩展混合元方法.利用此方法可以同时逼近u,Vu和—K(x,|▽u|)▽u.证明了连续和离散的B-B条件和离散解的存在唯一性,得到了最优阶L2模误差估计,最后针对Darcy-Forchheimer模型进行了应用和数值实验. 第四章研究p-Laplacian和p-Laplacian方程的单元中心差分方法.此类方程出现在许多物理过程的数学模型中,如:冰川学、幂律材料问题、非线性扩散对流与过滤问题和拟牛顿流问题等.关于p-Laplacian方程的有限元逼近已有诸多理论结果,近年来,W.B. Liu和J.W. Barrett等[61,62,63]在该方程的有限元误差估计方面做了大量的工作,取得了很大的进展,他们提出了一个新的误差估计方法:拟范数方法,该方法巧妙地利用了该方程特殊的非线性结构,在一定的条件下得到了最优阶误差估计Huang等[41]研究了p-Laplacian方程预条件下降算法.目前所知,关于p-Laplacian方程和p(x)-Laplacian方程差分方法的研究还相对较少,本章针对这两个方程提出了单元中心差分方法,给出了理论分析并进行数值实验,此方法简洁,但具有二阶精度的误差,丰富的数值算例显示此方法适用于较小或较大的参数p(或p(x)),最后对于奇异p-Laplacian方程给出了数值格式和算例. 第五章研究超奇异积分复合Hermite公式的超收敛现象,进行了误差分析,得到了误差展开式,当展开式中的特殊函数等于零时,会出现超收敛现象,此时误差阶与Riemann积分的误差估计相同,得到了超收敛点的局部坐标为±0.5383.相应的数值实验验证了理论分析的正确性.


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