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可嵌入图的染色问题

王慧娟  
【摘要】:1736年Euler发表在圣彼得堡科学院中的《柯尼斯堡的七桥》成为了图论历史上第一篇重要的文献.由此,开创了数学中的一个分支-图论的研究.而在十九世纪中叶四色猜想被提出后,图的染色问题又成为图论一个非常重要的研究课题.一百多年以来,四色猜想一直引领着图论的发展,1976年,Appel和Haken两人借助计算机才得以证明了该猜想,于是四色猜想变成了四色定理.以此为标志,作为现代应用数学基石的新分支-图论进入了迅猛发展期.图的染色理论在组合最优化,计算机理论,网络设计等方面也起着重要的作用,例如网络中的数据传输,Hessian矩阵的计算等.本文旨在讨论可嵌入图的几类染色问题以及与其相关的著名猜想. 我们约定,除非特别明确指出,本文中所有的图都是无向,简单,有限并且非空的.对于一个图G来说,我们分别用V(G),E(G),F(G),δ(G),△(G)(或简单的用V, E,F,δ△)来代替图的点集,边集,面集,最小度以及最大度. 首先,我们研究的是图的全染色.对于一个图G=(V,E),它的一个正常k-全染色,是指图G的一个映射,使得G中任意两个相邻的点,相邻的边,以及相关联的点与边都分配到不同颜色的染色.如果一个图G存在一个正常的k-全染色,则称该图是k-全可染的.使得图G是k-全可染的最小整数k称为图G的全色数,记为χ”(G).显然,χ”(G)≥△+1Behzad与Vizing分别独立给出了著名的全染色猜想:对任意图G,都有χ”(G)≤△+2.对于平面图来说此猜想唯一还没有被证明的就是△=6的情况,本文证明了此猜想对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图来说除了△=6也都是成立的.另外,对于最大度比较大的平面图可以得到它的一个精确值,也就是说,χ”(G)=△+1.这个结果刚开始是对于△≥14给出的结论,后来王维凡把此结果推广到△=10,目前,此结果已经被证明对于△≥9是成立的,本文将证明此结果对于△≥9的可嵌入到欧拉示性数非负曲面图也是成立的.另外,对于最大度为7或8的平面图,加上一些围长或者圈的限制,我们也得到了很多比较好的结果. 其次,本文还讨论了图的线性荫度.如果一个图它的每一个分支都是路,我们称之为线性森林.一个图G的线性荫度是指把图G中的边集剖分成线性森林的最小数目,记为la(G).关于线性荫度,1980年,Akiyama,Exoo与Harary猜想la(G)≤[(?)]对每个正则图G都成立.显然,对于每个图G都有la(G)≥[Δ/2],对于每个正则图G都有la(G)≥[Δ+1/2],因此,Akiyama,Exoo与Harary的猜想等价于如下猜想,即线性荫度猜想:设G是一个简单图,则[Δ/2]≤la(G)≤[Δ+1/2].目前,线性荫度猜想仅被证明对几类特殊的图成立.本文我们证明了线性荫度猜想对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图也是成立的.另外,最近,M.Cygan等人提出了一个比较有意思的猜想:对于△≥5的平面图G,la(G)=[Δ/2].他们还证明了此猜想对于△≥9是成立的.在本文中,我们也证明了此结果对于△≥9的可嵌入到欧拉示性数非负曲面图也是成立的.另外,对于△≤7的平面图我们也得到了关于线性荫度的一系列结果. 最后,本文还探讨了图的列表边染色与列表全染色.如果对于图G的任意一条边e∈E(G),我们给其一个颜色集合L(e),那么就称L为G的一个边列表.如果G存在一个正常的边染色φ,使得对每条边e∈E(G)都有φ(e)∈L(e),则称图G是L-边可染的,或者称φ是图G的一个L-边染色.对于图G的任意一个满足条件|L(e)|≥k的边列表L,其中e∈E(G)为G的任意一条边,如果G都是L-边可染的,那么就称图G是k-边可选择的.使得图G是k-边可选择的最小正整数k称为图G的列表边色数,记作χ’l(G).类似地,我们可以给出图G的列表全色数χ”l(G)的定义.从上述定义中我们马上可以得到下列关系:χ’l(G)≥χ’(G)≥△,χ”l(G)≥χ”(G)≥△十1.作为图的经典染色的推广,列表染色已经得到了广泛的研究,其中一个著名的猜想就是:如果图G是一个多重图,那么(a)χ’l(G)=χ’(G),(b)x"_l(G)=x"(G)结合Vizing定理和全染色猜想,很容易得到如下猜想:对于任意一个图G,(a)x'_l(G)≤△+1,(b)x"_l(G)≤△+2.Borodin等人证明了对于△≥12的可嵌入到欧拉示性数非负曲面图来说,χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1.我们主要是研究最大度比较小的平面图在符合什么条件下是满足χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1的. 具体地说,本文分四章进行讨论. 第一章,我们给出一个相对完整的简介.首先,我们介绍了一些图论中的基本术语与符号,然后,我们给出本文讨论所涉及到的几类染色问题的详细定义,并给出与之相关的猜想与课题,最后给出本文的主要结论. 第二章,我们研究了图的全染色.首先,对于一个可嵌入到欧拉示性数非负曲面∑的图G,我们证明了χ”(G)≤max{9,△+2}.这个结果显示了,全染色猜想对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图来说只有△=6未证明.另外,我们还证明了对于一个可嵌入到欧拉示性数非负曲面∑的图G,其全色数χ”(G)≤max{10,△+1}.其次,我们给出了一些在平面图上的结果.对于△≥7的平面图G,我们证明了如果图G不含相邻的4-圈,则χ”(G)=△+1.对于△≥8的平面图G,我们证明了如果对图G任意一点v,存在两个整数iv,jv∈{3,4,5,6}使得v不关联相邻的iv,jv-圈,或者如果对图G任意一点v,存在两个整数iv,jv∈{3,4,5,6,7,8}使得v不关联相交的iv,jv-圈,或者对于图G任意的点v,点v不关联含弦的6-圈,或者不关联含弦的7-圈,或者不关联5-圈含两弦,则χ”(G)=△+1. 第三章,我们讨论了图的线性荫度.首先,对于一个可嵌入到欧拉示性数非负曲面∑的图G,我们证明了[Δ/2]≤la(G)≤[Δ+1/2].这意味着,对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图而言,线性荫度猜想是成立的.另外,我们还得到了对于此类图,如果△≥9,则la(G)=[Δ/2].其次,我们还给出了一些在平面图上的结果.对于△≥5且没有相邻4-圈的平面图,我们证明了如果图G中不含相邻的3-圈与5-圈,或者如果图G不含相交的3-圈与4-圈,则la(G)=[Δ/2].对于△≥7的平面图,我们证明了如果图G不关联含弦的i-圈其中i∈{4,5,6,7},或者如果对于任意一点v,存在两个整数iv,jv∈{3,4,5,6,7,8}使得v不关联相邻的iv-圈和jv-圈,则la(G)=[Δ/2]. 第四章,我们讨论了图的列表边染色与列表全染色.对于△≥7的平面图G,如果任意4-圈不相邻任意的i-圈其中i∈{3,4},则χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1.另外,对于△≥8且不含相邻4-圈的平面图G,其χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1.


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