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复分析与实分析中的几个问题研究

张克玉  
【摘要】:Nevanlinna理论是上个世纪研究亚纯函数性质所取得的最好的成果.这个理论包括了两个基本定理,我们把它们称之为第一基本定理和第二基本定理,这两个定理显著的提高了经典函数理论的研究.至今,以Nevanlinna理论为基础的亚纯函数值分布理论仍是国内外复分析专家研究的热点问题之一 微分方程解的存在性是泛函分析研究的重要内容之一,非线性泛函分析中的拓扑度理论和锥理论是研究微分方程边值问题解的存在性的重要方法. 本文主要包括作者在导师仪洪勋教授指导下得到的一些新结果.论文的结构安排如下 第一章,我们简单介绍了Nevanlinna理论的基本知识;同时介绍了非线性泛函分析的基本理论. 第二章,我们研究了亚纯函数唯一性与Borel方向的关系,得到了亚纯函数IM分担四个不同的值及在包含一条Borel方向的角域内的集的唯一性.我们的结果推广和改进了龙见仁和伍鹏程[35]近期的一个结果.实际上,我们证明了:定理0.1.若亚纯函数f具有熊庆来无穷级ρ(r),g∈且,(p(r)),argz=θ(0≤θ2π是f的ρ(r)级Borel方向,若f与9在角域Ω(θ-ε,θ+ε)IM分担aj(j=1,2,3,4)且对任意的ε(0επ),E(S,Ω(θ-ε,θ+ε),f)(?) E(s,Ω(θ-ε,θ+ε),g),这里S={b1,…,bm),m≥1且b1,…,bm).∈c\{01,a2,a3,a4}.则f与gCM分担所有的值,因此f三g或者f是g的Mobius变换.进一步,如果S中元素个数是奇数,则f三g. 第三章,我们研究一类微分差分多项式的值分布问题.实际上,我们得到下面的结果: 定理0.2.设f是有穷级的超越整函数,α(z)(≠0)是f的小函数,cj(j=1,2…d)是有限个不同的复数,n,m,d,k,vj(j=1,2…d)是非负整数.如果n≥k+2, 定理0.3.设f是有穷级的超越整函数,α(z)(≠0)是f的小函数,cj(j=1,2…d)是有限个不同的复数,n,m,d,k,vj(j=1,2…d)是非负整数.如果下面的条件之一成立:(ⅰ)n≥k+2,当m≤k+2,(ⅱ)n≥2k-m+3,当mk+1. 定理0.4.设f与g是有穷级的超越整函数,α(z)(≠0)是f与9公共的小函数,cj(j=1,2…d)是有限个不同的复数,n,m,d,k,vj(j=1,2…d)是非负整数. 定理0.5.设f与g是有穷级的超越整函数,α(z)(≠0)是f与g公共的小函数,cj(j=1,2…d)是有限个不同的复数,n,m,d,vj(j=1,2...d)是非负整数. 第四章,我们利用凹函数的性质Jensen不等式给出了先验估计,采用不动点指数理论得到本章的结果.本章我们主要研究了带有脉冲效应的四阶p-Laplacian边值问题正解的存在性.这里j=[0,1],f∈C([0,1]×R+,R+),Ik∈C(R+,R+),令0t1…tm1,△y'|t=tk=y'(tk+))-y'(tk-),这里y'(tk+),y'(tk-)是y'(t)在t=tk处的右极限与左极限. 设p*:=max{1,p),p*:=min{1,p},K1:=2p*-1,K2:=2m(p*-1),K3:=2p*-1,K4:=2m(p*-1),K5:=2p/p*+p*-2,K6:=2(m+1)(p*-1) 下面我们给出本章中用到的假设条件. (H1)存在ρ0使得0≤y≤p且0≤t≤1有f(t,y)≤ηpρp,Ik(y)≤ηkρ, 这里η,ηk≥0满足 (H2)存在0roρ且a1≥0,a2≥0满足 使得f(t,y)≥a1yp,Ik(y)≥a2y,(?)t∈[0,1],0yr0,(2) 这里σ:=mint∈[t1,tm]t(1-t)0. (H3)存在c0且a3≥0,a4≥0满足 使得f(t,y)≥a3yp-c,Ik(y)≥a4y-c,(?)t∈[0,1],y≥0.(3) (H4)存在ρ0使得σp≤y≤ρ且0≤t≤1有f(t,y)≥ζp ρp,Ik(y)≥ζkp, 这里ζ,ζk≥0满足 (H5)存在Orop且b1≥0,b2≥0满足 使得f(t,y)≤b1yp,Ik(y)≤b2y,(?Vt∈[0,1],0yr0.(4) (H6)存在c0且b3≥0,b4≥0满足 使得f(t,y)≤b3yP+c,Ik(y)≤b4Y+c,(?)t∈[0,1],y≥0.(5)实际上,我们得到了下面的定理: 定理0.6.假设条件(H1)-(H3)满足,则(1)至少有两个正解. 定理0.7.假设条件(H4)-(H6)满足,则(1)至少有两个正解. 将泛函分析与复分析的相关内容有机结合是一个非常重要的研究课题.我们可以继续研究下面的问题: 利用非线性泛函分析中的拓扑度理论(主要是Brouwer度),具体分析亚纯函数族中函数的性质,特别是针对连续函数,通过研究连续函数的零点情况,解决亚纯函数正规族中函数与其导数分担连续函数的问题.目前这方面的结果比较少,1999年,Bargmann,Bonk,Hinkkanen,Martin将亚纯函数族中函数与其导数分担值的问题推广到分担连续函数[2],但仍然有很多问题需要解决.


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