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带拟周期强迫的非线性薛定谔方程的拟周期解

芮杰  
【摘要】:本文主要研究一类带拟周期强迫的非线性Schrodinger方程的拟周期解的存在性.关于非线性Schrodinger方程的研究在近些年取得了很大的成果,尤其在物理中有很大应用价值.下列形式的非线性Schrodinger方程是Bose-Einstein凝聚态中平均场的一个重要模型,iut-(-△+V(x)+m)u+(γ0+γ1γ(t))|u|=0,m0,γ0,γ1∈R,(0.1)这是Bose-Einstein凝聚态研究中有关Feshbach共振控制和光纤通信的非线性的周期补偿中最感兴趣的一个问题,很多学者对它进行了相关研究,见[1]-[5].当方程(0.1)中的γ(t)关于时间t是拟周期函数时关于它的动力学性质以及解的解析性的结果还是比较少的,本文的研究包括这两个方面. 本文主要用无穷维KAM理论,得到了一类带拟周期强迫项的非线性Schrodinger方程的拟周期解的存在性,具体方程为iut-uxx+mu+Φ(t)|u|2u=εg(t),(0.2)满足周期边界条件u(t,x)=u(t,x+2π),(0.3)其中ε是一个小参数m0,Φ(t)和g(t)是两个关于t的拟周期函数,频率为ω=(ω1,ω2…,ωL),并对0(?)1,Λ0满足DΛ:={ω∈[(?),2(?)]L:|κ,ω|≥Λ/|κ|L+1’0≠κ∈ZL}.可以看出当g(t)(?)0和ε≠0时,u三0不是方程(0.2)的解.为了克服这个难点,在方程(0.2)中令u=u0(t)+εv(x,t)可以得到一个拟周期的非线性常微分方程iu0+mu0+Φ(t)|u0|2u0=εg(t),(0.4)和零为平衡点的带拟周期强迫项的Schrodinger方程wt-vxx+mv+Φ(t)(2|u0|2v+u20v+2εu0|v|2+εu0v2+ε2|v|2v)=0,(0.5)通过解这两个方程最终得到方程(0.2)的拟周期解u(t,x). 本文的具体安排如下: 第一章介绍Hamilton系统的定义和性质,辛结构,辛流形的基本定义和性质,以及介绍经典的KAM理论和一个无穷维的KAM定理,并给出带拟周期强迫的非线性Schrodinger方程的研究背景和研究现状. 第二章主要讲述了本文的主要结论以及用KAM理论来证明这个结论.我们通过分别求非线性常微分方程(0.4)的解以及带拟周期强迫项的Schrodinger方程(0.5)的解来得到系统(0.2)+(0.3)的解.具体过程为,我们先用Bibikov引理(见[6])求解带拟周期的非线性常微分方程(0.4)并得到该方程的解为u0(t.ξ.ε)=O(ε1/4),其频率为ω(ξ)=(ω1,ω2,...,ωL,α(ξ)∈DA×Aγ,其中 Aγ:={α∈R:|k.ω+|α|γ(|κ|+|l|)-(L+1),0≠(k,l)∈ZL×Z).然后求解零为平衡点的带拟周期强迫的非线性Schrodinger方程(0.5).而求解方程(0.5)需要经过约化过程来处理拟周期强迫项问题,最后用Birkhoff正规形方法将方程的Hamilton函数化为其中ξ,ξ=(ξj)0≤j≤ξj∈[0,1]为参数,并有λj=j2+m,μj=j2+m+O(ε1/2),j=0,1,上式中当ε→0时有o(1)→0,和为了应用无穷维的KAM定理,我们引入了新的参数ω 给定ω-=(ω1_,...,ωL_,ωL+1_)∈Π*和对ω(ξ)∈(ω1,...,ωL,α(ξ))有ω(ξ)∈Π*={ω(ξ)∈DA×Aγ,:|ωi-ωi_|≤ε,|α(ξ)-ωL+1_(ξ)|≤ε}. 引入新的参数ω=(ω1,ω2,...,ωL,ωL+1)使得ωj=ωj-+ε3ωj,ωj∈[0,1],j=1,…L, α(ξ)=ωL+1-+ε3ωL+1,ωL+1∈[0,1]. 因此Hamilton函数(0.6)变为H=ω(ξ),y+Q(ξ),Z+P,(0.7)其中ω(ξ)=ω(ξ)(?)ω0(?)ω及并有y=J(?)ρ0(?)ρ,α=(ω1,…,ωn.), β=(λn+1,λn+2,…).经过验证可得Hamilton函数(0.7)符合了Poschel(见文[7])中的无穷维KAM定理的条件,从而可以用无穷维KAM理论来证明该Hamilton系统的拟周期解的存在性,即证明了方程(0.5)的解析解的存在性.最后得到了原系统(0.2)+(0.3)的解,即得到本文的主要结论. 本文的主要结论: 假设Φ(t)和g(t)是两个关于t的实解析拟周期函数,频率为ω∈DA对于任意的指标集J={1,2,…,n),n≥1,都存在一个充分小的正数ε*使得对任意的0εε*.都存在子集J(?)[1/2(m+2[Φ]),3/2(m+2[Φ])],Ⅱ*(?)DA×Aγ和∑ε(?)∑:=DA×Aγ×[0,1]n+1以及measJ0和neas(∑\∑ε)≤ε,使得对任意的ξ∈J,(ω,α(ξ))∈Ⅱ*,(ω.α(ξ),ξ0,ξ1,...,ξn)∈∑ε,系统(0.2)+(0.3)有下形式的解其频率为其中 (1)α,ω是证明中构造出来的,依赖于ε,参数ζ和ξ=(ξ0,…,ξ)∈Rn+1.特别的,ωj=μj(ε)+ε3αj(ξ,ε),μj=j2+m+ε1/2(cj+rj(ε)),j=0,1,…,n, 这里|αj(ξ,ε)|≤C|ξ|,cj是一个常数,当ε→0时有|rj(ε)|→0; (2)u0(t)是方程(0.4)的一个非平凡解,依赖于参数(ζ,ε),频率为(ω,α(ξ))∈DA×Aγ,并有u0(t)=(?)(ε1/4); (3)μ1(t,x)频率为j2+m是下列线性方程的拟周期解iu1-(?)xxu1+mu1=0. 第三章是一些测度估计的详细证明.在第二章中求Hamilton函数的正规形时,需要对一些辛变换进行估计,这时有一些小除数问题需要考虑,因此我们在附录中对这些小除数问题进行了详细的估计.


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