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地下耦合流动模型求解和非线性问题二重网格方法

刘伟  
【摘要】:裂缝属于岩溶介质次生空隙结构,占总空隙的主要部分[76].它们不仅是地下水的赋存空间,也是环境污染现象的发生场所.袁道先院士在“新形势下我国岩溶研究面临的机遇和挑战”[85]中提出,岩溶地区水环境污染趋势正在加剧,经济发展和环境污染之间的矛盾也日益突出.提高对地下水流动系统的认识,有助于研究控制地下水资源固有脆弱性的潜在因素. 裂缝中的水流动与周围介质中的水流动有密切联系,当前研究中多用耦合模型来刻画裂缝介质地下水流动过程,其中耦合项是交界处的流量交换项[5,6,7,8,10,12,73].地下水实验证明流量交换项与岩溶介质和裂缝区域中的水头差成正比,比例系数与岩溶介质的传导系数和裂缝的几何形态等有关.岩溶介质属于多孔介质,往往假设其单相流动满足达西定律[60,79],对于裂缝中的流动,使用管流模型来刻画,因此形成了管流/达西(CCPF)耦合模型[14,44,75],模型建立过程详见第一章. 结合双重孔隙率方法,CCPF模型可以通过碳酸盐岩含水层孔隙演化(CAVE)代码求解[31].CAVE使用了MODFLOW[38]有限差分格式.稳态的CCPF模型在二维区域是适定的[75].CCPF模型的正则性已被证明,且得到了该模型有限元解的最优阶的L2和H1模误差估计[14].本文第二章至第四章将给出求解CCPF模型的一些数值方法.CCPF模型满足质量守恒定律,所以第二章考虑使用保持质量守恒的有限体积元法求解该耦合模型.裂缝与周围介质的交界边附近,存在各向异性特征,第三章将使用基于各向异性网格的Wilson元方法.鉴于该耦合模型的解具有沿着裂缝走向连续和垂直裂缝走向间断的特点,第四章将提出一种新型的非协调元方法求解CCPF模型. 地下水模拟和油藏数值模拟经常使用非线性模型,很多数值方法可以用来求解这类模型,其中比较著名的是二重网格方法.该方法的主要思想是:首先在粗网格上求解一个小型的非线性方程,然后利用这个粗网格上的数值解构造细网格上的线性方程,将这个线性方程的解作为非线性问题的数值解.因此二重网格法可以把一个在细网格上求解非线性方程的问题转化成一个粗网格上求解非线性方程和一个细网格上求解线性方程的问题.该方法的主要特点是将所有非线性迭代都放在粗网格空间执行.如果粗网格非常粗的话,在粗网格上的计算量就可以相对忽略.二重网格法的误差分析决定了粗网格步长和细网格步长之间的关系,根据误差估计可知二重网格算法既能不损失精度,又能提高计算效率. 本文将在第五章至第七章使用二重网格法求解一些非线性的模型.针对含有压力和速度非线性项的反应扩散方程,第五章给出了二重网格扩展混合元方法.第六章研究了半线性椭圆方程的二重网格扩展混合元解.Darcy-Forchheimier模型含有速度的非线性项,但是这个非线性项不可导,无法直接使用二重网格法,第七章将改进二重网格法并用其求解Darcy-Forchheimier模型的块中心有限差分解. 本文的组织结构如下: 第一章,给出了两部分的预备知识.第一部分介绍了一个数学模型——连续介质耦合的管流/达西(CCPF)模型.CCPF模型可以用来描述岩溶含水层单相流动问题,其中达西模型被用于研究多孔介质中的水流动过程,管流模型是用来研究裂缝区域的水流动过程.第二部分介绍了一个数学方法——二重网格法.二重网格方法经常用来求解非线性问题,该方法基于粗细两套网格,首先使用粗网格产生一个粗略的近似,然后用它作为初始猜测值在细网格上构造一个线性系统,最后求解此线性系统来得到非线性问题的解. 第二章,使用有限体积元法求解CCPF问题.首先给出了有限体积元逼近格式,然后证明了解的存在唯一性,得到了离散模意义下的最优阶误差估计.最后使用一些数值实验验证了方法的有效性和收敛性. 第三章,使用基于各向异性网格的Wilson元求解CCPF模型中达西方程,基于正则网格的一维有限元求解CCPF模型中的管流模型.在管道区域附近,因为解析解沿着y方向正则性低,所以采用各向异性网格剖分方式.证明了数值解的存在性和唯一性,推导了L2和H1模的最优阶误差估计.数值算例表明了该耦合数值方法的有效性.在网格剖分节点相同的情况下,基于各向异性网格的Wilson元的结果比正则剖分下的Wilson元或Q1,1元的结果好一些. 第四章,构造了一种新的非协调元,其基函数在参考单元中沿着一个方向连续而沿着另一个方向间断.使用新的非协调元-标准协调元耦合的数值方法求解CCPF模型.在正则的网格剖分下得到解的存在性和唯一性,推导了在L2和H1范数下的最优阶误差估计.数值算例中,基于三种不同的网格剖分方式研究了这种耦合数值方法的收敛速度,得到数值结果与理论分析一致的结论.甚至在一些例子中出现了超收敛现象.基于同一种剖分网格,采用新型的非协调有限元方法求解CCPF模型中的达西方程,比使用Q1,1元或Wilson元的结果要好得多. 第五章,使用二重网格法对非线性反应扩散方程的扩展混合元格式进行了求解,方程形式如下:其中Ω是具有C2边界aQ的d(d≥2)维区域,v是aQ的单位外法线向量,p表示未知的压力,s是可压系数,K是多孔岩石蓄水层的传导率. 二重网格算法可以将细网格空间求非线性方程组转化为在粗网格空间求一个非线性解和在细网格空间求一个线性解的过程.算法的误差为O(△t+hk+1+H2k+2-d/2),其中h,H分别为细网格步长和粗网格步长,k是逼近空间多项式次数,△t是时间步长.此误差估计式有助于粗网格步长的选取. 第六章,使用二重网格扩展混合元方法求解下面的半线性椭圆模型.基于RTN和BDM元,首先推出该模型的扩展混合元逼近格式,然后推导Lq和H-s模的误差估计,以此为基础研究压力和速度的最优阶误差估计,估计式子可以作为H的取值依据.在L2范数下,H=(O)(h1/2)是比较好的选择,可以得到渐近的最佳逼近.这意味着求解非线性椭圆问题并不比解决一个线性问题困难得多,因为用于解决非线性问题的工作量可以相对忽略. 第七章,基于块中心的有限差分格式使用二重网格法求解下列非线性Darcy-Forchheimier模型.其中相容条件为这里p代表压力,u代表流体的速度,n是Ω边界的单位外法线向量,|·|表示欧几里得范数,且|u|2=u·u. p,μ和β是标量函数,分别代表流体的密度和粘性系数,口也被称作Forchheimer数,K代表孔隙度的张量函数.f(x)∈L2(Ω)代表源汇项.▽h(x)∈(L2(Ω))2代表深度函数h(x)∈H1(Ω)的梯度.fN(x)∈L2(аΩ)表示Neumann边界条件或通过边界的流量. 使用二重网格方法的关键在于非线性项的二阶可导性.然而,Darcy-Forchheimier模型的非线性项含有的|·|导致导数不存在.因此考虑使用一种改进技巧:增加一个非常小的正参数ε来获得修正的非线性项,使其具有连续两次有界的导数.事实证明,改进后的非线性项和它的导数关于参数ε是一致有界的.通过采取适当的ε可以得到在离散L2范数下的最优阶误差估计.


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