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平面图的全染色、列表染色和无圈全染色

王兵  
【摘要】:本文所考虑的图都是有限简单图.我们用V(G),E(G),F(G),△(G),δ(G)和g分别表示平面图G的顶点集,边集,面集,最大度,最小度及围长.对任何一点υ∈V,我们把与υ相邻的所有点的集合记作N(υ),用d(v)=|N(v)|代表υ的度数.一个k-圈是长度为k的圈,其中3-圈也称作三角形.长度不超过5的圈称为短圈.图G的正常k-全染色是指用k种颜色对V(G)∪E(G)中的元素进行染色,使得相邻的或者相关联的两个元素染不同的颜色.使得图G存在正常的k-全染色的最小正整数k称为G的全色数,记作χ″(G).如果我们只对图G的顶点或者边进行染色,那么就可以分别得到图G的点色数χG)和边色数χ′(G).显然,X"(G)≥△+1.Behzad和Vizing各自独立提出下面这个著名猜想:对任意图G,△(G)+1≤x"(G)≤△+2. 对于一般图来讲,该猜想在最大度为△≤5的图中已被证明是成立的.对于平面图而言,仅剩下△=6的情形是需要验证成立的. 我们利用“充放电”的方法,求得了几类有限制条件的平面图的全色数. 首先讨论了不含相交短圈的情形,得到如下结论: 定理1假设G是最大度为△(G)≥7的平面图.如果3-圈与3-圈不相交,那么它的全色数χ″(G)=△+1. 定理2假设G是最大度为△(G)≥7的平面图.如果3-圈与4-圈不相交,那么它的全色数χ″(G)=△+1. 定理3假设G是最大度为△(G)≥7的平面图.如果5-圈与5-圈不相交,那么它的全色数X"(G)=△+1. 然后讨论了不含带弦6-圈的平面图的染色问题,得到如下结论: 定理4假设G是最大度为△(G)≥7的平面图.如果G不含带弦6-圈,那么它的全色数χ″(G)=△+1. 继而讨论了最大度不大于5的平面图的全染色问题,得到如下结论: 定理5假设G是最大度为△,围长为9的平面图,且存在一个整数t(g)使得G不含有长度从g+1到t的圈.如果(a)(△,g,t)=(5,4,6)或者(b)(△,9,t)=(4,4,17),那么它的全色数χ″(G)=△+1. 定理6假设G是最大度为3,围长为g9,每个顶点至多关联一个g-圈的平面图,且存在一个整数t(g)使得G不含有长度从9+1到t的圈.如果G满足以下条件之一,那么它的全色数χ″(G)=△+1. (a)g=5且t≥29,(b)g=6且t≥17,(c)g=7且t≥13; (d)夕=8且t≥11,(e)g=9且t≥10. 最后,从度和的角度研究了平面图的全染色问题.令s△=min{d(u)+d(v)+d(w)|uvw是G中的任意三角形}及δ△=min{d(u),d(v),d(w)|uvw是G中的任意三角形}. 定理7假设G是最大度为△≥7的平面图.如果s△≥18且δΔ≥6,那么它的全色数χ″(G)=△+1. 定理8假设G是最大度为△≥8的平面图.如果s△≥19且δΔ≥5,那么它的全色数χ″(G)=△+1. 本文讨论的另一个问题是列表染色.对于图G的每一条边e,我们都给定一个颜色集合L(e),那么这个映射L就称为图G的一个边安排.如果图G存在边染色φ使得对任意边e∈E(G),都有φ(e)∈L(e),则称图G是L-边可染的.对于图G的任意一个满足条件|L(e)|≥κ的边安排L,其中e∈E(G)为G的任意一条边,如果G都是L-边可选择的,那么就称图G是k-边可选择的.使图G是k-边可选择的最小正整数κ称为图G的列表边色数,记作χ′l(G). 类似地,我们可以给出图G的列表色数χl(G)和列表全色数χ″l(G),它们分别是把上述边染色换为对图G的顶点或者顶点和边进行染色.从上述定义中我们马上可以得到下列关系X'l(G)≥x'(G)≥△,X"l(G)≥X"(G)≥△+1. 本文主要讨论了平面图的列表染色.主要结论有: 定理9假设G是最大为△(G)≥8的平面图.如果3圈与k圈不相邻k∈{4,5),那么χ′l(G)=△且χ″l(G)=△+1. 本文讨论的最后一个问题是无圈全染色.一个图G的正常全染色被称为无圈全染色,如果它能够使得G中的每个圈所关联的点或边上至少出现4种颜色.图G的无圈全色数χ″a(G)是使得图G存在一个无圈全染色的最小正整数k.无圈全染色问题是由孙向勇、吴建良提出,并给出以下猜想:对任意图G,△(G)+1≤X"α(G)≤△(G)+2. 本文研究了平面图的无圈全染色.我们给出了有关上述猜想的的主要结果: 定理10假设G是最大度为△≥6的平面图.如果3-圈与4-圈不相交,那么它的无圈全色数χ″a(G)≤△+2. 定理11假设G是最大度为△≥7的平面图.如果3-圈与3-圈不相交,那么它的无圈全色数χ″a(G)≤△+2. 定理12假设G是最大度为△≥7的平面图.如果短圈i-圈与j-圈(i≠j)不相邻,那么它的无圈全色数χ″a(G)≤△+2. 定理13如果G是最大度为△≥9的平面图,那么它的无圈全色数χ″a(G)≤△+2.


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