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《山东大学》 2015年
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随机微分方程的递延校正解

严伟  
【摘要】:递延校正方法在求常微分方程数值解方面有着成功的应用,该方法通过对低阶格式的不断校正而得到高阶的数值解。这一方向的理论目前已发展得相对成熟,对于该方法在应用过程中的各种细节的讨论也已经非常得清晰。然而,将递延校正方法用于求解随机微分方程的数值解还是一个相对空白的领域,本文将给出这一方向的一个初步的讨论。本文将针对一般形式的随机微分方程进行讨论,因此,结论具有一定的普适性。首先本文给出了求随机微分方程的递延校正解的算法。该算法的推导思想是建立在经典的递延校正方法的基本思想之上的,这一思想可以概括如下:首先利用任一k阶格式给出随机微分方程的一个初始估计;进而构造相应的误差方程,将该误差方程的数值解补偿给初始估计而完成一次校正,从而得到一个新的数值解;将这个新的数值解作为初始估计,重复上述校正过程。对校正的次数并没有规定,当然,并不是校正次数越高的数值解的精度越高,这是本文的结论之一。在给出算法之后,本文安排了两个数值实验对算法的效果进行检验。第一个数值实验针对线性随机微分方程进行,我们探究了在初始估计阶段和循环校正阶段采用各种不同的数值格式时,所得数值解的强、弱收敛状况;第二个数值试验则是针对一个非线性随机微分方程进行的,所讨论的内容与前一例相同。最后,我们对实验所得的结果进行了总结和分析,发现当初始估计和循环校正阶段均采用Euler格式或Milstcin格式时,本文所提出的数值解的强收敛阶稳定在0.5左右,弱收敛阶稳定在1.0左右。同时,我们的数值解的精度一般要比初始估计的精度高,尤其是在第一次校正之后,精度提高的幅度是十分明显的。相比之下,当校正次数大于一次时,精度提高的幅度将变得非常有限。本文同样分析了产生这一现象的原因,随着校正次数的增加,计算量随之增大,误差不断累积是原因之一;另外,本文是根据定义对随机微分进行估计的,这种方法的精度不高,也限制了校正的效果。在利用递延校正方法求解随机微分方程这一方向上,本文所做的工作是初步的,因此还有许多需要进一步研究和改进的地方。例如,本文对区间进行均匀剖分,其它的剖分方式是否会对数值解的精度带来影响?这一问题有待进一步的探究。另外,本文是通过定义对随机积分进行估计的,其缺点如上所述,那么有没有其他更好的估计随机积分的方法?如果选取了合适的方法,相信会对该方法的精度甚至收敛阶带来较大的提高。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O211.63

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