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《山东大学》 2015年
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关于差分多项式值分布和微分差分方程解的研究

李楠  
【摘要】:上世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna建立了复平面C上的亚纯函数值分布理论。此理论为该世纪最为重要的数学理论之一,以两个基本定理为核心内容,即Nevanlinna第一及第二基本定理。该理论自确立后不断自我完善和发展,同时广泛应用到其他的复分析领域,如亚纯函数唯一性理论,正规族理论,复微分及差分方程理论,多复变理论等.微分方程的复振荡理论用复分析的理论和方法来研究微分方程,是边缘领域的交叉学科。自从上世纪八十年代S. Bank和I. Laine得到了一些原始结论后,该理论非常流行。许多数学家进行了深入的研究,并且长期关注它。复差分方面的Nevanlinna理论是最近才确立的。其中,最关键的结果是差分对数导数引理,Halburd-Korhonen [22,23]和Chiang-Feng [17]分别独立的给出了这个引理的两种表达形式。在此基础上,许多学者研究了涉及差分形式的值分布,差分方程,和微分-差分方程解的问题.本文主要包括作者在导师杨连中教授的指导下得到的一些新结果。论文的结构安排如下:第一章,做为背景知识,我们简单介绍了Nevanlinna理论,涉及差分形式的Nevan-nalin理论,他们是研究亚纯函数值分布论和复微分,差分方程的重要工具。第二章,我们研究了形如P(f)f(z+c)-α(z)和f(z)nL(f)的亚纯函数差分多项式的值分布问题,并得到了几个相关结果,可看作关于Hayman [25]经典微分多项式fnf’值分布结果的差分推广。第三章,我们利用Nevanlinna理论的差分模拟,研究了一类线性差分方程的亚纯解的复振荡问题,并得到了此类方程亚纯解的零点,极点收敛指数和增长级关系的一些结果。另外,我们还研究了一类特定类型非线性微分-差分方程解的存在性问题,部分回答了Yang-Laine [44]在2010年提出的一个猜想。第四章,我们研究了微分方程亚纯解的复振荡理论。对于一类高阶线性微分方程的解的超级,和其不 动点的收敛指数进行了估计。特别的,研究了此类方程退化为二阶时的解和其导函数的不动点的收敛指数。另外,我们还研究了另一类型的二阶线性微分方程的次正规解的存在性问题,并对此类方程解的超级进行了估计。这些结果推广了Gundersen-Steinbart [21], Wittich [42]和Chen-Shon [9,10,11]等的结果。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O174.52;O175

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