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《山东大学》 2016年
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G—布朗运动驱动的随机微分方程

罗鹏  
【摘要】:为了解决模型不确定性问题,风险度量问题以及金融中的超对冲问题等,Peng系统地建立了时间一致的非线性期望理论(见[69],[71]以及[74])。作为一个重要情形,Peng通过下面的全非线性偏微分方程引入了G-期望理论(见[77]):这里G:Sd→R为一给定的有界单调的次线性函数且Sd为由所有d×d对称矩阵组成的集合。在G-期望框架下,Peng构造了相应的G-布朗运动,并且在“拟必然”(q.s.)意义下建立了相应的It6随机积分。在这一基础上,Gao[23]和Peng[76]研究了在标准Lipschitz条件下由G-布朗运动驱动的随机微分方程解的存在唯一性。Lin-Bai[57](也见Lin[53],Li-Lin-Lin[49])进一步在弱一些的条件下得到了G-随机微分方程解的存在唯一性。Luo-Wang[59]研究了G-随机微分方程的样本解。他们证明了可以利用一族带参数的常微分方程来研究G-随机微分方程。Hu-Ji-Peng-Song[34]建立了由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程解的存在唯一性。他们[35]得到了比较定理,对应的非线性Feynman-Kac公式以及Girsanov变换。对次线性期望和G-期望的更多结果,请读者参阅Bai-Buckdahn[6],Denis-MIartini[14],Dolinsky-Nutz-Soner[15],Dolinsky [16],Ggo-Jiang[24],Gao[25],Hu-Li-Wang-Zheng[36],Hu-Peng[37,38],Hu-Wang[39], Hu-Wang-zheng[40],Li-Peng[50],Lin[51,53,52],Nutz[64],Nutz和Van Handel[65], Peng-Song[79],Soner-Touzi-Zhang[90],Song[91,92,93,94],Xu-zhang[98],Zhang-Xu-Kannan[101]等。本论文集中研究了G-框架下的几个题目。我们在第1章中回顾了次线性期望以及G-期望的一些准备知识。第2章中,我们得到了一些G-正态分布的刻画,这补充了G-正态分布理论。第3章中,我们首先考虑了一类G-随机微分方程的显式解,接着我们研究了G-随机微分方程的一般样本解,继而建立了区域内G-随机微分方程解的存在唯一性,得到了相应的比较定理。第4章中,我们用概率方法证明了多维G-随机微分方程的比较定理。同时利用偏微分方程方法,我们给出了多维G-随机微分方程比较定理的充分必要条件。基于第4章的结果,我们在第5章中研究了G-扩散过程的单调性和保序性。我们分别给出了充分条件和必要条件。第6章中,我们分别引入了G-随机微分方程的生存性,随机伴随切锥和切锥的定义。利用随机伴随切锥和切锥,我们给出了G-随机微分方程生存性的等价刻画。我们研究了随机切锥的正像和逆像,继而得到了一族闭子集生存性的刻画。第7章主要研究带非线性阻尼的反射G-随机微分方程。我们考虑系数的积分Lipschitz条件并且系数依赖于增过程。利用Picard迭代的方法,我们建立了解的存在唯一性。进一步,我们得到了比较定理。下面,我们将列出本论文的主要结果。2.G-正态分布的刻画我们只考虑次线性期望空间(Ω,H,E)中的非退化随机变量X,i.e.E[X2] (E[|X|])2由G-正态分布的定义,G-正态分布的一个等价刻画为:对任意a,b0这里Y为X的独立复制。记那么我们考虑被入的非负函数f(入)替代的情况。事实上,我们有下面的定理。定理0.1.令f为定义在R的包含0为内点的子区间上的非负函数。X为次线性期望空间(Ω,H,E)中的非退化随机变量,如果对所有使得f(λ)非负的入λX+f(λ)Yd=X这里Y为X的独立复制,那么:(i)X为G-正态分布;定理0.2.令X,Y为次线性期望(Ω,H,E)中的两个非退化随机变量,f为定义在R的包含0为内点的子区间上的非负函数。假设Y独立于X,且对所有使得f(λ)非负的入,λX+f(λ)Y为分布不依赖于λ的非退化随机变量,那么:(i)对某些常数a,b0,(ii)x和Y为G-正态分布且满足这里3.G-布朗运动驱动的随机微分方程考虑下面由1-维G-布朗运动驱动的随机微分方程:这里初始条件X0 ∈ R,b, h, σ为定义在R上的R-值函数且对某一常数C.当σ∈C1(R)且满足时,当b满足一定条件时,通过构造一类偏微分方程的解,我们给出了(0.0.1)的显式解这里_f为定义在R上的R-值连续函数,φ满足一定的可微性。当σ∈C1(R)且满足时,当b满足一定条件时,我们给出了(0.0.1)的显式解φ(t,x,Bt,∫0tf(s)dBs),这里f为定义在R上的R-值连续函数,φ满足一定的可微性。接着我们考虑广义样本解,假设F为R+×R2中的一个开区域且σ(t,x,y) ∈ Cb,lip 2(F)以及b(t,x,y), h(t,x,y)∈ Cb,lip(F)我们考虑下面的G-随机微分方程:这里(0,0,X0)∈F.我们首先考虑下面的确定性初值问题:这里t为参数。进一步,上面的常微分方程存在唯一解y=φ(t,x,v) ∈C2 (F),这里F为R+×R2中的某一开域。定义:我们有:接着我们解下面的带参数ω的常微分方程:注意到B)t为连续有限变差过程,那么常微分方程(0.0.4)存在唯一解V= Vt(ω),0≤t≤T(ω)且-为“爆炸时”。我们得到区域内G-随机微分方程解的存在唯一性。定理0.3.设F为R+×R2中的开区域且σ(t,x,y)∈ Cb,lip2(F)以及b(t,x,y)∈Cb,lip(F), h(t,x,y)∈Cb,lip(F)那么G-随机微分方程(0.0.2)存在唯一解:这里φ和V分别由(0.0.3)和(0.0.4)给出。T为Xt的“爆炸时”。进一步,我们得到了区域内G-随机微分方程的比较定理。定理0.4.设和如果存在三个函数σ,f和g满足Caratheodory条件以及不等式那么对G-随机微分方程(0.0.2)的解Xt有q.s.其中t使得上式两边均有意义,φ以及V分别为如下初值问题的极大解:和且X0≤X0.4.G-布朗运动驱动的多维随机微分方程的比较定理考虑下面的G-随机微分方程:以及这里初始条件X0,Y0 ∈Rn为给定常数且X0≤Y0.利用随机微分的方法,我们得到下面的多维G-随机微分方程的比较定理。定理0.5.假设下面的两个条件成立。(B1)对任意t∈[0,T]以及i=1,...,n,每当xi=yi且xj≤yj对所有j≠i,不等式成立。(B2)b,hij,σi和b,hij,σi满足条件(H2’)并且(σi)k只依赖于xk,对每一k=1,...,n,i,j=1,...,d,i.e.,对所有t ∈[0,T],x,y ∈Rn.那么对所有t∈[0,T],Xt≤Yt q.s.接着,我们引入G-随机微分方程:的生存性定义。定义0.1.给定闭子集K∈ Rn.我们称K关于方程(0.0.7)是可生存的如果从任意时间t∈[0,T]和任意x∈K出发,G-随机微分方程(0.0.7)的解(Xs t,x)t≤s≤T满足对每一s∈[t,T],我们定义下面的实值函数u:这里C为常数,dK(x)表示x到K的距离函数:易见u在[0,T]×Rn上连续且关于x平方增长,K关于G-随机微分方程(0.0.7)是可生存的当且仅当进一步,从Peng[76]中的定理3.7,我们有函数u(t,x)是下面偏微分方程的唯一粘性解:这里对φ∈C1,2([0,T]×Rn),下面的定理描述了G-随机微分方程生存性成立和到约束集合的距离的平方为相应的偏微分方程的粘性上解之间的等价关系。定理0.6.假设条件(H2’)成立。那么下面的条件等价:(1)K关于G-随机微分方程(0.0.7)是可生存的;(2)dK2(·)是偏微分方程(0.0.9)的粘性上解。由定理0.6,我们得到多维G-随机微分方程比较定理的充分必要条件。对每一v,∈{1,2}和t ∈[0,T],s ∈[t,T],考虑下面的G-随机微分方程:这里x1,x2∈Rn.定理0.7.假设bv,hijv和σiv满足条件(H2’)对任一v∈{1,2},那么下面的条件等价:(1)对任一t∈[0,T]和x1≤x2,(2)σ1=σ2且对任一t ∈[0,T].k ∈{1,…,n),这里为d×d对称矩阵。5.多维G-扩散过程的单调性和保序性令(X)0≤t≤T为n-维G-Ito扩散过程这里(Bt)0≤t≤T为d-维G-布朗运动且b,h,σ为定义在Rn上的Lipschitz连续函数。Markov半群εt定义为εtf(x)=E[f(Xt0,x)],这里X0,x表示初始时刻为t=0初始条件为x的G-Ito扩散过程且f为定义在Rn上的函数。Markov半群的无穷小生成元L满足对使得上述极限存在的f,并且为如下形式:这里(?)xf,h+(?)xx2fσ,σ为d×d对称矩阵,如下定义:类似于Herbst-Pitt[31]和Chen-Wang[11],我们引入下面的定义。令“≤”表示Rn中的半序。(1)我们称可测函数f为单调的如果f(x)≤f(x)对所有x≤x.记M为所有有界Lipschitz连续的单调函数。(2)对两个半群{εt}0≤t≤T和{εt)0≤t≤T,我们记εt≥εt,如果对所有f∈M,对所有x≥x和0≤t≤T,εtf(x)≥εtf(x).如果εt=εt,我们称εt单调。设并设{εt}0≤t≤T,{εt}0≤t≤T和{ε't}0≤t≤T为分别由L,L和L'生成的半群。我们假设b,hij,σi和b,hij,σi满足条件(H2)对每一i,j=1,...,d.我们有如下G-扩散过程的单调性和保序性结果。定理0.8.假设下面的条件成立:(C1)对所有i,j,σliσkj只依赖于xi和xj,l,k=1,...,d.(C2)对所有i,当x≤y且xi=yi.那么εt单调。定理0.9.如果εt单调,那么下面的条件成立:(C1)对所有i,j,σliσkj只依赖于xi和xj,l,k=1,..,d.(C2')对所有i,当x≥y且xi=yi.定理0.10.如果εt≥εt,那么下面的条件成立:(D1)对所有i,j,σilσjk≡σilσjk且σilσjk只依赖于xi和xj,l,k=1,...,d.(D2)对所有i,当x≥y且xi=yi.定理0.11.假设(H3)成立且σσ*(或者相应的σσ*)为一致正定的,i.e.,存在常数β0,使得对所有y ∈Rn,x ∈Rn,y*σ(z)σ*(x)y≥β|y|2如果εt和εt之一单调,如果下面的条件成立:(D1)对所有i,j,σilσjk≡σilσjk且σilσjk只依赖于xi和xj,l,k=1,...,d.(D5)对所有x,K ∈Rn,K≥0,那么εt≥εt.6.G-布朗运动驱动的随机微分方程的随机生存性我们考虑全局扩张的域流,这允许我们利用可测选择的结果。由于Peng[76]和Li-Peng[50]的工作,在这一新的设定下,G-Ito随机积分仍然成立,推广了被积函数的空间。在系数的标准Lipschitz假设下,G-随机微分方程的唯一解存在于新空间M2(0,T)中。我们引入G-布朗运动驱动的随机微分方程:的生存性定义。定义0.2.设K为Rd的一族闭子集,称K关于G-随机微分方程(0.0.11)可生存,如果起始于任意时刻t∈[0,T]和取值于Kt的任意随机变量ζ∈L2(Ft),G-随机微分方程(0.0.11)的解(Xst,ζ)t≤s≤T满足对每一s∈[t,T],考虑取值于Kt的随机变量ζ∈L2(Ft),接着我们引入伴随切锥和切锥的定义。定义0.3.在ξ处关于K的随机伴随切锥Cκ(t,ζ)为所有Ft可测的有界随机变量三元组(u,v,ω)的集合,使得对任一∈0,存在δ'0使得对每一δ∈(0,δ']我们可以找到三个Ft+δ-可测的随机变量aδ,bδ和cδ使得且满足定义0.4.在ξ处关于k的随机切锥Tκ(t,ζ)为所有Ft可测的有界随机变量三元组(u,v,ω)的集合,使得存在三个有界适应随机过程as,bs,cs且满足当s →t时趋于0,使得对某一常数δ'0,这里随机过程d=a,b,c满足:对任一p0存在只依赖于p和T的常数Cp使得利用随机伴随切锥和切锥,我们得到了G-随机微分方程生存性的等价刻画。定理0.12.设K为Rd的一族闭子集,那么下面的条件等价:(1)K关于G-随机微分方程(0.0.11)可生存.(2)对任一取值于Kt的ξ∈L2(Ft),(3)对任一取值于Kt的ξ∈L2(Ft),通过研究随机切锥的正像和逆像,我们建立了K的生存性的等价刻画。定理0.13.设κ:=(κt)0≤t≤T为Rd的一族闭子集且如果那么定理0.14.设κ:=(κt)0≤t≤T为Rd的一族闭子集且如果矩阵φ'(x)存在右逆φ'(x)+(有界Lipschitz函数),那么当且仅当7.G-布朗运动驱动的带非线性阻尼的反射随机微分方程我们考虑下面的带非线性阻尼的反射G-随机微分方程:这里(A1)初始条件x∈R;(A2)对某一常数p 2, f, h, g:Ω×[0,T]×R×R满足对任意x,y∈R,f.(x,y),h.(x,y), p.(x,y) ∈ MGp([0,T])以及这里β1 ∈ MGp([0,T)以及β2∈R+;(A3)f,h,g满足积分Lipschitz条件,i.e.,对任意t∈[0,T]以及这里β:[0,T]→R+可积,p:(0,+∞)→(0,+∞)为连续增的凹函数满足在0+处为零以及(A4)障碍过程为所有系数都为MPG([0,T])中元素的G-Ito过程,并且我们假设S0≤x,q.s..我们得到了解的存在唯一性。定理 0.15.假设条件(A1)-(A4)成立,那么带非线性阻尼的反射G-随机微分方程(0.0.13)存在唯一解。对于比较定理,考虑下面的带非线性阻尼的反射G-随机微分方程:并假设:(A2’)对某一常数p 2,f,Ω×[0,T]×R×R→R和g:Ω×[0,T]×R→R满足对任意x,y ∈ R, f.(x,y),h.(x,y),和g.(x) ∈ MGp([0,T])以及这里β1, ∈ MGp([0,T])以及β2∈R+;(A3’)f,h,g满足积分Lipschitz条件,i.e.,对任意t∈[0,T]和这里p:(0,+∞)→(0,+∞)为连续增的凹函数满足在0+处为零以及我们有如下结果。定理0.16.假设对于i=1,2,fi,hi,gi满足条件(A1),(A2’),(A3’)和(A4).我们假设:(1)x1≤x2和g1=g2=g;(2)ft1(x,0)≤ft2(x,0)以及ht1(x,0)≤h2t(x,0),对任意x∈R,f1,h1关于y递减,f2,h2关于y递增,且St1≤St2,0≤t≤T,q.s..如果(X',K')是对应于参数(fi,hi,g,Si)的带非线性阻尼的反射G-随机微分方程的解,i=1,2,那么Xt1≤Xt2,0≤t≤T,q.s..
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O211.63

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