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《山东大学》 2016年
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倒向随机微分方程在经济金融优化问题中的应用

李立  
【摘要】:本论文研究的是倒向随机微分方程(BSDEs)在经济和金融相关优化问题中的应用。我们知道倒向随机微分方程理论是由Pardoux和Peng在论文[62]建立的。从起源上看,研究引入倒向随机微分方程的主要目的就是为了解决随机控制问题,也就是研究随机最大值原理。因此在此之后有许多与倒向随机微分方程有关的随机控制理论方面的研究,在这些研究当中,随机最大值原理总是主要的技术方面的研究控制问题工具。许多的研究及其成果还扩展到其他的领域,例如经济和金融,这使得倒向随机微分方程理论成为跨学科的成果,在经济和金融领域里许多优化问题会应用倒向随机微分方程来解决。本论文解决了三个分别覆盖微观经济学,宏观经济学和行为金融学领域的热点问题。本文中第一个微观经济学问题是一个关于长期委托人-代理人问题(principal-agent问题,简称PA问题)或者称是长期契约问题(contracting problem)。这个问题中,契约双方对项目质量,或是代理人质量(如能力等)具有对称不确定性(即项目中的有关质量参数是未知的),并且代理人有隐藏行动(hidden action)。此外,我们还假设代理人对新息(innovation)布朗运动的分布不确定。也就是说,给定新息后(学习后),代理人对项目的产出或是现金流分布不确定。因此我们第一个问题是解决一个风险中性委托人如何设计一个合同,使自己的效用(即利润)最大化,并且设计最优合同是受同时具有风险厌恶和模糊厌恶的代理人动机(incentive)约束。在历史上,Holmstrom和Milgrom[38]第一个在连续时间框架下解决隐藏行动问题,或者我们称为道德风险(moral hazard)问题。Sannikov[70]在给代理人的酬劳按连续时间率支付的假设下给出了一种解决道德风险问题的易处理方式(tractable way)。这个假设普遍用于在随后至今的连续时间模型中。Prat和Jovanovic[68]以及He et al[37]分别研究需要双方学习项目中未知代理人能力的契约问题。Prat和Jovanovic[68]研究的是非稳定学习,而He et al[37]聚焦于稳定学习情况。Miao和Rivera[61]研究了一个稳健合同(robust contract)情况,然而他们关注的是委托人面对模糊的情况,而不是代理人。相反的,我们认为由于作为专业管理人员的代理人对环境具有更多的经验和知识,他更清楚明白自己所面临的复杂环境,因此是代理人能意识到模糊性。并且,我们采用的是Chen-epstein[9]方法来处理模糊性。所以,我们的模型同时考虑关于项目质量的学习以及模糊的情况,这使我们考虑的问题更加符合复杂现实的世界。在这个契约问题中关键难点是怎样给出合同满足动机相容(incentive compatible contract,简称IC)条件的必要条件。合同的动机相容性实质上是代理人控制问题。我们能证明本质上我们可以把这个得到必要条件的问题等价于解一个比倒向随机微分方程系统更加复杂的正倒向随机微分方程(FBSDEs)的随机控制问题。详细的说,我们需要用Cvitanic和Zhang[15]中介绍的最大值原理来解决正倒向随机微分方程控制问题。但是我们在模糊下的动态合约模型诱导出的正倒向随机微分方程是非光滑的:倒向方程的漂移项关于状态变量不是连续可微的。连续可微条件是随机最大值原理证明过程中所用的变分法所必须的,因为第一步是对状态变量进行微分。因此此问题中我们数学上的技术贡献是通过使用非光滑分析中的广义导数方法,解决了上述难题,并得到了代理人问题的一阶必要条件。我们用两个分别包含一个信息租金(information rent)集合中的上界和下界的方程来表示这个必要条件,而经典正倒向随机微分方程控制问题的结果中只有一个方程。正是由于模糊使我们得到一个信息租金集合,因为模糊下我们会得到一族关于代理人连续价值的最坏情况概率(worst-case beliefs)。经济上来说我们的必要条件是按照一种稳健形式(robust form)展示的。更重要的是,在把必要条件作为求解最终委托人最优合同问题的控制限制后,我们能够用动态规划方法得到一个HJB方程。并且我们能够解出这个HJB方程,即一个偏微分方程(PDE)的显式解,这也同时意味着我们能够得到最优合同的具体数学形式。所以我们最后能够很方便的详细分析合同内容并且得到了很多重要的经济意义和结果。第一个问题的研究成果是我在美国波士顿大学经济系为期一年的访问学者期间完成的。合作作者是来自波士顿大学的苗建军教授和来自山东大学的嵇少林教授:Dynamic Contracts with Learning under Ambiguity, with Shaolin Ji and Jianjun Miao, Boston University working paper.第二个宏观经济学问题是关于在连续时间框架下如何实施带零利率下界限制的有承诺的(under commitment)最优货币政策。在名义利率上实施的零利率下界限制在解决流动性陷阱问题时是非常常用的,最现实的例子就是美国自2008年经济危机后至今所面临的流动性陷阱情况。自那场危机以后,美国联邦储备委员会(美国央行)将名义利率迅速降到零利率附近以缓和经济衰退,并将零利率保持至今(直到2015年第四季度才宣布加息25个基准点)。结果是,名义利率在零点附近而不能继续下降,因此以利率为调控手段的货币政策失效。我们用新凯恩斯模型来研究随机连续时间框架下的最优货币政策。历史上,新凯恩斯模型来自于Eggertsson和Woodford [19], Woodford [78]以及Gali[26]所建立的离散时间公式。Clarida, Gali和Gerlter[11]从不带零利率下界的离散时间模型来研究新凯恩斯主义下的最优货币政策。Adam和M. Billi[1]在离散时间框架下研究带零利率下界的具有承诺性的最优货币政策。Ivan Werning[75]研究了在流动性陷阱中带零利率下界的连续时间框架下的最优货币政策问题,但是他构建的是确定性模型。我们研究的问题中经济模型被转化成了解决无穷时间区间下倒向随机微分方程的控制问题。Shi和Peng[66]研究了无穷时间区间的正倒向随机微分方程,Haadem和Oksendal[30]研究了无穷时间区间下的最大值原理,但是这些方程中的参数条件都过于严格,不适用于我们的模型。所以在解决此问题中我们的技术贡献是:(1)我们研究了无穷时间区间下在我们构造的最优货币政策模型中倒向随机微分方程解的存在性。其中关键点就在于如何构造方程相应终端条件(transversality condition)以保证可行控制集合是非空的,否则的话这个控制问题就是无意义的(ill-posed);(2)我们得到了最优解的必要条件,即得到了相应的伴随方程和无穷时间框架下此控制问题最优解满足的汉密尔顿函数(Hamiltonian);(3)我们还给出了极限条件来保证无穷时间下的控制问题中的必要条件也是充分条件。因此我们可以分析最终得出的充要条件,从而得出相应的关于最优货币政策的经济暗示。这一部分的工作来自于我和山东大学嵇少林教授的工作论文:Proposal on optimal monetary policy under commitment with zero lower bound in continuous setting, with Shaolin Ji.第三个行为金融问题是关于解决一个g-期望下的最优投资组合选择问题。在此问题中,投资者的效用函数满足Inada条件。我们的模型是基于以前的Jin和zhou[46]的研究,但是我们在这里用的是g-期望,一种非线性期望来代替他们文章中的非线性概率扭曲。这种非线性期望可以刻画类似于第一章中代理人所面临的模糊情况。具体到模型上来说,我们用由Peng[64]引入的g-期望来代替Jin和zhou [46]中用的Choquet期望。此外,我们用了不同的S型效用函数和g-函数来分别构造表示投资者对待损失和盈利所不同的不确定性态度。从控制论的角度上讲,我们建模的行为金融问题是倒向随机微分方程的终端变量为控制变量,在一个成本函数约束下的最大化倒向随机微分方程零时刻解的控制问题。为了解决这个与倒向随机微分方程有关的控制问题,我们用Ji和Peng[42]以及Ji和Zhou[43,44]介绍的终端摄动方法。然而,在我们模型中用这个方法来得到控制问题的最优解的必要条件会遇到一些技术性难题。因为我们的效用函数在Inda条件假设下在零点的一阶导数是正无穷。因此,相应的终端摄动方法过程中的可积性和收敛性结果就不存在了。因此在解决这个问题中我们的技术贡献是我们没有直接用终端摄动方法,而是用反证法解决处理了这些技术性难题。我们找到一个反例,在这个反例中我们构造一种特殊变差来得到终端摄动方法中的可积性和收敛性结果。并且,我们还给出了相应的充分性条件,来方便我们随后从金融投资的角度来分析结果。这部分工作主要来自于我的发表论文:The optimal Portfolio Selection Model under g-Expectation, Abstract and Applied Analysis, Vol.2014, Article ID 426036.以及和来自牛津大学Jin Hanqing教授,来自山东大学的嵇少林教授合作的工作论文:The optimal Portfolio Selection Model under g-Expectation and Utility Function with Inada Condition, with Hanqing Jin and Shaolin Ji.以上是对本论文中涉及的三个经济和金融方面优化问题的简要介绍。本论文包括三个章节来分别详细研究这三个问题。下面,我们将简要的展示每一个问题中重要的数学结果并介绍每一章结构:第一章:模糊下带学习的动态合同第一章第二节构造了模型。本章主要的技术突破和贡献是我们在第三节给出了正倒为了使这个方程满足Lipschitz条件,我们对其进行Girsanov变换,得到:代理人的问题等价于下面的控制问题:这里随机过程控制集合A={a:[0,T]×Ω→[0,1]}是{FtY}-可料的。我们可以看见这里面有一个绝对值项|Zta|,它对Zta不可导。一个合同是动机相容(即代理人问题最优解)的必要条件是:定理0.0.1.在一些证明中的技术假设下,如果合同c=(a,w,WT)是动机相容的,那么(a,,γc)满足这里(vc,γc)是如下倒向随机微分方程的解终端限制为vT=U(WT)。此方程与合同c联系,pt=maxPt∈Pcpt,pt=minPt∈Pcpt,其中Qa,bc*是某个对于vc来说的最坏情况测度,这个测度由密度生成元bc*∈Bc生成,Bc是最坏情况密度生成元集合,i.e.具体的定理中的式子和符号的意义和解释将会在第一章中详细给出。这里给定合同c我们给出了集合Pc,它的元素是信息租金pt。之所以会出现一个集合Pc是由于模糊下我们会得到一个最坏情况密度生成元集合Bc,因此相应的就会有一个最坏情况概率Qa,bc*的集合,而每一个pt是定义在不同最坏情况概率下的。因此若像Prat和Jovanovic[68]里那样没有模糊时,则只会出现一个信息租金,因为给定每个合同只会存在一个概率测度。进一步的,我们还在第三节中给出了合同是动机相容的充分条件:定理0.0.2.一个合同c=(a,ω,WT),如果存在一个pt∈Pc使得对t∈[0,T]成立,其中ζ是如下定义的可料过程其中(Bta,bc*)是在由对应于pt的密度生成元bc*∈Bc生成的最坏情况测度Qa,bc*下的布朗运动。那么这个合同是动机相容的。在第四节,我们把第三节得到的必要条件当作了委托人的最优控制问题的控制限制,在此控制问题里委托人要设计出最大化他的利润的合同。因此我们把解的过程分成两步。第一步是假设努力恒不为零时(没有偷懒,no shirking effort),求解必要条件限制下委托人控制问题。这些努力始终为正的合同称为动机合同(incentive contracts),意思是委托人提供动机使得代理人不会偷懒。在第二步,我们给出了最优合同结果。需要注意的是在解第一步控制问题时我们将必要条件作为控制实际上扩大了动机相容合同的范围,因为我们没有考虑动机相容的充分条件。而委托人问题的控制集合是动机相容合同。因此在解得最优动机合同后,我们还需要确定这个合同确实是动机相容的。我们可以说明解最优动机合同实质上是解出如下HJB方程:受限于以及并且我们还能够解出以上这个偏微分方程的显示解,并且这个解构成了最优动机合同的内容:定理0.0.3.假设(i)质量η是未知的并且代理人对产出过程的均值是模糊厌恶的,(ii)u(w,a)和U(W)在正文中给定,(iii)任意建议的努力水平满足at0对所有t≥0成立。那么无穷时间极限T→∞的最优动机合同建议了最理想(first-best)努力水平at*=1。委托人的值函数如下给出这里函数f(t)如下表示并且kt是如下二次方程的正根,委托人给代理人最开始的效用值给定为v0,然后代理人的连续价值(continuation value)过程vt满足工资如下给定在第四节的最后,我们给出了第一章最重要的结果:定理0.0.4.假设(i)质量η是未知的并且代理人对产出过程的均值是模糊厌恶的,(ii)u(w,a)和U(W)在正文中给定。让F=1-λ+ln(K/ρ)/α+1/2ρα(λσK)2。(a)如果F0,那么存在一个唯一的阈值h0。继续假设若其中那么如果h0h,存在一个时刻τ0使得h(τ)=h并且无穷时间极限最优合同建议a*使得在t∈[0,τ)有at*=0,以及在t≥τ有at*=1。委托人给代理人最开始的效用值给定为v0,工资为代理人的连续价值vt在t∈[0,τ)时刻满足vt=v0,并且在t≥丁满足初始为vτ=v0的随机微分方程(3)。委托人的价值函数J*给定为若h0≥h,ht≥h对于所有正的时刻t都成立,那么最优合同即完全是定理0.0.2给出的最优动机合同。(b)如果F≤0,那么最优合同使得努力在t≥0时恒有at*=0,并且最优工资,代理人的连续价值以及委托人的价值函数在t≥0如下给定阈值h0的具体取值将在定理证明中给出。在第五节,我们详细分析了最优合同,解释了模糊对最优合同的影响以及风险与模糊的不同。在第六节,我们比较了我们所用的研究模糊的方法与其他模糊方法的不同。第二章:连续时间框架下有零利率下界时对承诺性最优货币政策的建议本章第二节建立了模型。这个表示宏观经济优化问题的控制问题为:受限于如下无穷时间区间下的倒向随机微分方程:这里可行控制集合A(π,x,i)(?){(πt,xt,it)0≤t∞:(πt,xt,it)满足倒向随机微分方程(5),it≥0,E(∫0∞e-ρt[λπt2+xt2]dt)∞}。我们这个问题中的技术贡献和突破是我们在第三节给出了最优解的充分必要条件。首先我们给出控制问题相应的汉密尔顿函数(Hamiltonian)H:R6→R为:这里(pπ(·),px(·))是相对于状态变量对(π(t),x(t))的一阶状态伴随方程,并且满足一个随机微分方程:我们给出的必要条件是:定理0.0.5.让(π*(t),x*(t),i*(t))∈A(π,x,i)是此控制问题的最优解组。(pπ(·),px(·))是来自最优解组相应的一阶伴随随机微分方程(6)的解。那么我们有:由方程(7),我们能得到:接下来充分条件是:定理0.0.6.让一组(π*(t),x*(t),i*(t))0≤t∞满足方程(5)并且属于A(π,x,i)。接着我们给出下面的伴随方程:假设对于任意(πt,xt,it)∈A(π,x,i)有汉密尔顿函数为如果Hi(t,π*(t),x*(t),i*(t),px(t),pπ(t))×(i-i*(t))≥0,(?)t≥0,(?)i≥0,那么我们有这组(π*(t),x*(t),i*(t))0≤t∞是此控制问题的最优解。我们可以看到在相应条件下,方程(8)是充分必要条件。因此在第三节后面部分,我们解释所得方程结果并提出了关于最优货币政策的建议。在第四节,我们同时考虑了承诺货币政策与财政政策的共同作用,并给出此情景下的政府的最优支出。第三章:在效用函数满足Inada条件的g-期望下的最优投资组合选择模型在第三章第二节,我们给出了详细的行为金融问题并且建立了相应的数学模型。我们将终端财富分成两部分:正收益的部分和负收益的部分来考虑,并且分别评价这两部分终端财富。我们分别用符号u+(X+)和u-(X-)来表示收益和损失的效用,用V+(X+)和V-(X-)来表示收益和损失的值函数,这两个值函数用下面两个g-期望定义:V+(x+)=εg1[u+(X+)]=x1(0),V_(X-)=εg2[u-(X-)]=x2(0)。这两个g-期望对应于下面两个倒向随机微分方程的零时刻解:在g-期望决定规则下此问题如下表示:这里G0,T[X]是如下驱动函数生成元为g0以及终端随机变量为X的倒向随机微分方程的解G0,T[X]实际上是一个成本限制。在第三节,我们给出了与原问题相关的三个子问题。对给定的任意参数对(x+,A),下面三个子问题是:子问题1:子问题2:我们将子问题(13)和子问题(14)的极值解写作:V+(x+,A),V-(x+,A)。子问题3:那么我们给出如下定理:定理0.0.7.让g0关于状态变量(x,z)是线性的。给定X*,我们定义A*=(w:X*≥0)和x+*=G0,T[(X*)+]。那么X*是问题(11)的最优解当且仅当(x+*,A*)是问题(15)的最优解,并且(X*)+和(X*)-各自是问题(13)和(14)关于参数(x+*,A*)的最优解。第四节分别处理了每个子问题并且给出了最优解。我们研究此问题中主要的技术贡献是当我们研究的效用函数满足u+’(0+)=u-’(0+)=∞时,我们给出了每个子问题最优解的必要条件:定理0.0.8.对任意给定的参数(x+,A),这里x+≥x0,如果X*是关于此参数的问题(13)的最优解,那么X*有如下的形式:这里A’是A的子集。m(t),n1(t)各自是如下随机微分方程的解:这里h010,h110,并且|h01|2+|h11|2=1。函数gx0,gz0,gx1,gz1各自是g0,91关于x和z的导数,(x0*(t),z0*(t))以及(X1*(t),z1*(t))各自是倒向随机微分方程(12)和(10)关于终端随机变量X*和u+(X*)的解。定理0.0.9.对于任意给定参数(x+,A),这里x+≥x0,如果X*是关于此参数的问题(14)的最优解,那么X*有如下的形式:这里h120,h020并且|h02|2+|h12|2=1。Ac是Ac的子集。(x0*(t),z0*(t))以及(x2*(t),z2*(t))各自是倒向随机微分方程(12)和(10)关于终端随机变量X*和u-(X*)的解。m(t),n2(t)各然后我们更进一步的分析了最优解的形式并且给出了最优解充分条件:定理0.0.10.对于任意给定(x+,A),让g0是一个凸函数并且g1是一个凹函数。如果有两个常数h010,h110以及一个满足问题(13)的限制条件的并且在集合A上严格正的终端变量X*使得在A上有其中n1(T),m(T)如上定义,那么X*是问题(13)的最优解。在这一节的最后,我们给出了解决原始问题(11)的方法。第五节将我们的模型与Jin和Zhou[46]的模型进行了比较,并且从金融的角度解释了我们的结果。第六节和第七节给出了一个具体的实例并用第四节的方法进行了求解。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O211.63;F830

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