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基于排序的正倒向随机微分方程与非线性期望

冯新伟  
【摘要】:非线性倒向随机微分方程由Pardoux和Peng[74]于1990年引入,其具体形式如下,-dY(t)=f(t, Y(t),Z(t))dt-Z(t)·dW(t),Y(T)=ζ,其中W(t)是标准布朗运动,f是生成元函数,终端值ξ是FT-可测的随机变量。由于其在金融数学、随机最优控制、随机微分对策等领域中的广泛应用,倒向随机微分方程已经成为随机分析学中非常重要的领域。特别是,倒向随机微分方程给出了一类非线性偏微分方程概率意义下的解释,这是经典的Feynman-Kac公式的非线性推广。基于[74]这一开创性的工作,许多其他形式的倒向随机微分方程也得到了快速的发展。1997年,El Karoui,Kapoudjian,Pardoux, Peng和Quenez[32]研究了带一个反射边界的倒向随机微分方程。这类反射倒向随机微分方程中多了一个增过程。这个增过程K(t)的作用是保证方程的解Y(t)始终大于某一个给定的下界S(t),即,Y(t)≥S(t), a.s.,且在最小的意义下大于上界,即,∫tT[Y(s)-S(s)]dK(s)=0.同时,在[32]中,作者还证明了带一个反射边界条件的倒向随机微分方程与障碍问题的关系,这是非线性Feynman-Kac公式对应于反射倒向随机微分方程的形式。之后,Cvitanic和Karatzas[26]研究了带两个反射边界的倒向随机微分方程,即,除了方程的解Y(t)在终端时刻T等于终端值ξ之外,Y(t)还要在给定的两个边界之间。受随机策略理论(stochastic portfolio theory)中资本市场的资本分布曲线(capital distribution curve)的启发,基于排序的随机微分方程(rank-based stochastic differential equations)吸引了很多学者的关注。这类新的随机微分方程不同于以往的系数是Lipschitz连续的随机微分方程,它依赖于单个随机过程在整体中的排名,即系数是分段常数的。由基于排序的随机微分方程得到的排序的过程(ranked particle)是一类半鞅反射布朗运动,其具体方程可由Banner和Ghomrasni[3]中结论得到。受以上工作的启发,在本论文的第一章到第四章中我们将要研究与基于排序的随机微分方程耦合的倒向随机微分方程。特别地,在第一章中我们讨论了基于排序的倒向随机微分方程及其与带Neumann边界条件的偏微分方程的联系;在第二章中我们研究了基于排序的反射倒向随机微分方程及其与带Neumann边界条件的障碍问题的联系;在第三章中,我们研究了欧式期权和美式期权定价。在第四章中,我们研究了状态方程为带不对称碰撞的布朗过程的随机微分对策问题。值得注意的是,与参考文献[25]中方程不同的是,前四章中出现的偏微分方程的定义域的边界不再是二次连续可微的,而仅仅是Lipschitz:连续的。在勒贝格测度的基础上,Kolmogorov于1933年在他的《概率论基础》一书中首次建立了测度论的公理体系。之后,因为其在其他领域的应用性和实用性,概率论成为了数学的一个重要的分支。经典的概率论是建立在线性概率或线性期望之上的。但是,用线性概率或者线性期望来解释现实中的很多不确定性时存在着不足,例如,Allias谬论和Ellsberg谬论。因此,受金融数学、统计学中不确定问题的启发,许多学者开始使用非线性概率来研究不确定性问题。1953年,Choquet提出了容度和Choquet期望的概念。在倒向随机微分方程的基础上,Peng于1997年提出了一类非常重要的非线性期望,g-期望。之后,Peng在2006年建立了非线性期望理论体系。在非线性期望体系中,一些极限定理先后得到了证明。例如,Peng[82]证明了弱大数定律和中心极限定理;Chen[14]证明了容度下的强大数定律,与经典的大数定律收敛于期望值不同的是,此时的极限落入由下期望和上期望组成的区间之内。在本论文的第五章和第六章中,我们将研究非线性期望下的极限定理。在第五章中,我们探讨了次线性期望下的偏差理论,证明了次线性期望下的大偏差上界和下界对负相关的随机变量序列仍然成立。此外,利用大偏差的结果,还证明了次线性期望下负相关随机变量序列的中偏差上界。在第六章中,我们讨论了容度下的遍历定理。本文一共分为六章。以下是本文的结构和每章的主要结论。(I)第一章主要讨论基于排序的正倒向随机微分方程。在1.1节中,我们讨论了如下的基于排序的随机微分方程我们首先得到了命名的过程和排序的过程满足下面的性质:定理1.3对所有的Tt≥0和p≥1,存在两个分别依赖于(p,T,{bj})和(p,n,{bj})的常数C1和C2,使得对任意的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],有下面两个式子成立:和定理1.4对于任意的Tt≥0和p≥1,存在两个分别依赖于(p,T,{bj})和(p,T,{bj})的常数C1和C2,使得对任意的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],有下面两个式子成立:和在1.2节中,我们研究了下述基于排序的正倒向随机微分方程在给出生成元的条件之后,我们得到了方程解的存在唯一性。我们在1.3节研究了下述偏微分方程的粘性解:上述偏微分方程是一类新的方程,其中,解在终端时刻满足Cauchy条件,在Lipschitz连续的边界上满足Neumann条件。我们得到了以下两个结论:定理1.8假设(H1.1)和(H1.2)成立,那么由(1.2.12)定义的函数u(t,x)是方程(1.3.1)的粘性解。定理1.9假设(H1.1)、(H1.2)和(H1.3)成立,那么方程(1.3.1)至多存在一个粘性解满足下列条件:对某一A0,在[0,T]上一致。在1.4节中,我们研究了与不对称碰撞的布朗过程耦合的倒向随机微分方程。首先,我们证明了不对称碰撞的布朗过程的下述性质:定理1.10对所有的Tt≥0和p≥1,存在一个依赖于(L,p,T,n,{bi),{σi})的常数C,使得对所有的x,x'∈Γn和t,t’∈[0,T],都有以下两个式子成立:和接着,我们讨论了与不对称碰撞的布朗过程耦合的倒向随机微分方程及其与偏微分方程的联系,主要结论如下:定理1.12假设偏微分方程(1.4.13)存在属于C1,2([0,T]×Γn;R)的解且存在常数c,p0使得下式成立那么,偏微分方程的解是唯一的且式子(1.4.12)成立。定理1.13假设(H1.4)、(H1.5)和(H1.6)成立,那么由(1.4.12)定义的函数u(t,x)是偏微分方程(1.4.13)的满足条件(1.3.2)的唯一的粘性解。(Ⅱ)第二章我们讨论了基于排序的反射倒向随机微分方程。在2.1节中,我们证明了当波动系数不是常数时基于排序的随机微分方程解的下述性质:定理2.1假设序列(0,σ12,…,σn2,0)是凹的,则方程(2.1.1)存在唯一的强解。进一步,对任意的Tt≥0和p≥1,存在一个依赖于p,T,{δi},[σj})的常数C,使得对所和定理2.2对任意的Tt≥0和p≥1,存在一个依赖于p,T,n,{δj),{σj))的常数C,使得对所有的x,x'∈Γn和t,t'∈[0,T],我们有下面的式子成立:和在2.2节中,我们引入了基于排序的反射倒向随机微分方程并得到了解的存在唯一性:定理2.4假设(H1.1)、(H1.2)和(H2.1)成立,存在唯一的循序可测的过程组成的三元组(Yt,x,Zt,x,Kt,x)使得下列条件成立:(i)(Yt,x,Zt,x,Kt,x)满足(2.2.1);(ii)E ∫(|Yt,x(s)|2+|zt,x(s)|2)ds∞ (iii)Yt,x(s)≥h(s,Xt,x(s)),t≤s≤T;(iv){Kt,x(s)}是连续的增过程且有在2.3节中,我们得到了障碍问题的粘性解的存在唯一性:定理2.7假设(H1.1)、(H1.2)和(H2.1)成立,由(2.2.5)定义的函数u(t,x)是障碍问题(2.3.1)的粘性解。定理2.8假设(H1.1)、(H1.2)和(H1.3)和(H2.1)成立,那么,(2.3.1)至多存在一个满足条件(1.3.2)的粘性解。在2.4节中,我们讨论了带不对称碰撞的布朗过程的反射倒向随机微分方程,并得到了类似于定理2.7和定理2.8的结果(详见定理2.10)。(Ⅲ)第三章我们讨论了期权定价。在3.1节中,我们研究了欧式期权定价的问题,得到了如下的结论:当债券和股票的价格P0t,p(s),{Pit,p(s)}i=1 n满足以下的随机微分方程时,未定权益ζ=g(P0t,p(T),Pt,p(T))在时刻s的价值为此时,u(t,p)是下述偏微分方程的唯一的粘性解:其中,在3.2节中,我们比较了两个市场中的期权定价问题。在有一个债券和N+1个价格满足基于排序的随机微分方程的股票的金融市场中,如果在零时刻第N+1个股票的价格充分小,且在欧式期权定价的时候我们只考虑剩下的N个股票,那么与市场中只有这N个股票是几乎相等的,也即第N+1个股票的的影响很小。在3.3节中,我们研究了美式期权定价问题,主要结论如下:美式期权存在最小的平方可积的上对冲策略且Yt,p(s)是它的价格过程。其中,(Yt,p,π)是下述反射倒向随机微分方程的唯一的解:(Ⅲ)第四章我们讨论了随机微分对策问题。在4.1中,我们简单介绍了推广的倒向随机微分方程,并且得到了解的比较定理。在4.2节中,我们引入了随机微分对策问题,且得到了如下动态规划原理:定理4.5假设(H4.3)、(H4.4)、(H4.5)和(H4.6)成立,下值函数W(t,x)足下面的动态规划原理:对任意的0≤t≤t+δ和x∈Γn,在4.3节中,我们讨论了Isaacs方程的粘性解。(Ⅳ)第五章在Peng提出的次线性期望的框架下,我们研究了负相关随机变量序列的偏差理论。在5.1节中,我们介绍了非线性期望的预备知识。随后我们给出了次线性期望下随机变量负相关的定义并探讨了负相关随机变量序列的基本性质。在5.2节中,得到了次线性期望下负相关随机变量序列的大偏差结论:定理5.1对于任意的δ0和i≥1,{Xi}i=1∞为E[.]下满足E[eδ|Xi]+∞的负相关随机变量列,令Sn=1/n∑i=1n,假设(H5.1)成立,(1)对于纸有的闭集F,有(2)对于所有的开集G,有在5.3节中,利用5.2节中得到的大偏差结果,得到了次线性期望下负相关随机变量序列的中偏差上界:定理5.2令,{Xi}i=1∞是E[.]下的负相关随机变量列且满足E[X1]=E[-X1]=0和E[|Xi|2+δ]+∞,E[et|Xi|]+∞,其中,δ∈(0,1),i≥1,t∈R。假设此外,如果对于所有的t∈R和n≥1,那么,对所有的闭集F(?)R,有其中,(V)第六章在Choquet提出的容度的框架下,我们研究了遍历定理。在6.1节中,我们给出了容度的基础知识并给出了容度下保持测度的变换的定义。在6.2节中,我们给出了凸连续容度下的遍历定理:定理6.1令v∈C(Ω)且满足v(A)≤1一v(Ac)≤φ(v(A)),其中,φ∈西。如果T是Ω上的一个保持测度的变换,x是一个随机变量且E[|X|]+∞,令那么(1)如果X≥0,则有(2)如果X≤0,则有(3)对于任意的X,则有


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