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《山东大学》 2016年
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受控的平均场随机系统

闵慧  
【摘要】:Skorohod [87], [88]首次构造了带连续系数的随机微分方程的弱解,此后随机微分方程的弱解便得到了广泛的研究,且在随机微分方程理论的发展中起到了非常重要的作用。上世纪七十年代,日本和苏联概率学家将弱解与强解建立了联系,在阐述弱解存在性、强解存在性、依分布唯一性及依轨道唯一性之间的关系上做出了重要贡献。平均场随机微分方程,也称为McKean-Vlasov方程,在经济、金融、物理学、统计力学、量子力学和量子化学等领域有着广泛的应用。近几十年,许多学者研究了平均场随机微分方程的弱解。在这些工作中,有很多用经典的随机微分方程理论中(即不在平均场框架下)的鞅问题方法来研究McKean-Vlasov方程的弱解。本论文研究了以下两种情况的平均场随机微分方程弱解的存在性和依分布唯一性:(i)漂移系数依赖于解过程和解的分布,以及(ii)漂移系数和扩散系数均依赖于解的状态和解的分布。进一步将弱解的存在性、依分布唯一性结论应用到对2-人零和随机微分对策的研究中,其中对策的动态系统为受双重控制的平均场正倒向随机微分方程。Pardoux和Peng [75]在1990年首次引入非线性倒向随机微分方程,从那时起,倒向随机微分方程理论便被广泛地应用于很多领域,尤其是在金融数学、偏微分方程、随机最优控制以及随机微分对策等方面。倒向随机微分方程理论发展迅速,现已成为随机分析理论中的一个非常重要的组成部分。基于非线性倒向随机微分方程理论,不同形式的倒向随机微分方程也得到了迅速地发展,例如,平均场倒向随机微分方程、解耦的正倒向随机微分方程、完全耦合的正倒向随机微分方程、及由布朗运动和泊松跳过程共同驱动的正倒向随机微分方程、带反射的正倒向随机微分方程等等。本论文还研究了带跳的平均场(正)倒向随机微分方程、与值函数耦合的带跳的平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性、比较定理,并给出相应积分-偏微分方程解的概率解释。下面将进一步详细的介绍论文的内容及结构。第一章引言主要介绍了论文第二章到第五章中研究的主要问题。在第二章中,我们研究平均场随机微分方程,其扩散系数σ(s, X.Λs)关于解过程X的路径Lipschitz,且其漂移系数b(s,X.Λs,QXs)关于解过程X仅满足可测,同时连续(在1-Wasserstein距离的意义下)依赖于解过程的分布。我们首先证明了上述平均场随机微分方程弱解的存在性及依分布唯一性。然后我们将结论应用到对2-人零和随机微分对策的研究中,其动态系统由受双重控制的平均场正倒向随机微分方程描述,且状态方程的漂移系数关于状态过程仅满足可测的条件。在Isaacs条件下,我们证明了推广鞍点控制的存在性。本章的主要创新点:首次研究了此类平均场随机微分方程弱解的依分布唯一性,并且在Isaacs条件下得到了推广的鞍点控制。本章基于:LI, J., MIN, H., Weak solutions of mean-field stochastic differential equations and applications to zero-sum stochastic differential games, SIAM J. Control Optim.,已接收。在第三章中,受第二章的启发,我们进一步研究平均场随机微分方程的弱解,考虑漂移系数b(s,Xs,QXs)与扩散系数a(s,Xs,QXs)均依赖于解的状态及解的分布的情况。在系数有界,连续(关于测度在2-Wasserstein距离的意义下)条件下,我们借助推广的局部鞅问题,证明平均场随机微分方程弱解的存在性以及解的依分布唯一性。本章的主要创新点:我们将McKean-Vlasov方程的Ito公式推广到了更一般的情况;不同于前人的工作,我们首次运用推广的局部鞅问题,研究平均场随机微分方程弱解的存在性和依分布唯一性。本章基于:Li, J., MIN, H., The existence and the uniqueness in law of weak solutions of mean-field stochastic differential equations,已投稿。在第四章中,我们主要研究带泊松跳的平均场倒向随机微分方程。首先,在线性增长和Lipschitz条件下我们得到带跳的平均场随机微分方程解的存在唯一性。然后主要证明了带跳的平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性、解关于参数的连续依赖性,以及比较定理。最后证明了解耦的带跳的平均场正倒向随机微分方程解的存在唯一性,及相应偏微分方程粘性解的存在唯一性。本章的主要创新点:在带跳的情况下,研究了平均场(正)倒向随机微分方程,并给出相应积分-偏微分方程解的概率解释。本章来自于:Li, J., Min, H., Controlled mean-field backward stochastic differential equations with jumps involving the value function, Journal of Systems Science and Complexity,已接收。受第四章研究内容的启发,第五章主要研究一种全新的带跳的受控平均场倒向随机微分方程,即与相关控制问题的值函数耦合的带跳的受控平均场倒向随机微分方程。首先,在一定的Lipschitz条件和线性增长,单调性条件下运用迭代的方法我们证明了上述方程解的存在唯一性以及比较定理。然后我们借助推广的随机倒向半群的概念得到了值函数的动态规划原理。最后,我们证明了如此定义的值函数是相应非局部Hamilton-Jacobi-Bellman积分-偏微分方程的粘性解,且在适当的连续函数空间中为唯一的粘性解。本章的主要创新点:在带跳的情况下,研究与值函数耦合的倒向随机微分方程;采用不同于Peng的倒向半群的方法,更加直接的证明了相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程粘性解的存在唯一性。本章来自于:Li. J., Min. H., Controlled mean-field backward stochastic differential equations with jumps involving the value function. Journal of Systems Science and Complexity,已接收。以下是本文的章节目录及主要结论。一、第一章引言;二、第二章平均场随机微分方程的弱解及在零和随机微分对策中的应用;三、第三章平均场随机微分方程弱解的存在性及依分布唯一性;四、第四章带跳的平均场倒向随机微分方程;五、第五章与值函数耦合的带跳的受控平均场倒向随机微分方程。第二章:我们研究当扩散系数σ(s, XΛs)关于解过程X的路径Lipschitz,且漂移系数b(s,X.Λs.QXs)关于解过程X仅满足可测,同时连续依赖于解过程的分布(在1-Wasserstein距离的意义下)时平均场随机微分方程的弱解。首先证明上述平均场随机微分方程弱解的存在性及依分布唯一性。最后将上述结论应用到对2-人零和随机微分对策的研究中。本章我们主要研究如下形式平均场随机微分方程,其漂移系数依赖于解过程的分布:其中(Bt)t∈[0,T]在概率测度Q下为d-维布朗运动,在概率测度Q下初始值Xo独立于B,且服从给定的分布μ0。在漂移系数有界可测,关于测度模连续,扩散系数有界可测且可逆等假设条件下,我们研究上述方程弱解的存在性和依分布唯一性。定理2.2.1在假设条件(H2.2.1)下,对任意给定的μ0∈P1(Rd),且有QX0 =μ0的平均场随机微分方程(0.0.1)存在弱解(Ω,F,F,Q,B,X)。定理2.3.1在假设条件(H2.3.1)下,令(Ωi,Fi, Qi, Bi, Xi), i=1, 2,为平均场随机微分方程(0.0.1)的任意两个弱解,且有QX011=Q2X20∈P1(Rd)。则(B1,X1)和(B2,X2)在各自的概率测度下有相同的分布,即Q1(B1,X1)=Q2(B2,X2)。有了弱解的存在唯一性,我们将上述结论运用到对2-人零和随机微分对策的研究中。任意给定一测度μ0∈P1(Rd)和控制(u,v) ∈U×V,我们考虑如下形式耦合的平均场正倒向随机微分方程:其中Qu,v为概率测度,且Bu,v在其下为布朗运动。我们考虑对策的代价泛函通过控制u∈u,第一个竞争者想最小化损失;对于第二个竞争者上述函数为其收益函数,通过控制v∈V,第二个竞争者想最大化收益。为了将方程(0.0.2)写为别的形式,我们现假定方程(0.0.2)存在弱解(Ω,F,F,P,X, {(Qu,v,Bu,v,Yu,v,Zu,v),(u,v)∈u×v})且有(Ω,F,F,P,X) = (Ω,F,F,P,X)。对任意的(u, v)∈u×V,记由方程(0.0.2),我们可得由Girsanov定理,F的定义及信息流F,可得我们记Lsu,v为Q“v限制在信息流Fs关于P限制在信息流Fs的密度。因此,应用上述讨论的Girsanov变换可将方程(0.0.2)改写为在概率测度P下考虑的系统:其中对于定义则我们有下面一系列结论。定理2.4.1假设条件(H2.4.1)成立,在概率空间(Ω,F,F,P,W,X)上,对任意的(u,v)∈u×v,系统(0.0.4)存在弱解其中Bu,v为(F,Qu,v)-布朗运动,且Lsu,v/为Qu,v/Fs关于P/Fs的密度,s∈[0,T]。对于(t,φ,y,z,v,u,v)∈[0,T]×C([0,T];Rd)×R×Rd×P1(Rd+1)×U×V,我们引入对策的哈密顿函数本章假设上述哈密顿函数满足Isaacs条件,即对任意的(t,φ,y,z,v)∈[0.T]×C([0,T]; Rd)×R×Rd×P11(Rd+1),有定理2.4.2假设条件(H2.4.1)和(H2.4.2)成立,则如下系统有解布朗运动,且Ls*为Q*/Fs关于P/Fs的密度,s∈[0,T]。因此可得在零和微分对策的应用中的一个最重要结论。定理2.4.3假设满足条件(H2.4.1)和(H2.4.3),则对所有的(u,u)∈u×V,方程(0.0.4)的解(Bu,v,Qu,v),(Yu,v,Zu,v)为空间(Ω,F,F,P,W,X)上的唯一解,且为轨道唯一,对应于过程(Bu,v,Lu,v,Yu,v,Zu,v)。进一步,假设存在控制(u*,v*)∈u×v使得对所有的(u,v)∈u×v,dtdP-a.e.,对所有的(u,v)∈u×V,有也就是,(u*,v*)为一对推广的鞍点控制,其中的常数C仅依赖于系数b和f。第三章:我们研究当扩散系数σ(s,Xs,Qxs)和漂移系数b(s,Xs,Qxs)均有界,且不仅连续依赖于解的状态Xs,同时连续依赖于解过程的分布(在2.Wasserstein距离的意义下)时平均场随机微分方程的弱解。首先我们将[18]给出的McKean-Vlasov方程的Ito公式推广到了系数更一般的情形,进一步,借助推广的局部鞅问题,证明上述平均场随机微分方程弱解的存在性及依分布唯一性。受第二章的启发,本章主要研究如下形式的平均场随机微分方程,漂移系数和扩散系数均依赖于解过程的分布:其中ζ∈L2(Ω,F0,P;Rd),服从给定的分布v=Qζ,且(Bt)t∈[0,T]在概率测度Q下为d-维布朗运动。本章主要通过研究推广的局部鞅问题,借助推广的局部鞅问题解的存在唯一性与平均场随机微分方程弱解的存在唯一性之间的等价性,进而研究平均场随机微分方程的弱解。首先我们推广了Buckdahn et al.[18]中给出的McKean-Vlasov方程的Ito公式。定理3.1.1令σ=(σs),γ=(γs)为Rd×d-值,b=(bs),β=(βs)为Rd-值适应随机过程,使得(i)存在一常数q6,使得令函数则对于Ito过程我们有然后,我们引入推广的局部鞅问题,在研究弱解的存在性和依分布唯一性之前,我们首先考虑平均场随机微分方程的弱解与推广的局部鞅问题的解之间的等价性,即有:命题3.2.1在B(Rd)上有初始分布v的方程(0.0.9)存在弱解(Ω,F,F,Q,B,X)等价于,局部鞅问题存在解P,相应二阶微分算子为A,且有Py(0)=v。则我们可得本章的第一个重要结论。定理3.2.1在假设条件(H3.1.1)下,方程(0.0.9)存在弱解(Ω,F,F,Q,X,B)。下面,我们研究平均场随机微分方程弱解的依分布唯一性。定理3.3.1对于给定的考虑Cauchy问题其中假设Cauchv问题(0.0.13)有解对所有的则对每一P满足Py(0)=δx,x∈Rd,相应于二阶微分算子A的局部鞅问题最多有一个解。推论3.3.1在定理3.3.1的假设条件下,平均场SDE(0.0.9)弱解依分布唯一,也就是,对于(0.0.9)的任意弱解(Ωi,Fi, Fi, Qi, Bi, Xi), i = 1, 2,我们有Qx11=Q2X2。第四章:在Lipschitz条件下证明了带泊松跳的平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性及比较定理。同时给出解耦的带跳的平均场正倒向随机微分方程解的存在唯一性及相应的动态规划原理。最后,证明由倒向方程的解定义的值函数是相应偏微分方程的唯一粘性解。我们本章讨论了三种随机微分方程,即带跳的平均场随机微分方程,带跳的平均场倒向随机微分方程,及解耦的带跳的平均正倒向随机微分方程。本章我们主要研究的是如下带跳的平均场倒向随机微分方程:其中0≤t≤T。在Lipschitz条件下,借助不动点定理即可得到方程(0.0.14)解的存在唯一性,即定理4.3.1在假设条件(H4.3.2)下,对任意给定的随机变量ζ∈L2(Ω,FT, P),方程(0.0.14)存在唯一的适应解进一步,借助经典带跳的倒向随机微分方程的比较定理,我们可得定理4.3.2(比较定理)设h: Ω×[0, T]×R×Rd×R是可测并且满足(i)存在一常数C0使得,对所有的t∈ [0, T], y1, y2∈R, z1,z2 ∈Rd, ki, k2∈R, P-a.s., |h(t, y1,z1, k1)-h(t,y2, z2, k2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|+|k1-k2|_);(ⅱ) h(·,0,0,0)∈HF2(0, T;R);(ⅲ) k→h(t,y,z,k)为非递减的,对所有的(t,y,z) ∈[0, T]×R×Rd;进一步,设lΩ2×[0, T]×E为P(?)B(E)可测,l(·,·,e)为F-可料,对所有的e ∈E,且令l满足0≤lt(e) C(1Λ|e|), e∈ E.设fi = .fi(ω, t,y',z',k',y,z,k), i = 1,2,为带跳的平均场倒向随机微分方程的两个驱动系数,并且对[0,T]×Ω×R×Rd×L2(E, B(E),λ; R);f2满足假设(H4.3.2)。此外,我们假设:(i)两个系数之一不依赖于z';(ii)两个系数之一不依赖于k';(iii)两个系数之一关于y'非递减。设ζ1,ζ2∈L2(Ω,FT,P),记(Y1,Z1,K1)和(Y2,Z2,K2)分别为对应参数为(ζ1,f1)和(ζ2,f2)的带跳的平均场倒向随机微分方程的解。则,如果ζ1≤ζ2, P-a.s.,和f1≤f2,P-a.s.,我们有Yt1≤Yt2,t∈[0,T],P-a.s.现在我们考虑如下随机场:其中Yt,z为倒向方程的解。考虑如下偏微分方程:其中函数b,σ,γ,f和Φ满足假设条件(H4.2.1),(H4.4.1)和(H4.4.2)。下面我们给出本章的重要结论。定理4.5.1(存在性)在假设条件(H4.2.1),(H4.4.1)和(H4.4.2)下,由(0.0.15)定义的值函数u(t,x)为方程(0.0.16)的粘性解。定理4.5.2(唯一性)在假设条件(H4.2.1),(H4.4.1)和(H4.4.2)下,在(?)中,由(0.0.15)定义的值函数u(t,x)为方程(0.0.16)的唯一粘性解。第五章:运用逼近的方法,在Lipschitz、线性增长和一定的有界条件下,证明了与值函数耦合的带跳的平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性及比较定理。借助推广的随机倒向半群,我们得到了值函数的动态规划原理。此外,我们证明了在适当的连续函数空间中,值函数为相应的非局部Hamilton-Jacobi-Bellman型积分-偏微分方程的唯一粘性解。我们主要研究如下与相关控制问题的值函数耦合的带跳的平均场倒向随机微分方程:为了证明上述方程解的存在性,我们运用迭代的方法首先考虑如下方程:设迭代首项(Yt,x;v,0,Zt,x;v,0,Kt,x;v,0)=(0, 0, 0),对于t∈ [0,T],x∈Rn,v∈Vt,T,则有引理5.2.1对所有的m≥1,方程(0.0.18)存在唯一解η。而且,Wm :Ω× [O,T]×~Rn→R唯一可测随机场,使得(i)Wm(i,x)为Ft-可测,(t,x)∈[0,T]×Rn;(ii)存在一不依赖于m的常数C0,使得,P-a.s.,对所有的t∈[0,T], x,x∈Rn,有(1) |Wm(t,x~)-Wm(t,x)|≤C|x-x|; (2) |Wm(t,x)|≤C(1+|x|).则在上述引理的帮助下,我们可得本章的重要结论。定理5.2.1在假设条件(H5.1.1)和(H5.2.1)下,与值函数耦合的倒向随机微分方程(0.0.17)存在唯一解且有同时存在随机场W[0,T]×ΩRn→R,使得进一步,值函数W满足(i)W(t,x)为Ft-可测,(t,x)∈[0, T]× Rn; (0.0.19)(ⅱ)+W(t,x)-W(t,x)_≤C|x-x|, P-a.s., (t,x), (t,x)∈[0, T]× ]Rm; (0.0.20)(ⅲ)|W(t,x)|≤C(1+|x|), P-a.s., (t,x) ∈[0,T]×]Rn, (0.0.21)对某一常数C0。定理5.3.1(比较定理)设fi=fi(t,x',x,y',y,z,k,v)为与值函数耦合的带跳的平均场倒向随机微分方程的两个驱动系数,且其满足假设条件(H5.2.1)和(H5.3.1),同时设相对应的终端值分别为ζi∈L2(Ω, FT, P), i = 1,2。对i=1,2,我们记为如下与值函数耦合的带跳的倒向随机微分方程的解:若ζ1≥ζ2, P-a.s.,和f1≥f2,则我们有Ys1,t,x;v≥Ys2,t,x;v,P-a.s.,s∈[t,T],v∈Vt,T.进一步,我们有w1(t,x)≥W2(t,x), P-a.s., (t,x)∈ [0,T]×Rn。定理5.4.1在假设条件(H5.1.1)和(H5.2.1)下,对所有的(t,x)∈ [0, T]×Rn,0≤ tT-δ, P-a.s.,我们有本章最后,我们考虑如下非线性积分-偏微分方程:其中DW和D2W分别为W关于z的梯度和Hessian矩阵。则有如下粘性解的存在唯一性结论。定理5.5.1(存在性)在假设条件(H5.1.1)和(H5.2.1)下,由定理5.2.1中方程(0.0.17)给定的值函数W∈Cp([0,T]×Rn)为方程(0.0.23)的粘性解。定理5.5.2(唯一性)在集合(?)中,方程(0.0.23)有唯一的粘性解,即为值函数w。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O211.63

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