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《山东大学》 2017年
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带非光滑系数的投资组合最优化问题

时晓敏  
【摘要】:金融数学主要包含三个分支:投资组合理论;资产定价理论;风险度量理论。本文主要研究连续时间投资组合选择问题。期望效用最大化和均值-方差组合优化模型是目前两种最主要的投资组合选择理论。除此之外,考虑如何以尽可能大的概率达到一个预先设定的目标也是一个很有趣的投资组合选择方式。本论文将对这三种投资组合选择理论进行不同程度的推广。期望效用理论由于受到了诸如Allais悖论、Ellesbcrg悖论的挑战,逐渐被更广的效用理论(如递归效用,多先验效用)所代替。在本论文中,我们首先从两方面研究递归效用最大化问题。第一方面,我们研究了部分信息下递归效用的优化问题,其中投资者只能观测到股票价格,而无法观测到股票的平均收益率,同时不需要递归效用方程的系数是可微的。本文利用鞅方法,通过一系列的转化,将该问题转化为一个博弈问题,然后用凸对偶方法刻画了该博弈问题的鞍点,并给出了原问题的最优终端财富。第二方面,我们研究了凹系数下的递归效用优化问题,其中投资者的财富方程和递归效用方程的系数都不需要可微性假设,从而能够包含借入借出利率不相等模型和K-未知模型。通过鞅方法和凸对偶方法,我们给出了其对偶问题的鞍点刻画以及原问题的最优终端财富,并且给出了几个能够显式算出最优解的例子。其次,我们把均值-方差组合优化模型从经典的线性财富方程推广到一类非线性非光滑财富方程情形。当财富方程的系数都是确定性函数时,我们采用动态规划原理,写出其相应的HJB方程,并且构造出了该HJB方程的粘性解,从而得到了最优投资组合的反馈形式;当财富方程的系数是随机过程时,借助于随机Riccati方程,我们用配方法给出了最优投资组合的反馈形式。另外,为了与[53]中的充分性作比较,本文还利用凸对偶方法找到了财富方程的"合适"的下导数。第三,我们研究了投资者对于股票收益率有模糊时的达到目标问题。投资者想要寻找最稳健的投资策略,所以这本质上是一个博弈问题,但是由于目标函数非凸非凹,甚至不连续,"min-max"定理无法直接使用,我们会直接证明"min-max"可以交换,并且显式的给出鞍点的形式。在经典的概率公理体系中,极限理论是一个很重要的分支。由于Allais悖论、Elles-berg悖论的出现,在期望效用理论被更广的效用理论所替代的同时,概率的可加性,甚至Kolmogorov的经典概率公理体系也受到了冲击。这促使学者们开始研究非可加概率和非线性期望下的大数定律和中心极限定理。但是,非可加概率下的中心极限定理进展非常缓慢。在信念测度下,最近[30]给出了针对Bernoulli随机变量的双边区间上的中心极限定理。虽然信念测度在某种意义上是最特殊的一种非线性概率,这仍然是很大的进步。因此,在本论文的最后一章,我们把[30]中的中心极限定理从Bernoulli随机变量推广到了一般有界随机变量。其中,刻画双边区间上的信念测度需要用到二维正态分布,其相关系数的计算是非常复杂的。下面,我们将简要的介绍每一章的主要结果。1.部分信息下的递归效用优化假设金融市场中的股票价格满足以下随机微分方程:(?)在本章,我们假设投资者观测不到股票的平均收益率μ'=(μ1,...,μd)和驱动股票价格的布朗运动W,而只能观测到股票价格S。从而,投资者必须基于股票价格选择投资策略来达到递归效用最大化,也就是说他的投资组合π(t)必须是gt=σ(S(u),u ≤t)适应的。由于投资者无法观测到布朗运动W,他的递归效用过程也就无法用W来驱动。为了定义基于信息流{gt}t0的效用过程,我们引入新息过程(?)上述W是概率p下的布朗运动,并且σ(W(s),s≤y)(?)gt。从而我们可以定义投资者的递归效用过程(?)并且财富方程可以写成dX(t)=π'(t)μ(t)dt + π'(t)σ(t)dW(t).(0.0.3)通过上述滤波技术,我们的在第一章中主要研究的问题可以归结为最大化yx,π(0),(0.0.4)其中X(t≥ 0表明不允许投资者破产。根据BSDE的解的存在唯一性,我们知道选择π和选择终端财富X(T)是等价的,而且根据BSDE(1.2.3)的比较定理,我们知道一个非负的终端财富(ζ= X(T)≥ 0)会使得财富过程在任意[0,T]上的时刻都非负。从而,我们的问题(0.0.4)转化成下面的优化问题:其中并且"控制变量"终端财富ξ是从下面这个集合中选出来的由于函数f是凹函数,不一定可微,所以[54,55]中的最大值原理无法使用。我们把上述问题(0.0.5)进一步转化成一个博弈问题:其中函数F是f的凸对偶函数并且我们想要找到鞍点(β,γ,ξ)∈B × A(x)使得对任意0ζ∞,我们引入值函数以及在1.3节,我们得到了以下结论。引理0.1.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,对任意给定的ζ0,存在一对(β,γ)=(βζ,γζ)∈ 达到式(0.0.9)中的下确界。引理0.2.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,并且设则对任意给定的x0,存在ζ = ζx ∈(0,∞)达到式(0.0.10)中的下确界。本章我们的主要结果是:定理0.1.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,令(β,γ)是值函数(0.0.9)中的极值点,ζ是式(0.0.10)中的极值点,则(β,γ,ξ)是式(0.0.8)的鞍点,其中在1.4节,我们主要研究了当d = 1,f =K|Z|时的几个例子。例0.1.当u(x)=1-e-αx,x ∈R,α0时,我们有问题(0.0.5)的最优终端财富值是例 0.2.当 u(x)= 1n x,x0 时,我们有其中(y(t),z(t))是下述BSDE的唯一解,以及ζ=1/x 问题(0.05)的最优终端财富值值是ξ =·例0.3.当μ(t)是t的有界确定性的函数时,我们有例 0.4.2.凹系数下的递归效用优化在第1章中,财富方程是线性的,但是在很多重要的金融市场中,财富方程不再是线性的,比如借入-借出利率不相等情形。所以本章将研究当财富方程和递归效用方程的系数都是凹函数时的效用最大化问题。在第2.2节开始,我们首先给出了几类重要的财富方程,他们的系数都是非线性非光滑的,但是都是凹函数。把终端财富值看成"控制变量",我们的问题是,其中和由于函数b和f都是凹函数,不一定可微,故无法用最大值原理来刻画最优的ξ。所以我们把上述问题转化成变分形式我们想要找到鞍点(β,γ,ζ)∈ β ×A(x)使得对任意0ζ∞,引入值函数和在2.3节,我们得到了以下结论,引理0.3.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3)和(H2.4)成立,则对任意给定的ζ0,存在(∞,γ)=(βζ,γζ)∈ B和(μ,υ)=(μζ,υζ)∈B'达到式(0.0.16)中的下确界。引理0.4.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3)和(H2.4)成立,对任意给定的实数x0,存在实数a ∈(0,∞)达到式(0.0.17)中的下确界。本章我们的主要结果是下面的定理。定理 0.2.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3),(H2.4)和(H2.5)成立,令(μ,υ,β,γ)是式(0.0.16)中的极值点,令ζ是式(0.0.17)中的极值点。定义则我们有(?)ξ ∈A(x),(?)(β,γ)∈ B,也就是说,(ζ,β,γ)是问题(0.0.15)的鞍点。在2.4节,我们令函数f =K'|Z|,u(x)= 1/αα,x0,0α1,然后分别研究了线性财富方程情形、借入-借出利率不相等情形以及价格压力模型。特别地,对于最后一种财富方程,当系数是t的确定性函数时,我们用推广了的动态规划原理给出了最优的投资组合过程和最优的效用强度过程。3.一类非线性财富方程下的均值-方差问题假设投资者的财富方程满足以下随机微分方程:对于给定的期望水平K,考虑下面的连续时间均值-方差投资组合选择问题:在3.2节中,我们首先研究了当股票个数和布朗运动维数d=1,以及所有系数r,θ,θ,σ都是t的确定性函数时的均值-方差问题。我们把问题(0.0.19)动态化,得到值函数v(t,x;d)(d是拉格朗日乘子)应该满足HJB方程,我们给出了 HJB方程(0.0.20)的一个粘性解并且说明了该粘性解就是值函数v(t,x;d)。定理0.3.假设(H3.1)成立,则是HJB方程(0.0.20)的一个粘性解。并且问题(3.2.6)的最优反馈控制是进而我们得到了本节最主要的结果。定理0.4.问题(0.0.19)的有效策略可以写成时间t和财富X的函数:在3.2.3节中,我们给出了几个符合财富方程(0.0.18)的金融市场模型。本章3.3节致力于研究d≥1维随机系数情形的均值-方差问题(0.0.19)。首先,对于问题(0.0.19)的可行性,我们有以下定理。定理0.5.对任意的(?),均值-方差问题(0.0.19)是可行的当且仅当其中由于财富方程(0.0.18)的系数是随机的,故问题(0.0.19)无法用3.2节中的动态规划原理方法解决。而且[53]中的终端变分方法也无法使用,因为(0.0.18)的系数不可微。所以我们将采用完全平方法,而这需要两个推广了的随机Riccati方程。其中我们研究了方程(0.0.22)和(0.0.23)的解的存在唯一性。定理0.6.BSDE(0.0.22)(相应地(0.0.23))存在唯一解(Pr,A1)(相应地(P2,A2))。有了随机Riccati方程的解的存在唯一性,我们就可以通过Riccati方程来构造问题(3.3.6)的最优控制。定理0.7.状态反馈控制是问题(3.3.6)的最优控制。而且问题(3.3.6)的最小花费是本节的主要结论是定理0.8.问题(0.0.19)的有效策略可以写成时间t和财富X的函数:在3.3.3节,当d = 1时,我们用凸对偶方法把[53]中推论4.4断言的下导数找到了。即其中(Y,Z)是下面这个倒向随机微分方程的解并且4.带模糊的目标可达问题在本章中,我们研究了当投资者对于股票平均收益率带有模糊时的"目标"问题。投资者试图寻找一个最稳健的投资策略,即在最坏的可能情况下以尽可能大的概率达到"目标"。具体的说,本章研究了以下博弈问题:由于目标函数I{x≥1}既不是凸函数也不是凹函数,甚至不连续。在这种情况下,"min-max" 定理无法使用,我们直接证明了 "min-max" 可以交换,并且显式的给出了鞍点的形式。令其中通过直接证明以下两个定理,定理定理得到了本章最重要的结果,定理0.11.(θ*,π*)是问题(0.0.24)的一个鞍点,也就是说,5.信念测度下的中心极限定理本章致力于将[30]中关于信念测度下Bernoulli随机变量的中心极限定理推广到一般有界随机变量情形。5.2节给出了信念测度的基础知识,5.3节研究了信念测度在单边区间上的中心极限定理,得到了以下结论。定理0.12.对于假设(H5.1)中定义的随机变量序列(?),我们有和其中μ,μ,σ,σ厅是引理5.1中定义的。以上结论显示独立同分布随机变量序列的部分和经过合适的标准化会渐进于标准正态,似乎看不出与经典的中心极限定理的本质区别。由于信念测度的非可加性,单边区间的中心极限定理并不能完全刻画信念测度的全部性质,甚至连双边区间上的极限性质也无法刻画。对于双边区间情形,我们有以下极限定理成立。定理0.13.对于假设(H5.1)中定义的随机变量序列(?),存在不依赖于α1,α2或n的常数K使得其中ρ是引理5.2中定义的。而且,上述结果当α1和α2依赖于n时也是成立的。从上述定理可以看出来,独立同分布随机变量序列的部分和落入双边区间的信念测度渐进于二元正态分布,这是与经典概率测度下的中心极限定理本质不同之处。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:F224;F830.59

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