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《山东大学》 2018年
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时空分数阶偏微分方程的快速算法及其应用

赵猛  
【摘要】:分数阶微积分理论在近些年来已成为一个迅速发展的研究领域,主要被用于描述力学;工程中的复杂现象,特别是复杂系统中反常扩散的描述。传统扩散模型描述了粒子运动遵从一个正态分布的随机游走过程,而具有反常扩散属性的分数阶方程可以刻画粒子的概率密度函数并遵循非对称、重尾、尖峰等非常规分布。反常扩散现象已经在实际生活中通过大量的真实数据被普遍地捕捉观测到,这些现象可能来源于地下水中的污染物;股票价格;声波;穿过细胞边界的蛋白质;或者入侵新生态系统的生物。反常扩散现象通常可分为次扩散现象和超扩散现象。当分数阶导数作用在空间扩散项时,描述的是运动粒子在空间上会有一个长程幂律跳跃特性,对应模拟的是超扩散现象。当分数阶导数作用在时间导数项时,描述的是运动粒子发生跳跃时需要一个较长等待时间,对应模拟的是次扩散现象。因此,分数阶模型可以更有效更准确地模拟一些复杂的传输扩散机制。但是由于分数阶算子具有的历史依赖性与非局部性质,也增加了分数阶模型求解和模拟的复杂性。由于大部分分数阶偏微分方程找不到精确解的表达式,并且很多时候分数阶偏微分方程的精确解是用级数形式的特殊函数来表示的,因此,对分数阶偏微分方程数值方法的研究变得十分重要和必要。关于分数阶偏微分方程数值方法方面的研究已有大量成果涌现,其中比较多见的是有限差分方法[55-71];有限元方法[72-96];谱方法[97-113];无网格方法[114-116];有限体积方法[117-119];DG方法[120,121]。由于分数阶算子的非局部性质,导致了求解分数阶方程的计算耗时要比求解常规的整数阶方程大得多。具体表现为,对于求解空间分数阶方程,利用上述数值方法通常得到的刚度矩阵为稠密矩阵或是满阵。如果利用传统的直接求解方法进行求解,那么在每一个时间步上需要O(N3)的计算量以及O(N2)的存储量,N为网格节点数。对于求解时间分数阶方程,由于时间分数阶算子的历史记忆性,计算当前时间层的数值解必须要用到之前所有时间层的数值解信息。那么对于时空分数阶问题,综合时间与空间分数阶双重效应,采用传统方式进行求解,它的计算量会高达O(MN3 +M2N),存储量为O(N2+ MN),M为时间剖分步数。如此大的计算量及存储量要求对于高维问题是难以承受的。本文的主要内容如下:第一章,简单介绍分数阶微积分理论的发展历史以及正文需要用到的一些基本概念、基本算法、特殊矩阵;分析了分数阶方程数值方法的发展现状。第二章,内容主要来源于Meng Zhao,Hong Wang and Aijie Cheng,A Fast Finite Difference Method for Three-Dimensional Time-Dependent Space-Fractional Diffusion Equations with Fractional Derivative Boundary Conditions,Journal of Scientific Computing,2018,74(2):1009-1033.本章主要讨论三维分数阶导数边界条件变系数空间分数阶扩散方程的一类无条件稳定的有限差分方法,并给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于齐次Dirichlet边界问题,Wang等[122-126]给出了一维及多维空间分数阶扩散方程的有限差分快速算法,并发现Dirichlet边界问题的刚度矩阵具有Toeplitz或块Toeplitz循环块结构。当利用Krylov subspace迭代法求解时,这种快速方法最终将计算量和存储量减少为线性增长。但边界条件变为分数阶导数边界条件后,由于分数阶算子的非局部性质,使得三维物理区域的内部节点与二维的边界节点强耦合在一起,破坏了 Dirichlet边界条件问题所产生的块Toeplitz刚度矩阵结构,从而使得现有问题刚度矩阵的结构变得非常复杂。假设我们取x、y和z方向具有相同的剖分节点数,那么边界节点的数目是O(N2/3),对于这些节点所形成的矩阵部分与相应的向量相乘,它的计算量也会达到O(NN2/3)= O(N5/3)!这甚至会超过已有快速算法对内部节点的计算量。通过对系数矩阵认真分析,精细地分解系数矩阵的内部结构,我们发展了相应的快速方法,该快速算法可将计算复杂度减少为O(N log N),存储量降低为O(N)。最后给出了常扩散系数光滑解;变系数光滑解;常系数非光滑解的数值算例,数值算例验证了方法的可行性与有效性。第三章,主要研究三维变系数时空分数阶扩散方程的一类有限差分方法,给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于时间分数阶导数项,我们采用了传统的L1离散格式,对于空间分数阶导数项,我们采用平移的Grunwald差分格式进行离散,如果采用传统的Time-marching方式进行求解,计算量高达O(MN3+M2N,存储量为O(N2 + MN)。通过构造时空耦合系统,对耦合系统系数进行分析,我们发展了时空全局快速算法以及Divide-and-conquer(DAC)算法两种无压缩损耗的快速算法;又利用Jiang等[134]发展的一种利用指数求和方式近似Caputo时间分数阶导数中的卷积核t-1-μ快速算法思想,结合我们发展的相关空间分数阶快速算法,最终可将时空分数阶问题的计算量优化为O(MN log N+MN log M),而存储量降低为O(N log M)。最后通过数值算例验证了各算法的可行性与有效性。第四章,内容主要来源于Meng Zhao,Aijie Cheng and Hong Wang,A preconditioned fast Hermite fi-nite element method for space-fractional diffusion equations,Discrete and Con-tinuous Dynamical Systems-Series B,2017,22(9):3529-3545.本章主要讨论了一类稳态分数阶扩散方程的预处理快速Hermite元方法。通过对矩阵的分析,我们证明了刚度矩阵是块Toeplitz矩阵结构。但是由于刚度矩阵具有很强的病态性,随着自由度的增加,刚度矩阵的条件数会变得非常巨大,甚至会导致相应的迭代求解方法出现不收敛的现象。因此我们发展了相应的块循环预处理算子对上述的快速方法进行优化。最后通过数值算例验证了方法的可行性与有效性。第五章,内容主要来源于Meng Zhao,Shuai He,Hong Wang and Guan Qin,An integrated frac-tional partial differential equation and molecular dynamics model of anomalously diffusive transport in heterogeneous nano-pore structures,Journal of Compu-tational Physics,https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.01.002.页岩气的储层结构具有强烈的非均质性,在纳米基质中的页岩气主要由孔道中的游离气和有机质岩石中的吸附气共同组成,吸附气与游离气的分子扩散规律差异较大。根据分子动力学(MD)模拟结果显示,体系均方差位移(MSD)服从次线性增长,此传输过程整体是一个次扩散过程并可以被连续时间的随机游走模型描述,也就等价于时间分数阶偏微分方程。分子动力学(MD)模拟提供一种较为精确的研究页岩气纳米孔气体流动模拟方法,通过MD模拟可以有效地估算孔道与有机质岩石两种不同物性的扩散系数,但是对于复杂的非均质结构孔隙以及受限于对计算资源和计算时间的高要求,应用具有局限性。本章通过分数阶方程与MD模拟相结合的建模方式,可以更加快速有效地对非均质纳米孔结构页岩气的传输行为进行研究。这种新的建模方式不仅可以有效地弥补MD模拟在较大区域中计算成本昂贵的缺陷,而且能有效地回归出尺度提升后的系统传输的有效扩散系数,对页岩气经济开发具有重要的意义。
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