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《山东大学》 2018年
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两类非线性自由流和多孔渗流耦合模型的有限元方法研究

张静源  
【摘要】:近些年来,关于建立流体从自由流区域流入或流出多孔区域的合适数学模型,并寻找合理的数值算法的问题得到了广泛关注。这样的模型可以广泛应用于水利学[14]、环境科学[26]以及生物流体动力学[32]等诸多领域。从物理意义上讲,这样的模型应包含两个物理系统的耦合问题以及穿过交界面时的界面条件。这类耦合模型最简单的数学形式是耦合的Stokes流和Darcy流问题,其中,用Stokes方程描述自由流区域流体的运动情况,用Darcy定律描述多孔区域流体的运动情况,再加上适当的交界面条件便构成了这一模型。关于交界面条件,它包括质量守恒条件、法相力平衡条件和Beavers-Joseph条件[6]。进一步的,在[72]中,Saffman 提出了 Beavers-Joseph-Saffman 条件,这一条件与 Beavers-Joseph条件相比,更加适合于数学分析。关于Stokes流和Darcy流耦合模型的数值方法有很多,并都做了非常深入的研究。例如,经典的协调有限元方法[3,54,77],非协调有限元方法[68],区域分解法[7,13,19,26,78],Lagrange乘子和混合元方法[12,42,44,55,61],混合有限元结合间断有限元方法[66,67],间断有限元结合模拟有限差分方法[58],谱方法[80],伪谱最小二乘法[52],以及许多其他的数值方法[17,20,25,31,43,45,59,63,74]。在这些文章中,考虑的模型都是只包含流体速度和流体压力两个变量的单组份线性问题。然而,在许多时候简单的线性Stokes流和Darcy流稱合模型无法合理的描述客观的物理现象。为此,就需要进一步研究更复杂的自由流和多孔介质流耦合的模型。我们知道,在多孔介质区域,Darcy定律描述了流体速度和压力梯度的线性关系。这一关系只在流体流动的很缓慢时成立,此时所有惯性项(非线性项)都可以忽略[4]。但是Forchheimer[36]在1901年通过沙包中的流体实验观察到当Reynolds数比较大(大约是Re1)时,会出现压力梯度和速度间的非线性关系,此时Darcy定律不再充分成立。为此,他提出了 Darcy-Forchheimer方程μK-1u +βρ|u|u+ ▽p =f用于描述多孔介质中高速流动的流体速度与压力梯度的二次非线性关系[4],其中u表示流体速度,▽p表示压力梯度,μ0表示流体的粘度系数,K表示渗透率张量,β0表示动态粘度,ρ0表示液体的密度,f表示体力项。这一方程被广泛用于天然气附近的流体流动模拟中[2]。当前,只有一篇文章[1]考虑了当多孔介质流区域满足Darcy-Forchheimer定律时的稱合问题。这篇文章分析了耦合的可压缩Navier-Stokes流和Darcy-Forchheimer流的传递热量方程的混合元方法的适定性,但该文章中没有误差分析。本文研究耦合的Stokes流和Darcy-Forchheimer流问题的一致稳定的混合元方法,根据同一元的思想使用P1的非协调Crouzeix-Raviart混合元函数近似流体的速度,使用分片常数函数近似流体的压力,并且通过加入一个仅与单元边界有关的罚项来保持格式的稳定性。我们之所以使用非协调Crouzeix-Raviart混合元来处理该模型是由于该方法本身可以求解Stokes问题[24]和Darcy-Forchheimer问题[81],使用这一方法可以保证在界面区域网格是匹配的,这样可以对不同区域使用相同的有限元空间。而且界面条件也更容易满足。相比较而言,间断有限元[16,47,66]也有类似的性质,但同样的精度下,间断有限元需要更多的自由度。而且,由[81]我们知道Crouzeix-Raviart元在求解Darcy-Forchheimer问题时有很好的收敛性质。关于Darcy-Forchheimer模型的数值分析工作,在[49]中Girault和Wheeler已经证明了非线性算子(?)=μ/ρK-1v+β/ρ|v|v的单调性、强制性和半连续性,从而证明了 Darcy-Forchheimer模型解的存在唯一性。我们将该算子的定义扩展到整个耦合问题上,从而得到整个稱合的Stokes流和Darcy-Forchheimer流问题的解的存在唯一性。关于Darcy-Forchheimer模型的误差估计,在[50,64,73]中都提及到了用单调算子的绝对值估计进行证明。这一估计主要用于分析非线性的Forchheimer项,即f(v)=|v|v的性质。我们使用这一估计结论用于整体的耦合问题误差分析之中,得到最优阶的误差估计。具体分析见第一章。目前,关于由地下储藏设备泄漏、化学药品泄漏以及诸多人类活动导致的地下水污染的问题日益受到人们的关注,这就需要在耦合的Stokes流和Darcy流问题的模型基础上加入质量传递方程所组成的耦合系统来描述。带传质过程的Stokes流和Darcy流耦合模型还可用于描述有大洞穴的地层中的混溶驱动过程以及与过滤有关的多种工业生产过程。这个耦合模型包含两层耦合含义,即在两区域间的耦合和流动方程与传质方程的耦合。这样的双重耦合导致模型成为了一个非线性的复杂系统。关于带传质的Stokes流和Darcy流耦合模型,只有两篇文章[16,79]研究了其数值方法,但都假设粘度与浓度无关,这一假设使得流体方程和浓度方程可以分离,降低了分析计算的难度,但不够符合实际物理现象。本文中,我们讨论的带传质的Stokes流和Darcy流耦合模型中流体的粘度依赖于溶质浓度,这大大增加了问题的非线性。我们使用两种方法处理该模型:在第二章中,我们用同一元的思想对整个区域用非协调Crouzeix-Raviart元近似流体速度,用分片常数近似压力,用经典的分片线性有限元近似浓度;在第三章中,我们使用不同区域多时间步长分区方法对系统中不同区域的偏微分方程使用不同的时间步长进行计算。两种方法各有不同的优势,同一元思想的方法使用的变量少,需要较少的自由度,而且通过我们提出的新双线性形式d(u;·,·)可以使用最低阶的格式进行计算;而不同区域多时间步长分区方法将整个系统的问题分解为3个小系统,减小了问题的规模,且适合并行计算。两种方法在稳定性分析和误差估计时都有相当的难度,其中对于不同区域多时间步长分区方法,在误差分析时我们还得到了各时间步长比率与各物理参数之间的具体关系,为比率的选取提供了充分的理由。具体分析见第二章和第三章。关于不同区域多时间步长分区方法,它是用于求解自由流和多孔介质流耦合问题的有效方法。这一方法是对由Mu和Zhu在2010年提出的不同区域分区方法[62]的优化。在Mu和Zhu的文章中假设各时间步长相同,仅仅是将自由流区域和多孔介质区域分离,求解每个区域的方程。在[75]中Shan等人提出的优化方法是根据大多数情况下多孔介质流场中各物理量随时间的变化要比自由流区域内物理量变化慢的多的事实,对不同区域使用不同时间步长,即对多孔介质流满足的方程使用大时间步长,对自由流满足的方程使用小步长。这一方法也被Rybak和Magiera[70]使用,用实际算例验证了该方法的有效性。然而,在这两篇文章中都没有明确说明不同时间步长比率的取法,这也给该方法带来局限性,我们将在§3.4解决这一问题。本文的组织结构如下:在第一章中,我们对耦合的Stokes流和Darcy-Forchheimer流问题给出一致稳定的混合元方法。该方法对整个区域使用P1的非协调Crouzeix-Raviart混合元函数近似流体的速度,使用分片常数函数近似流体的压力,使用一个惩罚项来保证格式的稳定性。我们给出离散的inf-sup条件并证明解的存在唯一性。基于非线性的Forchheimer项的单调算子的绝对值估计性质,我们得到最优阶的先验误差估计。最后,用数值算例来验证理论推导的正确性,以及验证了迭代算法的收敛性,并得到变化的参数值β,ρ以及非同一的渗透率矩阵K对于解的稳定性没有影响的结论。在第二章中,我们将第一章的一致稳定的混合元方法结合有限元方法用于求解带传质过程的Stokes流和Darcy流耦合问题。该问题的模型包括速度和压力的方程以及浓度方程,并且速度方程中的粘度是依赖于浓度的。我们对整个区域使用分片线性的非协调Crouzeix-Raviart混合元函数近似流体的速度,使用分片常数函数近似流体的压力,使用分片线性的有限元近似浓度,使用与第一章相同的惩罚项来保证格式的稳定性。我们给出近似解的存在唯一性证明。关于误差估计,我们通过在浓度方程中引入一个正定的双线性形式d(u;·,·),可以不需要对速度或浓度的无穷模范数做有界性假设,也不需要对时间步长和空间步长做限制得到关于流体速度和浓度的最优阶先验误差估计。最后,用数值算例来验证理论推导的正确性,并用一个仿真的实际算例,直观的反映我们方法的有效性。在第三章中,我们针对第二章的模型给出了一个基于不同物理参数的不同区域多时间步长分区方法。该方法将整个系统根据界面解耦并对解耦后的每一部分的偏微分方程使用不同的时间步长进行计算。通过严格的误差估计过程,我们找到了不同时间步长比率的影响因素,并显式的给出了这些物理参数与比率之间的具体关系。在与物理参数有关的适度时间步长约束下,我们得到了该方法的稳定性,并推导出了最优阶的先验误差估计。通过数值算例我们验证了理论分析结果,并说明了不同区域多时间步长分区方法的有效性。在第四章中,我们总结了本文所做的工作,并对当今各类自由流和多孔介质流耦合问题的研究做了简单介绍,确立了我们未来的研究方向。
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