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《山东大学》 2018年
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带跳的rough path理论及其在线性和非线性期望中的应用

张会林  
【摘要】:在各类工程,金融,数学等领域中,我们经常要遇到类似下面形式的方程dyt = f(yt)dxt, (0.0.1)其中:x是一个多维的驱动信号,/是一列驱动的向量场。1如果x∈C1或者x∈C1-var那么这个方程可以理解为y(t)=f(y(t))x(t)其中C1-var表示连续的局部有限变差的轨道的集合。在这种情况下,更准确的说原来的方程应该理解为(?)而对于x(?)C1-var,我们需要将低正则性(例如x∈Cp-var其中p 1)与不连续性区分开来。在x∈Cp-var情况下,例如连续的半鞅(其中p 2),这时要理解方程(0.0.1),我们经常需要考虑的是Ito或者Stratonovich意义下的积分。关于半鞅驱动的微分方程的研究,可参考例如 Applebaum [2], Jacod-Shiryaev [40],Kurtz-Pardoux-Protter [46],Protter[62]等众多经典的著作。从这个例子也可以看出,如果驱动的轨道是非常“粗糙的”(p ≥ 2),那么它所驱动的积分通常是不被该轨道唯一决定的(Ito v.s. Stratonovich)。如果没有半鞅的结构(甚至没有概率的框架下),例如金融中股票的走势图就是单一的一条“粗糙的”轨道,Lyons在他创造性的文章[53]中建立的rough path理论(本身是确定性的分析)为理解这类由“粗糙的”轨道驱动的方程提供了强大的理论基础。其中要求x∈Cgp,p ∞,也就是所谓的连续的几何p-rough path空间。对于方程中类似于Ito或者Stratonovich这样的积分不唯一的现象则由rough path结构的高阶项所唯一决定了(例如给定半鞅X,对应Ito或者Stratonovich的积分,是由不同的驱动的rough path(X,∫XdX)与(X,∫ XodX)决定的)。其中,概率的信息主要被用于构造这种随机的rough path (参考 Lyons-Qian[51],Lyons[53],Friz-Victoir[18],Friz-Hairer,[17])。对于连续半鞅作为 rough path 的研究,可以参考 Coutin-Lejay [10],Friz-Victoir [20, 18]。在Flint-Hambly-Lyons[15]中,作者考虑了连续半鞅驱动的方程的逐段线性的Wong-Zakai逼近。在Lyons-Yang [52]中,作者考虑了 Ito SDEs和平均化的Stratonovich解的关系。另一个有意思的非概率的问题,当驱动函数x带跳的时候,例如考虑在有界变差的情况下,取x∈D1≡D∩V1,其中D表示右连左极的轨道全体,(因此dx可以理解为Lebesgue-Stieltjes测度),我们可以考虑下面的方程(?)其中方程(0.0.3)表示Lebesgue意义下的积分方程,方程(0.0.5)可以理解为“将跳点处打开一个“小区间”,然后将左右极限用直线连接起来,从而变为解一个连续轨道驱动的方程,然后再忽视添加的“小区间”对应的解的部分”(这也称作“Marcus典则解”)。而这样做的代价是改变了原来的积分或者方程(相当于将Ito意义的方程变为了 Stratonovich方程),当轨道非常粗糙的时候,这个变化并不是明显可逆的(此时积分形式非常复杂),因此用后者研究前者是非常困难的。第一个方程(0.0.3)并没有太大的意义,因为很容易得到这类方程并不一定存在解(例如考虑y0= 1, f(y) = y,dx=δ1,容易得到y1 = 1+y1)。对于后面两类方程,在Young的情况下,i.e. x∈Dp,即右连左极且有限 p-变差(‖x‖pp:= supP(?)[0,T]∑u,v∈P|xv-xu|p∞),其中p∈ [1,2),首先由Williams [73]中进行了研究,其中它们分别被称为正向的以及几何的方程。本文中我们得到的结果在最简单的情况下,对应了 Young情况下的方程(0.0.4)。与[73]等之前的工作不同的是,首先,我们并不需要对x做任何连续性的假设,摆脱了如[73]等工作中右连续的假设,并且讨论清楚了右连续与左连续在定义积分与解方程中的差别(我们仅需要在Riemann-Stieltjes积分的定义上面固定被积函数在左端点即可,i.e..∫ ydx:=lim|P|→0∑(s,t)∈P ysxs,t);其次,我们直接通过Picard叠代的方法构造了解,而并不需要方程(0.0.5)的辅助(在[73]中作者先要解(0.0.5),再将该方程的解“变”为(0.0.4)的解);再者,我们的方法适用于各阶的rough path,i.e. x有有限的p-变差,p ∈[1,∞)。因此,我们能够给出由一般鞅驱动的Ito积分和方程的逐轨道的解释(对应了p∈[2,3))的情况,注意到此前的工作对于方程来说仅限于p∈ [1,2),不足以解释右连左极半鞅驱动的Ito方程。原因在于文章中我们采取了不同于先前工作的全新的处理技术手段,我们的主要技术在于从一个“足够好的”划分出发,充分利用积分形式的代数结构(这点在二阶以上的branched rough path情况下尤为显著,见第三章),到最一般的情况。为了突出我们的积分依赖于被积函数左端点的选取,我们将方程(0.0.4)记为(?).在rough path的框架下,我们也会遇到这样的问题。对于x∈Vp,p ∈ [2,3)的情况,由Friz-Shekhar在[22]中得到了右连左极下积分的可积性结果,其中作者也提出了右连左极的几何rough path的概念。进一步的,对于带跳的几何rough path驱动的方程解的连续性问题,在Chevyrev-Friz[7]中得到进一步的研究。本文主要研究的是正向的方程。与(0.0.5)不同的是,这时我们缺少了 “链式法则”,因此我们不能再在熟悉而又完善的几何rough path的框架下考虑这个问题。对于p ∈ [2,3)的情况,状态空间为Rd⊕(Rd)(?)2。而对于一般的p ∞的情况,我们需要考虑的是取值在Butcher群上面的所谓的branched rough path。也就是x ∈Vp = Vp([0,T],G|p|(H*)).其中G[P](H*)是[p]阶的Butcher群,Vp表示满足相应的有限p-变差条件的branchedrough path 全体。Branched rough path 的概念首先由 Gubinelli [26]提出,在 Hairer-Kelly[28]中,作者进一步阐明了它与几何rough path的关系(简单地说,几何rough path取值在上述(同阶的)Butcher群上的一个子群上面)。另一个难点是,由于我们脱离了连续的几何rough path的框架,因此我们必须要从积分开始就建立一整套的允许带跳的理论(如前面提到的,右连左极的几何rough path可以视为由连续的几何rough path的部分时间上的信息组成的,而连续的几何rough path理论是非常完善的)。为此我们在本文中建立了一系列的所谓的“拼接引理”(连续的情况下可参考[17, Ch. 4]以及[26])来考虑在没有连续性假设的条件下,rough path的积分及其连续性问题,这也为随机积分提供了逐轨道理解的方法(注意到这与连续情况有着很大不同,之前收敛到0的量,如limt↓‖x‖p,[s,t],由于跳的存在,不再收敛)。其中可以看到,我们的积分与方程依赖于我们定义积分时的“左端点”的选取,研究中发现这样可以充分的利用rough path自身的代数性质。同时,在技术的层面上,我们还需要充分利用到“大跳个数有限”这样的有限p-变差轨道的基本性质。这是因为,如果我们考虑方程(0.0.4),如果在某个时间点t0处x出现“大跳”,那么在这个点处做Picard叠代,结果将会是发散的。此时,我们采取的策略是,利用我们对于积分“左端点”的特性,计算出y在t0处的取值(也就是说yt0仅依赖y在[0,t0)上面的值),然后再进行一轮新的Picard叠代。幸运的是,这样的“大跳”个数是有限的。我们得到的积分与方程是关于p-变差范数连续的,同时我们也可以证明,它关于Skorokhod J1类范数也是连续的。这样一个直接的应用就是对于rough微分方程的离散逼近上面(可以理解为高阶的Euler或者Milstein逼近)。此时的离散逼近只是我们连续性结果的一个特例罢了,因此非平凡的推广了 Davie[11]中的逼近结果(p∈[2, 3)),并且此时我们并不需要极限方程的驱动是连续的。本文还进一步研究了这种广义的rough path理论在线性概率中的应用。对于给定的一般的(右连左极的)半鞅,及其对应的Ito提升,就是一个随机的(依赖于ω)roughpath (此时,经典半鞅的B-D-G不等式等估计对于随机的rough path也是成立的)。因此就建立了经典的一般的半鞅理论与rough path理论的对应。其中对应经典的半鞅驱动的方程解的连续性理论,(例如在我们熟悉的UCV/UT类条件下的连续性定理,参见Kurtz-Protter[47], [48], Jakubowski-Memin-Pages[41]),我们也有对应的随机 rough 微分方程的理论,也就是定理5.1。从本质上讲,与随机微分方程不同的是,在考虑rough微分方程的时候,经典的UCV/UT条件被替换为rough path意义下的紧的条件(参见第五章)。两者的关系是,如果给定的半鞅满足UCV/UT条件,那么他们就会满足我们的紧性条件。但是要注意的是,我们的紧性条件并不需要半鞅的结构。这点对于齐次系统(homogeneous system)的研究是非常有用的(参见 Kelly-Melbourn [42,43,44],Chevyrevet al [39])。为了验证定理5.1中需要的紧条件,我们在第五章的最后一部分提供了一些我们了解的可以用来验证紧性的办法。其中,我们提出了一个离散rough path逼近的Besov类的判定方法。这个结果将改进了 Kelly [42]中的结果。(其中Kelly结果对应regularity structure 中 Erhard-Hairer [14]的结果,关于 regularity structure 理论更详细的内容可以参考 Hairer [27], Bruned-Hairer-Zambotti [3], Hairer-Mass-Weber [30], Chandra-Hairer [6], Bruned-Chandra-Chevyrev-Hairer [4])。它可以将 Kelly 文章中 6+阶的矩条件削弱为2+阶的矩条件。我们要注意的是,这类的矩条件几乎是最优的,这点可以由满足UCV/UT的鞅例子中看出(此时最优矩条件为2)。由于现有的Besov空间并不能处理极限为带跳的轨道驱动的微分方程,所以我们的结果并不会被离散的regularity structure[14],以及最近关于Besov空间一进步研究的结果[27, 29]所包含。文章的最后一部分,我们考虑rough path理论在G-期望中的进一步的应用。G-期望理论(或者是非线性期望理论)是由彭在[59],[58]中提出的一种满足时间一致性的次线性期望理论。它是由一个全非线性的抛物PDE所定义的。与其对应的一系列的非线性随机分析,非线性倒向微分方程理论在Peng [59],[58],[60]以及Hu-Ji-Peng-Song [34],[35]中建立起来。对于非线性期望的进一步的研究,还可以参考Denis-Hu-Peng [12],Hu-Peng [37, 36], Li-Peng [50], Soner-Touzi-Zhang [64], Song [65, 67, 68, 69], Hu-Wang-Zheng[38], Li-Peng [49]。对于非线性期望,一个很自然的问题是,非线性随机积分与方程是不是也对应着一个rough path解释。该问题首先由Geng-Qian-Yang [24]中得到研究,作者将G-布朗运动提升为几何随机rough path。而在这一部分中我们研究了非线性布朗运动的α-Holder连续性,并进一步建立了 G-期望下面的rough path的Kolmogorov准则,这与[24]中的提升方法比较更加简便自然。然后我们研究了 G随机积分与随机微分方程与rough积分与方程的关系。我们建立了逐轨道的Wong-Zakai定理。最后我们还考虑了 G-布朗运动的粗糙性,建立了非线性期望下的Norris定理,从而证明了 G-布朗运动驱动的随机积分和光滑积分是可以区分开来的。从应用的角度看,G-布朗运动的rough path分析将进一步体现出采用G-期望理论分析金融现象的合理性(例如股票走势图就是粗糙的轨道),而且为资产定价等金融基本问题的研究提供了另一条分析途径。现在我们介绍文章的主要结果。1.有界变差及Young情况下带左右跳的拼接引理与微积分这一部分中,除明确说明,我们均不假设研究的轨道有任何连续性。定义0.1.设X : [0,T]→(E,‖·‖),为取值在Banach空间的一个轨道,我们记Xs,t:=Xt-Xs.我们称X为正规的,记为X ∈ V∞,如果X在[0, T]上左右极限都存在。称X有有限的p-变差,p ∈ [1,∞),记为X∈Vp, 如果下面的表达式有限(?)其中,P为[0,T]任意的一个划分。特别的,如果X是右连续的,我们记为X∈Dp.定义0.2.我们称一个定义在{0 ≤ s ≤t≤T}取值在[0,∞)的函数ω = ω(s,t)为一个控制(control),如果它满足在对角线上取0, (i.e. ω(s,s) = 0),并且满足超可加性,i.e. ω(s,t)+ω(t,u)≤ω(s,u).特别的,给定X∈ Vp 以下的等式定义一个控制ωX,p(s,t) := ‖X‖p,[s,t]p.定义0.3.我们称一个定义在{0 ≤ s≤ t≤ T}取值在[0, ∞)的函数σ=σ(s, t) 为一个弱控制(mild control),如果它满足(i)在对角线上取0, (i.e. ω(s, s) = 0),(ii)关于t单调递增,关于s单调递减,并且对于任意的δ 0,仅存在有限个u ∈[0,T]使得(?)下面我们引入两种意义的(积分)收敛,其中可以认为Ξs,t=YsXs,t。定义0.4. (MRS v.s. RRS) Ξs,t定义在[0≤s≤t≤T]取值在Banach空间(E,‖·‖)上一个泛函。对于一个划分P以及任意的[u,v]∈e 我们称Riemann和∑[u,v]∈PΞu,v按以下的意义收敛到K ∈E如果满足对应的要求,·Mesh Riemann-Stieltjes (MRS)意义(经典意义):如果对于任意的ε 0,存在一个δ 0,使得任意的|P| δ,我们有|∑[u,v]∈PΞu,v-K| ε.·Refinement Riemann-Stieltjes (RRS)意义(Hildebrandt[71],[72]):如果对于任意的ε 0,存在一个划分Pε,使得任意该划分的加细P (?) Pε,我们有|∑[u,v]∈PΞu,v-K|ε.我们记这个极限K为(按照MRS或者RRS意义)DΞO,T。下面我们是这一部分的主要定理,它是一个抽象版本的积分收敛的定理,给出了在没有连续性假设情况下的积分收敛的定义及其局部估计。定理0.1.(有界变差下的拼接引理)假设Ξs,t是定义在{(s,t):0≤ t≤T}到一个Baanch空间(E,‖ ·‖)的一个泛函。定义δΞs,u,t :=Ξs,t-Ξs,u -Ξu,t.假设δΞ满足‖δΞs,u,t‖≤δ(s,u)ω(u,t),其中σ是一个弱控制,ω是一个控制。那么下面的极限按照RRS的意义下存在,并且我们有下面的估计:‖DΞs,t - Ξs,t‖≤σ(s,t-)ω{s+,t).更进一步的,如果ω(s,t)关于s是右连续的,i.e.或者σ(s,t)关于t是左连续的,那么这个极限按照MRS意义下存在。下面是以上定理的直接应用。命题0.1.(一般的有界变差轨道的积分)1.给定 x∈V1([0,T],Rd),y ∈V∞([[0,T],L(Rd,Re)),Riemann和∑(u,v)∈P yuxu,v∈Re依RRS意义下收敛,我们记更进一步,我们有(?).2.如果x∈V1([0,T],Rd),y∈V∞([0,t],L(Rd,Re)),并且y是左连续的,或者x是右连续的,那么Riemann和∑(u,v)∈P yuxu,v依MRS意义收敛。3.如果 x∈D1([0,T],Rd),y ∈ V∞([0, T],L(Rd, Re)),那么(?).4.如果x∈D1([0,T],Rd),y∈V∞([0,T],L(Rd,Rd)),那么我们有(?)其中等式右边为Lebsgue-Stieltjes意义下的积分,μ(a,b]) = x(b) -x(a)。在Young的情况下(x∈Vp,p ∈ (1,2))我们也有抽象版本的积分定理。定理0.2. (Yong情况下的拼接引理)假设Ξs,t是一个定义在{(s,t) : 0 ≤s t≤T}到一个Banach空间(E,‖ ·‖)的泛函。定义δΞs,u,t:= Ξs,t -Ξs,t-Ξu,t。假设δΞ满足‖δΞs,u,t‖≤ω1α1(s,u)ω2α2)(u,t),其中ω1,ω2都是控制并且α1+ α2 1.那么下面的极限按照RRS意义下存在,并且我们有下面的局部估计:‖DΞs,t-Ξs,t‖≤Cω1α1(s,t-)ω2α2(s+,t),其中C仅依赖于α1+α2.更进一步,如果ω2(s,t)关于s是右连续的,i.e.或者ω1(s,t)关于t是左连续的,那么这个收敛按照MRS意义成立。作为以上定理的直接应用,我们有。命题 0.2. (Young情况下的积分)设x∈Vp([0,T],Rd),y ∈Vq([0,T],L(Rd,Rn))其中1/p +1/q 1.那么极限依RRS意义下存在并且我们有下面的估计 如果x是右连续的(或者y是左连续的),那么上面的极限依MRS意义下存在,我们记该积分为∫y-dx。与连续情况下类似,在带左右跳的情况下,我们也有对应的Taylor展开,分部积分等基本公式。命题0.3.(分部积分公式)设x,y分别属于Vp,Vq,其中或者p=1,q= ∞或者1/p +1/q 1那么我们有,其中△t-y :=yt-yt-, △t+y :=yt+-yt,△0-y :=0, △T+y:=0.关于x的表达式也类似。特别地,如果x和y都是右连续的,我们得到以下经典的结论,(?).定理 0.3. (Taylor展开公式)假设x ∈Vp([0,T],Rd)其中 p ∈ [1,2),f∈Liploc1+γ(Rd,L(Rd,Re))其中γp-1.那么我们有以下Taylor's公式特别地,如果x是右连续的,那么我们有下面经典情况下的结果。关于上述有界变差或者Young情况下的轨道x, i.e. x∈Vp,p ∈ [1,2),驱动的方程,我们有下述的存在唯一性定理,更一般的情况可以参见下一部分。定理 0.4. (Young情况下的微分方程)假设x∈Vp([0, T],Rd), p ∈ [1,2)。f∈C2 Re,L(Rd,Re))那么对于任意的y0∈Re,存在一个t00,使得存在唯一的yt,满足其中∫0tf(yr)ldxr如命题0.2定义的那样。如果f∈Cb2,那么这个解在[0,T]上也是存在唯一的。进一步的,如果x是右连续的,那么由引理2.1, y也是右连续的。2.带跳的二阶rough path下的微积分与方程理论在这一部分我们考虑x∈Vp,p ∈ [2,3)的情况,也就是二阶rough path的范畴。首先介绍下面基本概念。定义 0.5.(二阶 rough path)假定 X : [0,T] → Rd,X : [0,T]2 →Rd(?)Rd满足·(代数条件)Xs,t - Xs,u - Xu,t = Xs,u (?)Xu,t·(分析条件)‖X‖p,[0,T] ∞; ‖X‖p/2,[0,T]p/2 := supP∑[u,v]∈P|Xu,v|p/2∞,p ∈ [2,3).我们称(X,X)为一个二阶的rough path。我们记他们的全体为Vp([0,T],Rd)。下面我们介绍rough path积分的被积函数,被控的rough path。定义 0.6.(被控的 rough path)(Y, Y')被称为一个被(X)控的 rough path(controlledrough path by X),如果定义在[0,T]上的分别取值在Rl,L(Rd,Rl)上的Y,Y',都有有限的p-变差,并且如下定义的R:[0,T]2→RlRs,t :=Ys,t-Ys'Xs,t有有限的p/2-变差。我们记这样的全体为VXp([0,T],Rl)。类似于Young的情况,我们有下面抽象的积分定理。定理0.5.(一般的拼接引理)假设Ξs,t是一个定义在{(s,t) : 0 ≤ s f ≤ T}到一个Banach空间(E,‖·‖)的泛函。定义δΞs,u,t :=Ξs,t-Ξs,u - Ξu,t。假设δΞ满足其中ω1,j,ω2,j是控制,并且α1,j +α2,j 1,j = 1,...,N.那么下面的极限在RRS意义下存在,并且我们有下面的局部性估计,其中C仅依赖于minj{α1,j + α2,j}和N.进一步的,如果ω1,j(s,t),j = 1, ...,N关于t左连续或者ω2,j(s,t),j= 1,..., N关于s是右连续的,那么这个极限在MRS意义下存在。利用上面的结论,我们容易得到下面结论。命题0.4.(二阶rough path积分)假设X= (X,X)是有有限p-变差,p ∈ [2,3)。(Y,Y')是一个被控的rough path。定义Ξs,t = YsXs,t + Ys'Xs,t。那么我们有下面收敛结果和局部估计,其中C仅依赖于p.特别地,如果X是右连续的,那么等式(0.0.8)中的收敛是按照MRS意义下成立的,我们记为(?).关于二阶rough path,也有与之对于的Taylor展开(Ito公式)。定义 0.7. (reduced rough paths) X =(X,S)被称为一个[0, T]上的 reduced rough path 如果Xt∈Rd,Ss,t ∈ Sym(Rd (?)Rd)满足在对角线上为0,并且·Ss,t - Ss,u-Su,t = Sym(Xs,u(?)Xu,t)·X有有限p-变差,S有有限p/2-变差,p∈ [2,3).特别的,如果X' = (X,X)是一个二阶的rough path,那么X := (X,Sym(X)))定义了一个 reduced rough paths。定义 0.8. (reduced rough path 的括弧)假设 X = (X, S)是一个 reduced rough path,我们定义[X]s,t在{(s,t)|0≤s≤t≤T}取之于Sym(Rd(?)Rd)如下[X]s,t := Xs,t(?)Xs,t- 2Ss,t.事实上,由reduced rough path中的“Chen”条件(代数条件),我们有[X]s,t=[X]0,t - [X]0,s,这就意味着[X]t := [X]0,t确实是取值在Sym(Rd(?)Rd)上的一个轨道。进一步的,由定义我们知道[X]有有限的p/2-变差。下面我们给出rough path下的Ito's公式。定理 0.6. (rough path的 Ito公式)给定一个(reduced)p-rough path 和F∈Lip locp+∈其中∈0,我们有下面等式其中∫0T D2F(Xt)ld[X]t是Young积分,而且特别的,如果X是右连续的,那么我们有下面的形式,进一步的,如果X = (X,X)是一个rough path,上述等式中∫0T F(Xt)ldXt是一个rough积分并且[X]t =X0,t(?)X0,t - 2Sym(X)。关于二阶rough path驱动的方程rough differential equations (RDEs),我们有下面解的存在唯一性定理及其连续性定理。定理0.7.(rough paths驱动方程的全局解)(i).假设X ∈ Vp是一个二阶rough path,F ∈ C3。那么存在一个区间[0,t0],使得在此区间上存在唯一的Yt∈Vp([0,t0],Re)是下面rough微分方程的解其中积分是命题0.4中的rough积分,(Y,F(Y))作为被控的rough path。进一步的,如果F∈Cb3,那么这个解是全局存在的。(ⅱ).设‖X‖p,[0,T],‖X‖p,[0,T]L,而Y,Y'分别是X,X所驱动的方程的解。那么我们有下面的局部性估计,‖Y-Y‖p,[0,T]≤M2(Cp,F(1∨L))M+1(‖X;X‖p,[0,T]+|Y0-Y0|),其中M是一个被Cp,FLp + 1界住的常数。3. Branched rough path的积分与方程理论在这一部分,我们介绍带跳的branched rough path的积分和方程。我们记(G(H*),★)为Butcher群,它的逆映射由S*给出。更具体的定义参考第三章第一节。下面定义给出了广义 branched rough path。定义 0.9. (branched p-rough path) —个 branched p-rough path 是指一个映射 X : [0,T] →G[p](H*),满足对任意的f∈F[p],其中Xs,t := Xs-1*Xt,P是任意的[0,T]的划分。我们记branched rough path的全体为Vp。记下面的表达式为branched rough path的控制,我们定义下面的范数类似于二阶的rough path,rough积分的被积函数被称为被控的rough path。定义0.10.(被控的rough paths)设X ∈Vp。Z : [0,T]→H[p]-1成为一个被X控制的rough path 如果对于任意的 f* ∈ (F[p]-10)* := (F[p]-1)* ∪ {1*},我们有f*,Zt) = Xs,t*f*,Zs+Rs,tZ,f, (0.0.12)也可以表达为其中RZ,f是定义在{0≤s ≤t≤T}上,并且满足∑f∈F[p]-10 ‖RZ,f‖p/(γ-|f|,[0,T]p/(r-|f|)≤ωZ,γ(0,T),ωZ,γ是控制,满足γ≥[p].特别地,记Zsh:=h*,Zs,Zt:=1*,Zt),那么我们有并且我们称Z是一个基于z的被控的rough path。我们记被控的rough path为所组成的空间为VXp。下面我们为了简便期间,取γ=[p]。关于branched rough path的积分,我们有得到了下面的结果。定理 0.8.(branched rough paths的积分)假设 X 是一个 branched p-rough path, Z ∈VXp。设那么我们有按照RRS意义下存在,并且其中C依赖于γ和p.特别地,如果ωX,p(s+,t) = ωX,p(s,t)或者ωZ,γ(s,t-)=ωZ,γ(s,t),那么这个收敛按照MRS意义下存在。同样的,对于branched rough path驱动的微分方程,我们也有解的存在唯一性结果。定理0.9.(方程的全局解)假设X∈Vp,F∈ Cb[p]+1.那么下面的方程在[0,T]上存在唯一解, 进一步的,如果y是由X驱动的方程的解,那么我们有下面的局部估计,‖Y - Y‖p,[0,T] ≤ C(|y0 - y0| + ‖X; X‖p,[0,T),其中C依赖于F,y0,p,L, ‖X‖p,‖X‖pL。4. Rough微分方程在Skorokhod度量下的稳定性首先我们回忆下对于度量空间E上右连左极轨道的Skorokhod拓扑。记Λ[0T]为[0,T]到[0,T]的单调递增的双射。对任意的x,y∈D([0,T],E),其中D([0,T],E)为右连左极的轨道的全体,它上面的Skorokhod拓扑由下式给出,其中|λA| := supt∈[0,T] |λ(t)-t|.我们在这个意义下定义一个p-变差的度量。现在取E为Butcher群GN(H*)(见第三部分),它上面有自然的左不变的度量(参见附录)。对于右连续的 p-branched rough paths X,Z,定义其中特别地,对于二阶的rough path的情况,我们有E≌Rd⊕Rd×d,并且其中 ‖X - Z‖∞,[0,T] := sup0≤st≤T |Xs,t- Zs,t|.利用rough path的插值定理,i.e.引理4.1,我们能得到下面的收敛定理。定理0.10. (一致拓扑或者Skorokhod拓扑下RDE份的收敛)假设X, Xn是右连续的p-rough paths,并假设它们有一致有界的p-变差,i.e. supn ‖Xn‖p,[0,T] = X ∞.设Yn为下面方程的解dYn = F (Yn) dXn, Y0n = y0 .那么对任意的p'p 其中[p'] = [p],我们有下面一致意义下的估计,‖Y-Yn‖p',[0,T]≤M2+1/p'(Cp,F(1∨L))M+1‖Xn;X‖∞,[0,T]1-p/p',其中M=Cp,FLP,并且在SkOROKHOD意义下,也有σp',[0,T](Y,Yn)≤M2+1/p'(Cp,F(1∨L))M+1σ∞,[0,T]1-p/p'(X,Xn).特别地,如果Xn按一致拓扑或者Skorokhod拓扑收敛到X,并有一致的p-变差上界,那么RDEs的解也按照对应的拓扑收敛到对应RDE的解,并且这个收敛在p'-变差意义下也是成立的。带跳的rough path理论的一个重要的应用就是离散逼近,也可以理解为高阶的Euler逼近。对于任意的[0,T]的一个划分P,定义逐段常值的右连左极的rough path:对任意的[s, t) ∈P,XuP= XS 当 u∈[s,t), XTn≡ XT.例如,在二阶的 roughpath 情况下,X0,uP= (X0,s,X0,s)当 u∈[s,t), X0,TP≡(X0,T,X0,T).对于一个rough path驱动的方程,我们可以考虑上述离散化的rough path的逼近。注意此时逼近的方程就是我们熟悉的Euler逼近。定理0.11.(右连续的RDEs的高阶Euler逼近)给定右连续的p-roug path X,考虑下面的RDEs假设(Pn)是一列模收敛到0的划分。对任意的[sn,t") ∈ Pn,如下定义一列逐段常值的轨道Yn,其中Fτ:Re→Re 如定理3.2前面所描述的那样。特别地,对于二阶rough path,Ytnn:= Ysnn + F (Ysnn) Xsn,tn + DF (Ysnn) F (Ysnn) Xsn,tn.那么Yn在Skorokhod意义下收敛到Y ,并且有一致有界的p-变差。特别地,对任意的p' p,这个收敛在,Skorokhod意义下的p'-变差度量下也成立。5.带跳的rough path在线性概率中的应用假设(Xn)= (Xn(ω))是一列随机的p-rough path.例如,给定一个半鞅X,那么他的Ito积分可以将它提升成一个二阶rough path。对于随机的rough differential equations(RDEs),我们有下面收敛定理。注意这里的随机rough path并不限于半鞅的框架。定理0.12.(随机RDEs的收敛)设1 ≤ p ∞, F ∈ Cb[p]+1.假设随机的右连续的p-roughpath Xn在一致拓扑下(或者Sykorokhod拓扑下)弱收敛(或依概率收敛)到X,满足{‖Xn‖p,[0,T](ω)}胎紧。设Yn为下面随机RDEs的解dYn = F(Yn)-dXn, (0.0.16)Y是由X驱动的随机RDE的解,并且他们有相同的初值y0。那么随机RDE的解Yn在一致范数下(或Skorokhod拓扑下)弱收敛(或者依概率收敛)到Y。进一步,{‖Yn‖p ,[0,T](ω) : n ≥ 1}是胎紧的并且对任意的p' p,以上收敛在p'-变差的意义下也是成立的。对于一般半鞅驱动的随机微分方程,我们有下面的它与RDEs的等价性定理。命题0.5. (RDEs和SDEs的等价性)假设X是一个半鞅,X是如上定义的它的Ito's提升。F∈Cb3.那么下面随机RDE的解dYt = F(Yt)ldXt, Y0 = y0,依概率1的与下面Ito's 的解相同。dYt = F(Yt-)dXt, Y0 = y0.对于定理0.12中提到的紧性条件,它的验证一般是非平凡的。下面我们给出几种我们研究的随机过程的紧性的验证准则,具体概念可以参考我们在第五章最后一部分。1 UCV/UT下的半鞅命题0.6.(半鞅rough path的收敛)(Xn)n≥1是一列半鞅,并且在Storkhod拓扑下依概率收敛(或弱收敛)到半鞅X。假设(Xn)n≥1满足UCV条件。那么如上定义的Xn也是在Skorokhod拓扑下依概率收敛(或弱收敛)到X的。进一步的,对任意的p 2,集合{‖Xn‖p,[(0,T]|n ≥ 1}是胎紧的。2 Manstavicius 下的强Markov 过程命题0.7.假设{X}X∈M是一族强Markov过程,其中每个X如第五章定义的那样。假设存在常数a0 0, K 0使得对所有的h∈[0,T]和a∈ (0, a0],其中γ 0,β 1.进一步的,假设{M(X)}是胎紧的,其中那么对任意的p γ/β, {‖X‖p,[0,T]}X∈M也是胎紧的。3 Besov条件下的离散的随机rough path命题0.8.设(X,X)是对应划分P的离散的轨道,i.e.对任意的t∈[ti,ti+1),(X0,t,X0,t)(ω) = (X0,ti,X0,ti)(ω).假设(X,X)满足条件(5.3.2),那么对任意的p∈(1/β,q), (X,X)有有限的p-变差a.s.,并且我们有E[‖X‖p,[0,1]q]+E[‖X‖p/2,[0,1]q/2M其中M依赖于C,p,q,β.特别地,如果{Pα}α∈A是一列划分,并且对任意的Pα,(Xα,Xα)都是一个如上右连左极的逐段常值的随机rough path,并且存在一致的C使得它们满足(5.3.2)。那么我们有其中M依赖于C,p,q,β,并且{‖Xα‖p,[0,1]}α是胎紧的。4扰动下的胎紧性命题0.9.假设{(Xn,Xn}n是随机的rough paths,满足{‖Xn‖p,[0,T]}n是胎紧的,p ∈[2,3),定义(Xtn,Xu,vn) := (Xtn, Xu,vn+Γu,vn), t∈[0,T],{u,v}∈{0≤u≤v≤ T},其中Γtn是右连左极的Rd×d值的过程,满足{‖Γn‖p/2,[0,T]}胎紧。那么{‖X‖p,[0,T]}n也是胎紧的。6. Rough path在非线性期望中的应用在这一部分我们研究了 Holder连续的rough path在G-期望中的应用。对于任意区间[0,T]上取值在Rd中的一个连续轨道X,它的α-Holder范数(事实上为半范数)为,其中Xs,t =xt-Xs。我们记Cα([0,T],Rd)为有限α-Holder范数的轨道空间。类似的,对于X定义在[0,T]2取值在Rd (?)Rd上面的泛函,我们定义范数(?).在这一部分中,我们恒假设α∈(1/3,1/2),因为我们只考虑关于G-布朗运动的随机积分的情况。定义0.11.对固定的α,连续的rough path空间ea([0,T],Rd)包含所有这样的二元组(X,X),他们满足·Xs,t - Xs,u - Xu,0t =Xs,u(?)Xu,t,·X有有限的α-Holder范数,X有有限的2α-Holder范数。对于任意这样的二元组X := (X,X) ∈ Cα([0,T],Rd),我们定义以下的半范数‖X‖Cα := ‖X‖α + ‖X‖2α.定义 0.12.一个轨道 Y ∈ Cα([0,T],Rm)称为被轨道 X ∈ (Cα([0,T],Rn)控制的 roughpath,如果存在 Y'∈Cα([0,T],L((Rn,Rm)),使得尾项Rs,tY:=Ys,t- Ys'Xs,t,满足‖R Y‖2α ∞.我们记被控的rough paths的空间为CX2α([0,T],Rm)。对于任意的(Y,Y') ∈CX2α[0,T],Rm),我们定义它的半范数为‖Y,Y'‖X,2α :=‖Y'‖α + ‖RY‖2α。我们首先将G-布朗运动提升为二阶的rough paths。我们自然的选择是(B,B)(ω):=(B,∫st Bs,rdBr)(ω)。可以验证,利用G-期望下的Kolmogorov定理,它确实逐轨道的属于rough path空间Cα。进一步,我们有下面随机积分与(B,B)驱动的rough积分的等价性。命题0.10. (G-Ito随机积分等价于rough积分)假设(Y,Y')(ω)∈CB(ω)2α([0,T],R) ,c-q.s,并且Y,Y'∈MG2(0,T),使得Yt,Yt'∈LG2(Ωt) 对任意的t∈ [0,T].进一步,假设‖‖Y‖α‖L2,‖‖Y'‖α‖L2∞。那么下面的等式成立,特别地,∑(u,v)∈P(YuBu,v+Yu'Bu,v)在LG2范数下收敛到∫0TYrdBr。类似的,对于G-布朗运动驱动的Stratonovich积分,我们也有类似的等价性。下面的定理主要描述了 G一布朗运动的粗糙性。这里要注意的是,我们所说的粗糙性不单指Holder连续性,而是所谓的“真粗糙”的程度。具体来说,我们有下面定义([5])。定义0.13.给定的θ∈ (0,1),我们称轨道X ∈ Cα([0,T],Rn)为在范围ε0 0上是θ-Holder粗糙的如果存在常数L 0,使得对任意的a ∈ Rn,s ∈ [0,T],以及ε∈ (0,ε0],总是存在t∈[0,T],使得|t-s| ε,并且 |a · Xs,t|≥Lεθ|a|.其中最大的L称为X的θ-Holder粗糙性的模,并记为Lθ(X)。显然模Lθ(X)有下面表达式,(?).命题0.11. (G-布朗运动的Holder粗糙性)B是一个d维的G-布朗运动。那么对任意的θ∈(1/2, 1), B.(ω)是θ-Holder粗糙的,c-q.s.其中它的粗糙范围为T/2.进一步的,存在常数K,l,依赖于T,σ,σ使得对任意的ε∈ (0, 1/2Tθ),我们有c(Lθ(B) ε) ≤Kexp(-lε-2). (0.0.20)特别地,利用rough path下的Norris引理,我们有下面推论,表示G-布朗运动驱动的随机积分和光滑积分是可以区分开来的。推论 0.1.令 B =(B,B),(Y,Y') ∈ CB2α,Z∈Cα,c-q.s..进一步,设(Y,Y')满足命题0.6中的条件。那么记It=∫0tYsdBs+∫0tZsds,以及R=1 + Lθ(B )-1 + ‖B‖Cα+‖Y,Y'‖B,2α +|Y0|+|Y0'|+ ‖Z‖α+|Z0|.我们有不等式‖Y‖∞ + ‖Z‖∞≤MRq‖I‖∞r c-q.s.,其中M,g,r为依赖于α,θ,T的常数。特别地,如果我们有Y≡Y'、Z≡Z', c-q.s..利用RDEs驱动的方程的连续性定理,我们可以得到由G-布朗运动驱动的随机微分方程的逐轨道的Wong-Zakai定理及其收敛速度。我们考虑G-SDEs的逐段线性的常微分方程(ODEs)逼近。设B是[0,1]上的d维G-布朗运动。{tj(n)}j=0n是宽度为1/n的划分,Bt(n)是G-布朗运动根据{tj(n)}j=0n。逐段线性化得到的随机轨道。我们考虑以y0∈Rm为初值的ODEs,dYt(n) = f(Yt(n))dBt(n)+g(Yt(n))dBt + h(Yt(n))dt. (0.0.21)现在我们给出G-框架下的Wong-Zakai逼近。定理0.13.设 Yt(n)是 ODEs (0.0.21) c-q.s.的解,Xt是下面Stratonovich形的G-SDE的解,其中f∈Cb2,g, h∈Cb1.那么对任意的f ∈ [0,1],Yt(n)在LG2范数下收敛到Xt。进一步的,对任意的t ∈ [0, 1],我们有下面不等式,E‖Yt(n) - Xt|2] ≤ K(?), (0.0.23)其中K依赖于f,g, h和σ。现在我们给出Wong-Zakai逼近逐轨道的收敛速度的估计。定理0.14.设f,g,h∈eCb3,Y(n)如(0.0.21)中定义的那样。记X为下面G-StratonovichSDE的解,并且Y 是下面 G-Stratonovich rough path 驱动的 RDE 的解,dYt = f(Yt)dBstrat + g(Yt)dBt + h(Yt)dt, (0.0.24)初值条件为x0。那么对任意的θ 1/2-α,我们有下面不等式,‖Y-Y(n)‖α≤M(ω)1/nθ, c-q.s..
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