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《山东大学》 2018年
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图的点可区别染色和标号

于筱蔚  
【摘要】:本文中不加特殊说明,所有图都是有限简单图.我们分别用V(G),E(G),△(G)和δ(G)来表示图的点集,边集,最大度和最小度.本文主要研究与四色猜想和图的非正则强度有关的图染色问题,主要包括:局部非正则边染色,列表1-2-3猜想,邻和可区别边染色,反魔幻标号猜想,图的DP-染色.一个图被称为是局部非正则的,如果图中任意两个相邻顶点的度都不相同.图的局部非正则k-边染色是指用集合{1,2,...,k}中的元素给边染色使得图中同种颜色导出的子图都是局部非正则的.但并不是所有的图都存在局部非正则边染色.如果G存在一个局部非正则边染色,那么我们称图G是可分解的.在2015年,Baudon,Bensmail,Przybylo和Wozniak猜想每个可分解的图都存在局部非正则3-边染色.近来,Bensmail等人证明了第一个一般图的局部非正则边色数的上界,为328.后来Borut等人又将这个界改进到了 220.本文中,我们将通过证明任意的可分解的二部图都存在局部非正则5-边染色来推广一般图的结论,得到一般可分解图的上界是184.如果一个图中不含孤立边,那么我们称这个图为常规图.图G的kk-边赋权φ是指函数φ:E(G)→ {1,2,...,k}.我们称kk-边赋权是正常的如果有∑e(?)uφ(e)≠∑e(?)vφ(e)对任意的边uv∈E(G)都成立.2004年,Karonski,Luczak和Thomason提出了著名的1-2-3猜想:任意的常规图G都存在一个正常的3-边赋权.这个猜想得到了广大学者的关注,目前最好的结果是= 5.我们称图G是(k,k')-可选的,如果对任意的列表分配L,其中每个顶点v ∈(G)的列表L(v)含有有k个实数,每条边e∈ E(E(的列表L(e)含有kk'个实数,G都存在一个全赋权φ:V(G)∪E(G)→R五使得φ(z)∈L(z)对每个z ∈ V(G)∪E(G)都成立,并且任意两个相邻的顶点都含有不同的点和,这里顶点u∈V G 的点和是指v的权值与点v关联的边上的权值的和.在2011年,Wong和Zhu猜想每个常规图是(1,3)-可选的.显然,这个猜想是1-2-3猜想的列表形式.一些特殊图比如完全图,完全二部图,树,一些特殊图的笛卡尔积,以及最大平均度小于11/4的常规图都是(1,3)-可选的.在2015年,Wang和Yan证明了任意的常规图G是(1,4△(G)+8/3])-可选的.我们运用组合方法证明了任意常规图G是(1,△(G)+ 2)-可选的.一个图的正常边染色是指用集合{1,2,...,k}中的元素给图中的每条边染色使得任意相邻两条边染不同的颜色.如果我们在1-2-3猜想的基础上加上“正常边染色”的限制,那么这种染色就变成了邻和可区别k-边染色,或者简写为NSD-k-边染色.在2013年,Flandrin等人研究了树,圈,完全图,完全二部图的邻和可区别边染色.基于这些结果,他们猜想如果G是一个至少含有3个顶点且G≠ C5 的连通图,那么χ'∑≤△(G)≤△(G)+ 2.Flandrin等人还证明了对于最大度△(G)2的连通图G有χ'∑(G)≤[7△(G)-4/2]成立.Wang和Yan将这个界改进到了[10△(G)+2/3].后来,Przybylo证明了 ch'∑(G)2△(G)+ col(G)-1,其中col(G)是图G的染色数.最近,Przybylo和Wong证明了ch'∑(G)≤ △(G)+ 3col(G)-4.我们给出了一般图的上界 ch'∑(G)≤ △(G)+「5col(G)+1/2],这个界覆盖了之前的结果.Dong等人研究了稀疏图的NSD-k-边染色.更具体地.他们证明了下面的结果:设G是一个常规图.如果△(G)≥ 5且mad(G)5/2,那么X'∑(G)≤ △(G)+ 1.其中mad(G)=max{ 2|E(H)|/|V(H)||H(?)G}.后来.Gao等人将这个界从5/2改进到8/3.我们将8/3提高到3-2/△(G).同时,我们还证明了如果G是最大度△(G)≥ 5且mad(G)3的常规图,那么χ'∑(G)≤ △(G)+ 2.另外,我们证明了如果△(G)= 3且mad(G)5/2,那么 χ'∑(G)≤ 5.含有m条边的图G的一个kk-标号是指从E(G)到含有m + k个正实数的集合S的单射.顶点v∈()的点和是指与v关联的所有边上的颜色的加和.如果在图G的一个k-标号中,任意两个顶点的点和都不相同,那么我们称这样的k-标号为点可区别标号.一个k-标号是反魔幻标号如果它是一个点可区别标号并且标号集合是S ={1,2,...,m}.如果一个图存在反魔幻标号,那么我们称这个图是反魔幻的.如果在一个k-标号中任意两个相邻的顶点的点和不同,那么这个k-标号是局部k-反魔幻标号.我们称一个图是局部反魔幻的,如果它存在一个局部反魔幻标号.在1990年,Hartsfield和Ringel猜想每个常规的连通图都是反魔幻的.本文我们将研究与这一猜想相关的两个问题.对任意一个简单图G,给图中所有的边一个方向使得图G变成一个有向图G,我们称G为图G的定向.如果图G存在一个定向G,并且G存在一个标号使得G中任意顶点的出边上的标号和减去入边上的标号和不同,其中标号集合S ={1,2,...,m},那么我们称G是图G的反魔幻定向.2010年,Hefetz,Mutze和Schwartz引入了这一概念,并且在同一篇文章中提到了下列问题:每个连通图都存在一个反魔幻定向.同时他们证明了几乎所有正则图都存在反魔幻定向.注意到如果一个二部图是反魔幻的,我们给每条边一个从一部分顶点到另一部分顶点的方向,那么这就是一个反魔幻定向.因此正则二部图存在一个反魔幻定向.一个二部图是双正则的如果每部分顶点都有相同的度.我们证明了任意的双正则二部图存在一个反魔幻定向.作者Arumugam等人以及Bensmail等人在不同的文献中分别猜想每个常规连通图G用集合S = {1,2,…,|E(G)|}中的元素标号的话都存在一个局部反魔幻标号.Bens-mail等人证明了当标号集合是S = {1,2,...,|E(G)| + 6}时,最大度是3的图存在一个局部6-反魔幻标号.我们直接证明了最大度是3的图是局部反魔幻的.在他们的同一篇文章中,还证明了当标号集合是S={1,2,...,|EG)| +4}时,每个常规的2-退化图存在一个局部4-反魔幻标号;如果标号集合是S = {1,2,…,|E(G)| + k+}的话,每个常规图存在一个局部kk-反魔幻标号,其中k = min{2△(G),|E(G)|}.我们证明了两个关于一般图的结论.设G是一个常规图,最大度是△(G).如果G中的所有顶点的度都是奇数,那么G是局部(△(G)+ 1)-反魔幻的;否则的话,G是局部△(G)-反魔幻的.我们还证明了 G是局部「3col(G)+3/2]-反魔幻的.在解决平面图的列表点染色问题时,Dvorak和Postle介绍了一个新的概念:DP-染色(他们称之为对应的染色).图G的DP-染色把从列表L中找一个正常点染色问题归结为在一个辅助图H(G,L)中寻找一个比较“大”的独立集的问题,其中辅助图H(G,L)的点集是{(v,c):v∈ V(G)且c ∈ L(v)},边集包含两部分:·对于任意的顶点v ∈ V(G),(v,c)与(v,c')相邻,其中c,c'∈'L(v);·对于任意的边uv ∈E(G),(u,L(u)与(v,L(v))之间的边是一个任意的匹配(可能为空).这个思想来源于Plesnevic和Vizing把正常k:-染色问题归结为在笛卡尔积G□Kkk中寻找大小为|V(G)|的独立集的问题.如果对于任意的列表L,其中对任意顶点v ∈V(G),有|L(v≥ kk,H中都存在一个大小为|V(G)丨的独立集,那么我们称图G是DP-kk-可染的.称最小的k为图G的DP-染色数,记作χDP(G).显然χDP(G)≥χl(G)对任意的图都成立,但是它们之间相差甚远.我们在第四章中介绍了简单图的DP-染色,并且证明不含4-圈和3-圈相邻的可平面图的DP染色数是4.
【学位授予单位】:

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