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基于变分不等式方法的网络竞赛博弈

徐进  
【摘要】:竞赛理论被用于研究企业研发、寻租、政治选举、专利竞赛、广告以及地区冲突等活动。本文建立了一个网络竞赛博弈模型,模型用二部图表示,图中的点集可以分为两类子集:参与人集合和竞赛集合。每个参与人在异质的竞赛中与不同的竞争者进行博弈。获胜函数采用塔洛克竞赛函数(Tullock contest success function),参与人的努力水平越高,在竞赛中获胜的概率就越大。成本函数是单调递增的凸函数,且受预算约束影响。参与人在多维竞赛中选择努力水平以最大化期望效用,即期望收益减去总成本。由于参与人效用函数在多维欧式空间上是不连续的,所以无法直接应用不动点定理证明纳什均衡存在性。由于网络竞赛博弈是多维的,所以它既不是加和博弈(aggregate game),也不是超模博弈(supermodular game)。因此,本文采用逼近方法证明纳什均衡存在性。存在性证明共分三步:(1)截尾策略空间,选择一个任意小的正数为策略空间下界,使得参与人效用函数在调整后的策略空间上是连续的。然后利用不动点定理,证明在调整后的策略空间上存在纯策略纳什均衡。(2)对步骤一的纯策略纳什均衡序列取极限,极限策略在每个竞赛中存在一个正的努力水平。(3)极限策略是初始博弈的纯策略纳什均衡。而且,对于纯策略纳什均衡,每个竞赛中至少有一个参与人选择严格正的努力水平。尽管均衡策略空间不是闭包、效用函数不连续,但是本文发现,竞赛博弈的纯策略纳什均衡等价于变分不等式(Variational Inequality,VI)的解。具体地说,在一般性假设条件下,本文证明:VI算子在均衡策略空间上是单调的,进一步可以证明,纯策略纳什均衡集是非空、凸的。而且,当成本函数是强增函数时,对于任意的竞赛结构,纳什均衡总是唯一的。对于纯预算情形,如果竞赛结构是完全二部图,此时可以证明纳什均衡也是唯一的。另一方面,本文研究了均衡多重性问题。如果成本函数不满足强单调性假设,博弈具有多重纳什均衡。对于任意的竞赛结构、竞赛技术和竞赛价值,总存在成本函数使得博弈具有连续统均衡。网络竞赛博弈在一般性假设条件下可能会有角点解,因此无法直接应用隐函数定理进行灵敏度分析。然而,本文利用互补松弛条件(complementarity slackness condition),可以将纳什均衡转变为变分不等式。通过变分不等式,本文对纳什均衡进行了灵敏度分析。具体地说,如果纳什均衡满足非退化(non-degenerate)条件,让紧变量(binding)保持紧性,那么均衡在邻域内具有连续可微的定理,从而使参与人在邻域内保持了局部稳健性(local robustness)。当纳什均衡为内点解时,可以直接应用隐函数定理进行灵敏度分析。此外,当纳什均衡满足非退化条件时,可以对参与人均衡效用和总努力水平进行灵敏度分析。根据灵敏度分析结论,本文进一步讨论最优补贴政策:为了增加整体努力水平,需要补贴有更多参与人的竞赛;为了增加参与人的期望效用,需要补贴有更少参与人的竞赛。当生产函数指数大于1时,一阶条件并不是求解纳什均衡的充分条件,因为参与人的效用函数不一定是凹函数。此外,本文还讨论了解的稳定性,当纳什均衡是内点解时,它是局部渐进稳定的:最优反映动态在任意的外部扰动下收敛于纳什均衡。最后,VI可以在更一般的可行集中刻画均衡定理。全文结构如下:第一章是引言,介绍模型的理论基础。第二章构建网络竞赛博弈模型,作出必要的模型假设,提供必要的数学理论。第三章是本文的核心部分,首先证明网络竞赛博弈存在纳什均衡。其次,在适当的条件下,运用变分不等式证明均衡是唯一的。第四章是灵敏度分析。第五章是模型的一些相关应用和扩展。本文的主要创新如下:(1)建立一个具有任意结构的网络竞赛博弈模型,参与人参加的竞赛数目不一定相同,另一方面,竞赛中的参与人数不一定相同。生产函数具有一般性结构,参与人在多维竞赛中最大化期望效用。(2)在效用函数不连续的条件下,利用逼近方法证明网络竞赛博弈存在纳什均衡。(3)利用变分不等式,刻画了纳什均衡集的凸性,并在强单调性条件下证明纳什均衡的唯一性。(4)在有角点解的情形下,利用变分不等式对纳什均衡进行灵敏度分析,测度外部冲击的网络效应。(5)用一个例子说明纳什均衡存在性条件的重要性。
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