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《山东大学》 2018年
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流固问题和麦克斯韦方程组的数值方法研究及超收敛分析

孙明  
【摘要】:多孔弹性模型是一个流固耦合问题,它用来描述多孔介质中的流体流动与固体变形之间的相互作用,流体的流动用Darcy定律刻画,多孔介质的变形用线弹性方程刻画。起初,Terzaghi[1]分析了在恒荷载下土柱的一维固结,随后,Biot把Ter-zaghi的理论推广到三维瞬时固结[2-6]。因此,多孔弹性模型也称为Biot固结模型。由于多孔弹性问题的普遍性和独特性,现如今它在许多科学和工程领域有着越来越重要的应用,如油藏工程[7-10],环境工程[11,12],生物力学[13-15]和材料科学[16]等。由于多孔弹性模型复杂的耦合结构,只有少数的多孔弹性问题可以求得真解[17-19]。因此,数值模拟成为求解多孔弹性问题的关键。最常用的数值方法是用连续有限元方法求解位移和压力[20],或者用连续有限元方法求解位移、用混合元方法求解流体中的速度和压力[24]。然而,当约束的单位储水系数c0=0(c0与孔隙度和压缩性有关)时,上述传统的有限元方法求解多孔弹性问题时,会产生闭锁现象,表现为压力振荡。Phillips和Wheeler通过数值实验例证了耦合间断有限元和混合元方法能有效地消除非物理压力振荡现象[21,25]。随后,在文献[26]中,他们启发性的测试了求解多孔弹性问题产生闭锁现象的原因,并建议用散度为零的非常数向量空间作为位移的逼近空间。紧接着,文献[27]和[50]分别分析了基于三角形和四边形剖分的耦合非协调元和混合元方法,从数值结果上可以看出这些方法也能有效地消除压力振荡现象。在文献[30,61]中,他们提出压力振荡现象可能因为选取的位移和压力的有限元空间不匹配产生的,而不是因为弹性闭锁产生的。近年来,还有其他许多数值方法用来解决多孔弹性问题的压力振荡现象,比如弱有限元方法[53,54,58],全混合元方法[28]、稳定的有限元法[23,29,31-36,52],多点通量混合元方法[49]和最小二乘法[22]等。自然地,传统的有限差分方法求解多孔弹性问题时也会导致压力不稳定。文献[62-64]分别提出了交错网格有限差分方法分别求解稳态、全动态和双孔隙度的多孔弹性模型。在此差分格式中,位移的x-分量在单元的横边中点处逼近,位移的y-分量在单元的竖边中点处逼近,压力在单元节点处逼近。他们证明了在一致网格下位移和压力离散能量模的误差估计。上述的文献都只考虑了由c0 = 0引起的压力振荡,然而,传统的有限元和有限差分方法在求解多孔弹性问题时也会产生由Lame常数λ → ∞带来的泊松闭锁现象。到目前为止,多孔弹性问题中的泊松闭锁现象还没有引起过多的注意。文献[65]中,他们提出了一个新的变分形式,并给出了三个符合条件的有限元空间对。然而,数值结果显示当Lame常数λ →∞时,最低阶有限元空间[P1]d ×p1×P0(d=2,3是维数)得到的离散解不收敛。求解多孔弹性模型,有三种耦合技术:全耦合、显式耦合和迭代耦合。全耦合是指在一个时间步内同时求解耦合模型。这样就需要线性求解器去处理耦合方程。显式耦合可以看成是一种分离方法,但是它仅仅是条件稳定的。迭代耦合是指在一个时间步内相继求解流体方程和力学方程,它比显式耦合方法更稳定,并且能达到与全耦合方法相同的精度。但是,迭代耦合方法在每一个时间步内都需要迭代。迭代耦合的收敛性证明可以参考文献[55-57]。最近,Nabil Chaabane和Beatrice Riviere提出了一种分离的间断有限元[59]和连续有限元方法[60]来求解多孔弹性问题。他们分离了耦合模型,在每个时间步内相继求解两个子问题。此方法是全解耦的,并且不需要任何迭代。他们证明了压力和位移的能量范数关于空间是最优的,但是关于时间是次最优,即用向后欧拉差分只得到了 O(△t(?))收敛阶。在文献[37,38]中,弱有限元方法首次提出用来求解椭圆问题,弱有限元方法的检验函数和试验函数在单元内部和边界取不同的值或者定义,也就是说有限元空间函数具有v = {v0,vb}这种形式,其中v=0为代表单元内部的值,v= vb为代表单元边界上的值。因此,通过局部RT元或BDM元,他们重新定义了离散弱梯度算子。随后,通过添加稳定项,提出了一种新的弱有限元方法[39]。新方法在有限元空间的选取和网格剖分上更灵活。文献[40]分析了弱有限元方法与混合元和间断有限元方法的区别。相比于混合元方法,弱有限元方法依赖于常规的变分形式,有大量的有限元逼近空间供选取,能得到正定的线性系统,更容易求解。相比于间断有限元方法,弱有限元方法不需要惩罚因子,变分形式不涉及跳跃项和平均值。随后,弱有限元方法成功的应用到抛物方程[41,42],Helmholtz方程[43],Maxwell方程[44],Stokes方程[45],Darcy-Stokes方程[46]和弹性问题[47]等问题上。在多孔介质中,Darcy定律描述了速度与压力梯度呈现线性关系[78,79]。然而,Darcy定律在速度u特别小的时候才成立。1901年,Forchheimer[80-82]观察到当Reynolds数比较大(大致Re1)时,速度与压力梯度之间存在非线性关系。近年来,有大量的数值方法来求解Darcy-Forchheimer模型。文献[67,83]和[68]分别分析了块中心有限差分方法和二重网格块中心有限差分方法。由Darcy-Forchheimer模型的结构知,混合元方法是求解Darcy-Forchheimer模型最常用的有限元方法。E.J.Park[84]分析了一般的Forchheimer模型的半离散混合有限元方法。文献[85,86]中,Girault和Wheeler提出了用分片常数逼近速度、用Crouzeix-Raviart元逼近压力的混合元方法。随后,文献[87]中,Hilda Lopez分析了用分片常数逼近速度、用P1协调有限元逼近压力的混合元方法。文献[88]给出了一种不同的混合元格式,有限元空间为RT混合元空间([89-91)或BDM混合元空间([92,93])。上述混合元方法逼近Darcy-Forchheimer模型都会产生一个非线性系统,因此,需要迭代法求解,这样导致了很高的计算成本。关于麦克斯韦方程的超收敛,早在1994年,Monk[137]首先给出了在特殊范数下的超收敛结果。随后,Brandts[122]对二维麦克斯韦方程给出了另一种超收敛分析,林群院士和他的团队[134,135]利用积分恒等式技巧[136,145]提出了全局超收敛结果。Qiao[139]利用后处理技术给出了时谐麦克斯韦方程非协调元在笛卡尔网格上的超收敛结果。近年来,由于特殊的物理特性,超材料[132]成为了科学家们研究的热点。Li首次分析了超材料在矩形网格和六面体网格上棱元的超收敛结果[128,131]。随后,他们推广到三角形网格和四面体网格上,得到了棱元的超收敛结果[129,130]。由于棱元超收敛分析的复杂性,他们只给出了最低阶棱元的超收敛。然而,高阶棱元[119,121]也是求解麦克斯韦方程常见的数值方法。基于上述多孔弹性问题和Darcy-Forchheimer问题的研究背景,以及麦克斯韦方程超收敛分析的研究背景,本文分别研究了多孔弹性问题的耦合弱有限元和混合元方法,全解耦的弱有限元方法和非一致网格上的交错有限差分方法,Darcy-Forchheimer问题的二重网格稳定化混合元方法和时谐麦克斯韦方程高阶矩形棱元的超收敛分析。具体内容为:第一章的内容主要来自于Ming Sun,Hongxing Rui.A coupling of weak Galerkin and mixed finite el-ement methods for poroelasticity.Computers&Mathematics with Applications.2017,73(5):804-823.我们给出了耦合弱有限元和混合元方法求解多孔弹性问题,用弱有限元逼近位移,用混合元逼近流体的压力和速度。首先,我们介绍了多孔弹性问题的数学模型及其混合元变分形式;之后,我们定义了弱有限元空间和混合元空间,引入了一些投影算子,给出了离散变分格式,并证明了格式的稳定性和存在唯一性。随后,我们得到了半离散和全离散格式下位移、速率和压力关于时间最大模的最优误差估计。误差估计不需要假设约束的单位储存系数c0大于0,并且误差分析中没有用到Gronwall不等式。最后,通过三个数值算例来验证理论分析的准确性和有效性。前两个算例表明在c00和c0 = 0两种情况下,我们都得到了位移、速率和压力关于时间最大模的最优误差估计。第三个算例是cantilever bracket问题,通过计算,我们发现耦合连续有限元和混合元方法得到的压力成振荡形态,而耦合弱有限元和混合元方法得到的压力光滑稳定,这验证了我们的方法能有效的消除由c0 = 0引起的压力振荡现象。第二章的内容主要来自于Ming Sun,Hongxing Rui.A fully decoupled weak Galerkin method for poroelasticity problems.Submitted.首先,我们回顾了多孔弹性模型,并给出了变分形式。接着,我们引入了最低阶弱有限元空间,并介绍了向量函数和标量函数的弱梯度和弱散度的定义。然后,我们给出了多孔弹性问题的全离散的分离的弱有限元格式。格式分两步分别求解压力和位移,第一步,已知位移的前两层的值,利用流体方程求解压力,第二步,利用求得的压力和力学方程求解位移。这样,我们就把多孔弹性模型完全解耦了。通过格式可知,压力和位移的第一层的值未知,因此,我们又给出了初始层分离的求解格式,在格式中,我们去掉了散度项,因此需要假设初始时间步非常小,保证位移关于时间的变化非常小以致于可以忽略。随后,我们证明了格式的存在唯一性,得到了压力和位移的能量模关于时间和空间的最优误差估计。格式中的稳定化参数是准确估计的。最后,数值实验说明了当c0大于0和c0接近0时,压力和位移的能量模关于时间和空间都是1阶的,这表明数值实验结果与我们的理论分析相吻合。第三章的内容主要来自于Ming Sun,Hongxing Rui.A MAC finite difference method for poroelastic-ity problems on staggered non-uniform grids.Submitted.首先,我们引入了固体压力和流体速度,将多孔弹性模型等价的转化为多孔弹性问题的四场模型,接着,给出了块中心有限差分和MAC有限差分方法的一些基本符号,以及两个逼近空间和两个等价的逼近格式。格式中,位移和速度的x-分量在单元竖边中点处逼近,位移和速度的y-分量在单元的横边中点处逼近,流体压力和固体压力在单元中心处,这与文献[62]中的交错格式不同,我们的格式未知量数量更少。然后,我们介绍了离散LBB条件,得到了格式的稳定性。随后,通过引入位移的插值,证明了当c00时,位移和压力的离散H1模在非一致网格下具有一阶最优收敛性;在一致网格下,压力的离散H1模、位移的x-分量沿x-方向的差分算子和位移的y-分量沿y-方向的差分算子的离散L2模具有二阶超收敛性,位移的x-(y-)分量沿y-(x-)方向的差分算子在不包含边界项时具有二阶超收敛性,在包含边界项时为1.5阶收敛性。当c0≥0时,我们得到了压力的离散L2模在一致网格下具有二阶超收敛,在非一致网格下具有一阶最优收敛性。最重要的是,稳定性分析和误差估计关于Lame常数λ ∈(0,+∞)都是一致成立的。因此,我们的格式能有效的消除压力振荡和泊松闭锁现象。最后,通过数值实验验证了理论结果。第四章的内容主要来自于Ming Sun,Hongxing Rui.A two-grid stabilized mixed fmite element method for Darcy-Forchheimer model,Numerical Methods for Partial Differential Equations.2018,34(2):686-704.我们考虑了Darcy-Forchheimer模型,利用格林公式,得到了混合变分形式,给出了速度u和压力p满足的正则性假设。然后,我们定义了P12-P1元的有限元空间。显然,同阶混合元空间不满足LBB稳定性条件,因此,我们引入了压力映射稳定项,得到了离散变分形式。我们证明了速度和压力的有限元空间满足一个弱的离散LBB条件,从而证明了离散变分形式解的存在唯一性。由于在速度u的值为0处,|u|的导数不存在,因此,我们用光滑函数(?)的一阶导数近似的代替|u|的一阶导数。利用牛顿修正法,我们给出了二重网格算法。第一步,在粗网格下,求解非线性问题,第二步,利用求得的粗网格上的解,在细网格上,求解线性化的问题,从而得到逼近解。为得到误差估计,我们引入了椭圆投影,得到了它的逼近结果,并证明了在粗网格上,速度和压力的L2误差。然后,我们证明了二重网格方法速度和压力的L2误差估计,得到了粗网格、细网格和参数∈只需满足关系H = O(h1/2)和∈= O(h)。最后,通过三个数值算例来验证二重网格方法的准确性和有效性,前两个算例说明了二重网格方法和稳定的混合元方法得到的误差几乎相同,但是二重网格方法的计算时间更少。第三个算例是注入-产出问题,通过它,也说明了二重网格方法能得到和稳定的混合元方法几乎相同的数值逼近解。第五章的内容主要来自于Ming Sun,Jichun Li,Peizhen Wang,Zhimin Zhang.Superconvergence analysis of high-order rectangular edge elements for time-harmonic Maxwell's equations.Journal of Scientific Computing,2018,75(1):510-535.我们首先回顾了时谐麦克斯韦方程,给出了各个记号的意义。介绍了Nedelec元插值算子和标准的L2投影算子,以及他们的性质,证明了任意阶棱元的超逼近结果。然后,我们分析了二阶Nedelec元的插值超收敛性质,得到了电场E、磁场H和电场的一阶导数和二阶导数的插值超收敛结果,利用四个高斯点,我们定义了标量和向量函数的离散l2范数,利用插值超收敛结果,我们证明了二阶Nedelec元电场E、磁场H和curl(E)具有三阶超收敛性,最后,非一致网格和各向异性网格上的数值结果验证了理论分析。数值结果还表明了电场的一阶导数和二阶导数具有二阶超收敛性。然后,通过相似的分析,我们得到了三阶Nedelec元的插值超收敛性质,利用九个高斯点,我们定义了标量和向量函数的离散l2范数,证明了三阶Nedelec元电场E、磁场H和curl(E)具有四阶超收敛性,数值结果与理论分析相吻合。
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