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《山东大学》 2018年
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几类波传播偏微分方程有效数值方法研究

王博  
【摘要】:在自然界、国民经济以及军事科技等领域,偏微分方程在描述事物发展运动规律方面发挥着至关重要的作用.随着物理以及其他学科所研究的对象在深度和广度两方面的扩展,其应用范围更加广泛,它可以对各种各样的现象进行建模,比如:热学、量子力学、流体动力学等等.波传播偏微分方程可以用来描述自然世界以及物理世界中的许多波动现象,比如对波在声学、电磁学和流体力学中的传播进行模拟.然而,对大多数的偏微分方程,特别是非线性方程,一般情况下用分析的方法得其精确解或解析解是十分困难的.随着软件技术和计算机硬件的飞速发展,数值模拟日益成为求解偏微分方程的重要方法[2,35].本文主要研究了三类求解波传播偏微分方程有效数值方法,这三类方程分别为:薛定谔方程,磁化等离子体中耦合电流的麦克斯韦方程组和正则长波方程.薛定谔方程是由奥地利物理学家于1926年提出,用于描述量子力学中波函数的运动方程.它揭露了微观物理世界中物质运动的基本规律[20],如同牛顿第二定律在经典力学中所起的作用一样,它是原子物理中处理一切非相对论问题的非常有力的一个工具,在原子、分子、流体物理、凝聚态物理、核物理等方面被广泛应用.薛定谔方程通常被称为孤子波动方程,是一种表达物理学系统发展的偏微分方程.非线性薛定谔方程[117]在非线性物理中有着很多成功的应用[22,74,75,120],如非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)、等离子体物理以及流体力学、激光脉冲中的自聚焦、晶体中的热脉冲传播等系统中的非线性波动问题都能用非线性薛定谔方程计算[4,20,26,48,70,99,122].基于上述原因,建立一个有效求解薛定谔方程的数值方法便成了 一项重要任务.关于薛定谔方程初边值问题的数值解已经有很多的研究,比如不连续的Galerkin方法[73,140],有限元方法[10,51,62],谱方法[13,76],Meshless 方法[37],Split-step 方法[36,98].近年来,薛定谔方程的紧致有限差分方法引起了人们很大的兴趣.一般情况下,普通的Crank-Nicolson格式(如[135])在求解高维或者大区域的薛定谔方程的实际问题时会带来巨大的计算量.因此,提出一种守恒紧致分裂步有限差分格式来求解高维薛定谔方程非常重要.据我们所知,许多物理问题定义在无界区域,因此研究无界区域的薛定谔方程更具有实际应用性.然而,计算区域的无界性给数值计算带来很大的挑战,因为一般基于区域的方法,比如有限差分或者有限元方法,仅仅能够处理有限维度的系统,当计算区域是无界时,这些方法是不可能求解的.为了数值求解定义在无界区域的微分方程,一般情况下考虑有限子区域和强加一个人工边界条件[8,15,40,90,110,157].但是在构造离散人工条件方面有一定的困难,特别是对于非线性方程.离散的人工边界条件经常会破坏整个有限差分格式的稳定性,比如,用于薛定谔方程的Crank-Nicolson方法的无条件稳定性被破坏[129].而且,在人工边界处可能会引起数值震荡.对于无界区域的非线性薛定谔方程来说,构造无条件稳定并且在边界处不引起任何震荡的数值格式是一件很重要的研究工作.等离子体物理是20世纪30年代开始发展起来的研究等离子体与电磁场及其它物质形态相互作用的一门学科.等离子体与电磁波的相互作用,即电磁波在等离子体中的透射、反射和衰减等问题,一直都是非常有实际意义的一个研究领域.近年来,等离子体技术在等离子体天线、等离子体波导、飞行器隐身和“捷变镜”雷达等领域的应用研究日益受到各军事大国的重视,其原理就是利用电磁波与等离子体相互作用的特性,以等离子体材料替代或者对原有工作设备加以改进,实现或提高新的性能以满足不断增长的工业和军事需求[55,56,72,130,147].电磁波与等离子体之间的相互作用最早追溯到1957年苏联发射人造卫星,这是人类第一次获得有关电磁波与等离子体之间相互作用的资料[126].从这之后,电磁波与等离子体相互作用的研究不断发展,从最初仅关注等离子体中电磁波的传播理论,发展到现在广泛的实际应用与更深的理论研究,例如:表面波等离子体,等离子体隐身,等离子体与太赫兹频段电磁波的相互作用,等离子体天线等.磁化等离子体可利用耦合线性电流模型的非平稳麦克斯韦方程组来建模.目前已经有一些显式时域有限差分(FDTD)方法来分析电磁波辐射,例如:递归卷积的FDTD[69,88],分段线性电流密度递归卷积(PLCDRC)FDTD方法[85,86],电场和电流密度卷积(JEC)的显式FDTD方法[138,139]等等.其实早在1966年,Yee在[144]中提出了时域有限差分方法求解经典麦克斯韦方程组.但是基于交错网格和中心差分的显式Yee格式,存在难以忽视的弊端,即它是条件稳定的,也就是说时间步长受到CFL稳定性条件的限制.对于要求几何细节和高质量因子的应用来说,这种限制使得显式格式不太实用[127].为了克服CFL条件的局限性,在求解磁化等离子体模型的时域有限差分方面,部分研究者提出了无条件稳定的算法,比如:[31,136]提出了一步蛙跳交替方向隐式FDTD方法,Hosseini[65]等人提出了一种具有局部无条件稳定性的三步一维FDTD方法.但这些方法能量是不守恒的.构造具有能量守恒特征且无条件稳定的数值算法对于等离子体材料中的麦克斯韦方程组的计算具有很重要的意义,保持离散情形下等离子体材料中电磁场的能量恒等式使得能够更加可靠和有效地对实际的物理问题进行模拟,因此提出一种计算各向异性磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒的且无条件稳定的FDTD格式是一项重要而困难的任务.正则长波方程RLW(Regularized Long Wave)是包含时间变量的许多重要的偏微分方程之一,常用于研究非线性色散介质流体中长波的单向传播.它最初由Peregrine于1966年首次提出[102].正则长波方程在物理科学、工程等许多领域中起着非常重要的作用,如在孤立子、浅水中的非线性横波,等离子体中的离子波和磁流体动力波,弹性杆中的纵向色散波和非线性晶体中的声包[17,18]中广泛使用.正则长波方程的非线性项使得很难求解它的解析解,所以很多专家运用不同的方法在求解数值解方面做出了大量的研究.在最近的几十年中,学者们给出了许多方法讨论正则长波方程的数值解,如有限元方法、Meshless分配方法、多辛算法、样条法、拟谱法、有限差分方法等等,具体见参考文献[23,27,33,38,49,54,57,71,92-94,101,107,114].由于正则长波方程中非线性项的存在,一些学者提出了时空二阶的有限差分格式[101],但是,研究和分析正则长波方程守恒的高阶紧致有限差分格式还是一个困难的研究课题.Li和Vu-Quoc在[79]中提到,“在一些领域,保留原始微分方程的某些不变性质的能力是判断数值模拟成功的标准.”在实际计算中,较好的算法应尽可能地保持原问题的某些内在物理特性.因此,构建能量守恒格式是确保得到精确数值解的关键,其保留了重要的物理特性,特别是对于长时间波传播.在计算薛定谔方程、电磁波方程、正则长波方程[29,41,96]的数值解时,提出保持离散意义下的能量恒等式的数值算法是至关重要的.本文对三类波传播偏微分方程进行了数值方法开发研究.基于问题的背景和方程的内在结构,提出了一系列卓有成效的无条件稳定的有效数值格式,理论分析其能量守恒性质、数值稳定性质、收敛性和误差估计,并进行数值实验研究和非线性波实际传播数值模拟研究。全文分为六章,组织结构如下:在第一章中,我们考虑Dirichlet边界条件的二维线性薛定谔方程.Liao和Tian等人[81,131]构造了紧致ADI方法求解线性薛定谔方程,然而,这些二维ADI格式不能保持能量守恒.在本章中,结合分裂技巧和高阶紧致算子,我们提出了一种新的守恒分裂四阶紧致有限差分格式,它具有电荷守恒和能量守恒的性质.在分裂过程中,我们将方程分裂为x-或y-方向,为了得到时间二阶的收敛率,我们的分裂格式为三步方法.在分裂方程的两端应用四阶空间紧致算子,这确保得到了空间四阶收敛率.在分裂的每一步,可以得到一个对称的三对角方程组,这使得方程组很容易由Thomas方法求解.我们严格证明了所提格式满足电荷和能量守恒,并且是无条件稳定的.四阶紧致差分算子仅仅利用了x-和y-方向的三个点,这使得计算近边界网格点时,紧算子不会越过计算区域,同时保证了边界处不会有电荷损失.我们证明了格式满足空间四阶和时间二阶的最优误差估计.格式很容易实现并且可以推广到求解高维问题.数值算例表明格式满足电荷和能量守恒,并且收敛阶和理论分析结果一致.此外,我们的格式完美地模拟了瞬态高.斯分布碰撞和分离的物理运动.在第二章中,我们考虑二维非线性薛定谔方程.非线性薛定谔方程常用来描述和预测重要非线性波和非线性效应的传播,比如涡旋和孤子.Spotz等人[119]提出时变问题的一种稳态高阶紧致差分方法.Caplan等人[24]描述了一个易于实现的拉普拉斯算子的两步高阶紧格式,并且将其应用到显式有限差分格式来模拟非线性薛定谔方程.但是,这几种格式都不满足物理守恒定律.因此,提出一种守恒紧致分裂步有限差分格式求解高维非线性薛定谔方程是很重要的,而且是很困难的研究任务.在本章中,我们结合算子分裂技术提出一种新的守恒四阶紧致分裂步的有限差分格式来分析求解二维非线性薛定谔方程.我们研究工作的特色在于所提非线性格式是守恒的、无条件稳定的,并且通过引入紧致差分算子离散空间方向,在不增加计算消耗的情况下,使得空间收敛率得到提高.在每一个时间步,我们将方程分裂为线性部分和非线性部分.对于非线性部分,我们可以直接求解.对于线性部分,我们采用空间分裂求解.我们严格证明了我们求解的非线性薛定谔方程的新格式满足电荷守恒,并且是无条件稳定的.我们进一步证明了我们的格式在离散的L2范数意义下,具有空间四阶收敛率和时间二阶收敛率.数值算例验证了我们的理论分析结果.并且研究不同聚焦参数β的非线性波的传播物理现象.在第三章中,我们考虑无界区域上的非线性薛定谔方程.研究无界区域上的物理问题,具有很重要的现实意义.无界区域上非线性薛定谔方程的数值方法和其理论分析是重要和困难的研究方向.对于无界区域上的线性薛定谔方程,Han和Sun[60,123,124]等人提出并分析了一维线性问题的有限差分方法.由拉普拉斯方法得到了有限计算区域的人工边界条件,其中Sun[123,124]等证明了所提格式是无条件稳定的,并且分析了无界区域一维线性薛定谔方程差分格式的误差估计.对于无界区域上的非线性薛定谔方程,Antoine和Zheng[7,153,156]等提出了相应的人工边界条件,然而文献[7,9,21,34,39,141,151-153,156]并没有给出无界域上非线性薛定谔方程数值方法的收敛性分析.在本章中,我们构造了无界域上的非线性薛定谔方程有限差分方法的人工边界条件,并对所提耦合有限差分格式进行了理论性分析.首先我们将无穷区域问题分为三个子空间问题,即区间x∈(xL,xR)上的内部问题和左右外部问题.然后通过拉普拉斯变换,分析两个外部问题得到两个解析人工边界条件.因此,通过引入这两个人工边界,将原始的无界区域的非线性薛定谔方程截断为有界区域的初边值问题.接下来引入辅助变量,我们给出了具有人工边界条件的非线性薛定谔方程的耦合有限差分格式.我们引入一外推算子处理非线性项.我们严格证明了所提的具有离散人工边界条件求解非线性薛定谔方程的耦合有限差分格式是无条件稳定的,并且证明了格式的收敛性.数值算例表明在人工边界处没有数值反射.我们研究了不连续的势函数对波传播的影响.另外,我们在本章的最后模拟了孤子的碰撞,尽管强烈的非线性相互作用,所有的孤子都可以恢复它们的形状,然后以特定的速度移动.在第四章中,我们研究磁化等离子体中电磁波的传播.在存在外部磁场的情况下,等离子体表现出各向异性行为.当电磁波在磁化等离子中传播时,等离子体不仅衰减入射波的能量,而且也改变传播方向.因此,磁化等离子体有着广泛的应用,比如卫星通信,空间气象灾害,远感,地球物理和散射体的雷达散射界面控制[109,138,139].对于电磁波在等离子体中的传播模型,[69,85,88,116,139]中提出一些显式有限差分格式,然而它们是条件稳定的,因为时间步长受CFL条件限制.[31,136]提出一步蛙跳交替方向隐式FDTD方法,[65]提出一种具有局部无条件稳定性的三步一维FDTD方法.虽然这些方法得到了无条件稳定性,但是并不满足能量守恒定律.本章中,我们着重研究在各向异性等离子体中能量守恒的FDTD方法.由于电磁波和磁化等离子体的相互作用,以及等离子体频率和回旋频率是空间变化性,这使得构造各向异性的磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒的数值格式是很困难的.我们提出了两种守恒有限差分方法,即FDTD-EC方法和FDTD-I方法.FDTD-I格式仅对常数的等离子体频率和回旋频率满足能量守恒定律.我们进一步提出改进FDTD-I格式以获得变化的等离子体频率和回旋频率的磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒格式FDTD-EC.我们理论地证明了FDTD-EC格式满足变频率情况下的两种离散能量守恒关系,因此得到了无条件稳定性.同时我们也证明了这两个格式的数值解具有时间和空间二阶的收敛率.数值算例的结果和我们的理论分析一致.我们进一步利用所提格式模拟电磁波在磁化等离子体中的传播.我们的结果表明,磁化等离子体可以有效地吸收电磁波并改变传播方向.吸收和各向异性的特征主要取决于电磁波的频率,等离子体频率(由电子密度决定)和回旋频率(由外部磁场决定)等几个参数.这些发现可以帮助理解等离子体频率和回旋频率对等离子体中电磁波传播的影响,并为特定的应用设计最佳的等离子体材料.在第五章中,我们开发一种高效的数值方法模拟磁化等离子体中电磁波的传播.一般情况下,传统的FDTD方法受CFL条件的限制,是条件稳定的.对于经典的麦克斯韦方程组,为了克服CFL条件的限制,许多学者提出无条件稳定的分裂时域有限差分方法.但是对于磁化等离子体模型中耦合电流方程的麦克斯韦方程组,无条件稳定的算法还是很少.Wang[64,136]等提出了各向异性等离子体中的交替方向隐式(ADI)时域有限差分方法.Hosseini[65,66]等人提出了一种无条件稳定性的局部一维时域有限差分方法.虽然上述的分裂方法对于二维问题是无条件稳定的,但是打破了磁化等离子体中的能量守恒性质.本章中,我们提出耦合电流方程的麦克斯韦方程组的能量守恒分裂时域有限差分方法(EC-S-FDTD).对于变化的等离子体频率和回旋频率,构造磁化等离子体的能量守恒格式是困难的.并且,分裂格步可能会进一步破坏守恒性质.在研究中,为了得到时间二阶收敛率,我们所提的格式每个时间层包含三步.第一步和第三步均包括五个方程,并且这五个方程可分别化为对称的三对角方程组,然后根据Thomas方法有效地求解.第二步包含四个方程.为了得到能量守恒性,我们将电流方程中的两个张量积项均放在第二步,电流密度Jx和Jy联合很容易求解.我们理论性地证明了所提EC-S-FDTD格式满足离散范数下的两种能量守恒关系,并且得出了无条件稳定性.利用能量的方法,我们证明了分裂格式的收敛性为时间二阶和空间二阶.数值算例验证了我们的理论分析.并且模拟了电磁波在磁化等离子体中的传播.最后,在第六章中,我们研究了非线性正则长波方程.正则长波方程中的非线性项,使得很难找到正则长波方程的解析解.因此,人们对具有初边值条件的正则长波方程的数值解进行了各种研究.Zheng[155]等人提出了一种使用Richardson外推法的有限差分方法.他们利用五点得到了四阶收敛性.Akbari[5]提出了一种求解广义长波方程的紧致有限差分方法.然而这些方法不符合能量守恒定律.本章中提出了两种守恒的四阶紧致有限差分方法来分析正则长波方程的数值解,它们分别是两层非线性隐的和三层线性隐的,前者的非线性格式使得计算相对耗时,后者的线性化格式使得计算节约时间.我们提出两个四阶紧致有限差分算子Lx和Mx,它们沿着x方向仅仅利用三个网格点得到了空间四阶的收敛率.非线性项的存在和紧算子的利用增加了证明守恒性和收敛性的难度.我们证明了所提格式的数值解满足质量守恒和能量守恒,并且解是存在唯一的.利用能量的方法,我们证明了在没有网格比限制的条件下格式是收敛的,无条件稳定的.‖ · ‖和‖· ‖L∞范数下的最优误差满足空间四阶和时间二阶的收敛率.数值算例和我们的理论分析结果一致.最后,我们模拟了两孤波和三孤波的碰撞和分离过程,另外还模拟了在Maxwellian初始条件下,对不同的方程参数,波的传播变化情况.
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