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时间变分数阶扩散方程的紧致差分格式

刘娅芳  
【摘要】:在本文中,我们考虑时间变分数阶扩散方程,其模型如下:其中0a≤a≤(?)1,RLD0,tα(x,t)为α(x,t)阶的 Riemann-Liouville 分数阶导数[1,2],其定义如下对变分数阶的Riemann-Liouville导数分析可得,该导数是依赖时间和空间的变量。特别的,在流体力学中该模型描述的是多孔介质在扩散过程中介质结构或外场随时间的变化,然而常数分数阶扩散方程不能描述此类现象。事实上,变分数阶导数的理论已经提出一段时间了,详情请参考[8-12]。本文的目标是给出求解时间变分数阶扩散方程的两种差分格式并讨论其稳定性和收敛性。为了得到高的数值精度,在时间方向上使用移位的Grunwald算子来逼近,同时在空间上分别采用二阶中心差商和紧致差分算子逼近,并用Fourieir分析法证明其稳定性和收敛性。两种差分格式的收敛阶分别可以达到O(τ3 + h2)和O(τ3 + h4),这里τ,h分别为时间步长和空间步长。最后给出一些数值算例,用来证实理论分析和计算精度。本文目标是给出以上时间变分数阶扩散方程的两种有限差分格式和理论分析。全文共分为四章:第一章:简单介绍有关变分数阶微积分发展进程中相关文献,并介绍本文的研究背景和研究意义。第二章:给出对时间变分数阶导数的高阶逼近。第三章:给出时间变分数阶扩散方程的两种差分格式。第四章:讨论格式的稳定性和收敛性,证明了本文算法的误差阶达到了 O(τ3 + h2)。第五章:给出数值模拟,并通过数值结果验证格式的有效性。


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