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《山东大学》 2019年
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某些算术函数的转移卷积和问题

娄淼  
【摘要】:本文主要研究了平均意义下高阶群的转移卷积和问题以及平均意义下三重除数函数的三元相关性问题.设α和β是某些算术函数,在解析数论中,很多重要的问题都与转移卷积和(?)有关,其中h ∈Z\{0}.我们回顾一下某些备受关注的特殊情形:·(α,β)=(∧,∧):这与孪生素数猜想有关(h=2).·(α,β)=(λ,λ):这与Chowla猜想有关.·(α,β)=(τ,τ):这是著名的二元加性除数问题,它与Riemann函数的四次积分均值有关.当τ替换成κ重除数函数τκ时,这是一般的二元加性除数问题,它与Riemann函数的高次均值有关.·(α,β)=(∧,τκ):这是经典的Titchmarsh除数问题.·(α,β)=(λf,λg):这是GL(2)× GL(2)的转移卷积和问题,可以看成是二元加性除数问题的推广.这里∧,∧,τ分别表示von Mangoldt函数,Liouville函数以及除数函数.λf,λg分别表示GL(2)上尖形式的f,g的傅里叶系数.更多详情和相关进展请参考文献[1,3,7,9,11,12,14,15,17,21-24,28,31,33,34,36-38,40,44-48,51,53-57,60].设AF(1,…,1,n)是SLm(Z)上Hecke-Maass形式F的正规化傅里叶系数以及ξ=∧(或者τκ).本文研究如下形式的转移卷积和(?)在平均意义下的问题.对于几乎所有的h ∈[-H,H],我们有如下结果.定理0.1 设AF(1,...,1,n)是SLm(Z)上Hecke-Maass形式F的正规化傅里叶系数.设ξ是von Mangoldt函数∧(或者是κ重除数函数Tk)以及B0,ε0.假设N8/33+ε ≤ H ≤ N1-ε,对于除了至多O(Hlog-BN)个整数h∈[-H,H],则有(?)另一方面,关于算术函数的三元相关性,目前研究甚少.设α,β,γ表示某些算术函数,本文也研究如下形式的三元相关性问题(?)若α,β,γ中某一个恒为常数函数1,则三元相关性Th(α,β,γ;N)变成转移卷积和,因此三元相关性rh(α,β,γ;N)可以看成是转移卷积和的一个自然推广.在解析数论中,估计Th(τ,τ,τ;N)的渐近公式是一个极具挑战的问题.迄今为止,对于一个固定正整数h情形也仍未解决.即使α,β,γ取作一些非常简单的算术函数,这些问题依然是极其困难的.对h取平均可以得到一个额外的抵消,相关研究可以参考文献[4,8,32,35,36,39,50,51].本文结合Blomer[4]以及Topacogullari[55]的工作,得到如下结果.定理0.2 设1 ≤ H≤N/3,W是在[1,2]上紧支撑的光滑函数,并且它的Mellin变换是W.设α(n)是一个任意的算术函数,rd(n)表示Ramanujan和,则有(?)其中P2,d是一个二次多项式,y是Euler常数,O(·)中的隐含常数依赖于W和ε.这里‖α‖2=(∑|α(n)|2)1/2表示l2-范数.除数函数与傅里叶系数有很多相似性,因此可以把除数函数τ替换为尖形式f的傅里叶系数λf.我们利用定理0.2的证明方法,可以得到如下结果.定理0.3 设1≤H≤N/3,W是在[1,2]上紧支撑的光滑函数.设α(n)是一个任意的算术函数,λf(n)是全模群SL2(Z)上全纯尖形式f的正规化傅里叶系数,则有(?)其中隐含常数依赖于W,f和ε.记v表示Ramanujan-Petersson猜想中的上界.在任何情形下,v=1/(64)都是可接受的(admissible).因此,当N5/9+ε≤H≤N-ε 时,上述两个结果是非平凡的.
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O156

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