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《山东大学》 2019年
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以Z_2~n上扭群代数研究平方和复合上Hurwitz问题的若干结果

张驰  
【摘要】:借助推广自Clifford代数Cl0.n、类八元素代数(?)n的扭群代数Pn(m)的帮助,我们着手研究平方和复合上的Hurwitz问题。这一系列构造的代数为我们提供了Hurwitz-Radon平方和恒等式的一种明确统一的构造方式。通过仔细调整所着眼代数的扭函数,我们为Yuzvinsky-Lam-Smith公式提供一个独特的新证明并证实了Yuzvinsky在1984年提出的第三族三元组(n≡2(mod 4)情况)的可容许性。关于Yuzvinsky集合对构造的讨论帮助我们优化了关于Hurwitz问题中无穷解族的Lenzhen-Morier-Genoud-Ovsienko公式,并且引导我们发现几个新的无穷可容许三元组族的构造方法。通过从已知扭群代数构造新扭群代数的Yuzvinsky集合对,我们推广了倍化构造这种重要且高效的从Hurwitz问题的已知解构造新解的方式。在整系数下,这种方法诱导出由已知插入矩阵得到新插入矩阵的新证明,而新证明的方法可以应用到所有系数域为特征不为2的域的情况。通过引入钩子引理,描述无符号插入矩阵颜色数下界与Hopf-stiefel函数的等价关系的Yuzvinsky猜想在很多情况已经被证实,在余下情况中,我们介绍了几个引理并以之证明一系列特殊形状的无符号插入矩阵的不存在性。本论文由以下四章组成:在第一章中,我们介绍了Hurwitz问题和Yuzvinsky猜想的历史、发展以及我们的研究成果。从古代的平方和等式开始,我们引入Hurwitz问题的介绍和Hurwitz-Radon定理。之后简要介绍Lenzhen-Morier-Genoud-Ovsienko公式与Yuzvinsky提出的二族可容许三元组。接着我们介绍Hurwitz问题中上下界的若干结果。最后我们简要介绍了自己研究成果。在第二章中,我们首先介绍了Z2n上扭群代数和Yuzvinsky集合对的定义与性质。随后我们介绍了保持扭函数第二项未知数线性的类八元数代数(?)n和Pn(m)。然后我们介绍了Hurwitz集的定义并分别对(?)n和Pn(4)给出其上Hurwitz集的构造方式。接着我们分别对Pn(4),(?)n,Pn(n)的扭函数进行微调并成功得到了符合Yuzvinsky提出的三族可容许三元组的Yuzvinsky集合对的构造。凭借这些结果,我们接着介绍两种构造新Yuzvinsky集合对的基本方法和优化后的Lenzhen-Morier-Genoud-Ovsienko公式,并且给出我们所构造的新无限解族。接着我们介绍倍化引理并且给出整数情况构造新Yuzvinsky集合对的证明。最后,我们给出在任何特征非2域中的倍化构造的推广定理并且利用从已知插入矩阵构造新矩阵的方法将它证明。在第三章中,我们简要介绍了Hopf-stiefel函数和无符号插入矩阵的定义与基本性质。接下来我们分析了几种无符号插入矩阵的特殊例子。在介绍群轨道分类和钩子引理之后,我们总结了四个有趣的引理,并使用它们证明了形如「9,16k-2,16k-9」的无符号插入矩阵的不存在性。然后我们给出与林己玄教授的关于形如「2a+1,2b+1,2a+ 2b」的无符号插入矩阵的讨论。在第四章中,我们总结了研究过程中的经验,并给出一些关于Hurwitz问题与相关问题的研究方向。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O15

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