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《山东大学》 2019年
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非线性期望下的随机微分方程及相关问题

刘国民  
【摘要】:由Pardoux和Peng[61]建立的非线性倒向随机微分方程理论(BSDE)有很多实际和理论应用,包括经济(见El Karoui,Peng和Quenez[22]),偏微分方程(见Pardoux和 Peng[62],Peng[66])和随机控制(见Peng[66,67])等等.BSDE 的解是一对过程(y.Z)满足:Yt =ζ +∫tT f(s,Ys,Zs)ds-∫tT ZsdBs,0≤tT.根据著名的Feymann-Kac公式,在Markov情形下,BSDE的解可以给一大类半线性偏微分方程提供概率表示(参见Peng[66],Pardoux和Peng[63],Fulhrman和Tessitore[28]和Crisan和Delarue[15]).作为线性期望的一个非平凡推广,基于BSDE理论,Peng[68]引入了非线性g-期望理论.实际上,g-期望是由一族等价概率测度描述的.利用此概念,Chen和Epstein[11]研究了带有漂移项不确定性的随机微分递归效用理论.然而,很多经济和金融问题包含更复杂的由一族相互奇异概率测度描述的波动率不确定性,由此启发,通过随机控制和偏微分方程方法,Peng[71,72,73]系统建立了一个称为G-期望的时间相容次线性期望框架(也可参见Peng[69,70]).在G-期望框架下,Peng构造了一个称为G-布朗运动的新型布朗运动,也建立了相应的Ito型随机积分.另外,通过压缩映射方法,Peng[71]和Gao[29]得到了下述G-布朗运动驱动的随机微分方程(G-SDEs)的存在唯一性:dXtx= b(t,Xtx)dt+∑ hij=1(t,Xtx)dBi,Bj)t+∑jd=1σj(t,Xtx)dBtj,t ∈[0,T],X0x=x,(0.0.1)其中B =(B1,...Bd)是G-布朗运动,Bi,Bj是交叉变差过程.不同于经典情形,交叉变差并不是确定过程.更进一步,Hu,Ji,Peng和Song[36]得到了下述一维(即Y是一维)G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程(G-BSDEs)的存在唯一性定理:Yt=ξ +∫tT f(s,Ys,Zs)ds +∫tT gij(s,Ys,Zs)dBi,Bjs-∫tT ZsdBs-(KT-Kt).(0.0.2)这个方程的解是过程三元组(Y,Z,K).与经典情形相比,G-BSDE有一个额外的非增G-鞅项K.这些作者在另一篇文章[37]中得到了 G-BSDE相应的比较定理,Feymann-Kac公式等.对于在G-SDE和G-BSDE理论上的其他发展,感兴趣的读者可以参考 Hu,Li,Wang和 Zheng[38],Hu,Lin和 Hima[43],Li,Peng和 Hima[50],Lin[53],Peng和Song[75].对于在次线性期望和G-期望理论上的更进一步研究,可参阅 Chen,Wu 和 Li[12].Dolinsky,Nutz 和 Soner[19],Epstein和 Ji[25].Neufeld和 Nutz[58],Soner,TTouzi和 Zhang[83],Xu和 Zhang[91]和 Zhang[93].本文系统地研究了 G-布朗运动驱动的(正向和倒向)随机微分方程中的一些基本问题.其中包括:G-布朗运动驱动的多维倒向随机微分方程,G-布朗运动驱动的随机微分方程的强马氏性,包含G-SDE作为一个特殊情形的非线性半鞅首出时的拟连续性,以及G-布朗运动驱动的均值反射倒向随机微分方程等.我们现在介绍一下本文的主要组织结构.在第一章,我们回顾了 G-期望,G-布朗运动,G-随机微分方程和G-倒向随机微分方程的主要概念和性质.在第二章,我们考虑了一类多维G-倒向随机微分方程的适定性.多维G-BSDE指的是解中Y是多维的情形.由于G-期望是一个非线性期望,G-鞅的线性组合不再是G-鞅.这导致了[36]中一维G-BSDE的方法并不能应用于解决多维G-BSDE的困难.我们通过对Y做压缩论证和倒向迭代局部解的方法得到了多维G-BSDE解的存在唯一性.更进一步,我们说明,在Markov框架下,多维G-BSDE可以给完全非线性抛物方程组提供了一个概率解释.在第三章,我们研究了 G-随机微分方程的强马氏性质.通过先验估计方法和证明一种新的相容性性质,我们将确定时刻条件G-期望延拓到可选时时刻.然后,我们用离散化方法得到了G-SDE的强马氏性.由于一般情况下控制收敛定理并不成立,我们利用了 Kolmogorov弱紧性准则和所构造条件G-期望的性质.特别地,对给定可选时τ和G-布朗运动B.我们证明了 B的反射原理,并说明(Bτ+t-Bτ),t≥0仍然是一个G-布朗运动.在第四章,我们系统研究了非线性半鞅首出时的拟连续性质.而G-SDE是一个特例,也是对考虑一般半鞅情形的主要启发之一.在加上某些额外的增长性条件和正规性假设后,我们证明,如果所考虑开集合满足外球条件,则相应的首出时是拟连续的.在证明中,我们应用了一种辅助函数方法和正则条件概率的概念.我们也给出了拟连续过程的刻画定理和停时过程的正规性质.特别地,我们得到多维G-鞅首出时的拟连续性,这非平凡地推广了 Song[86]中的一维结果.在第五章,我们主要研究了均值反射G-倒向随机微分方程.由于G-期望是一族奇异测度的上期望,因此严格比较定理并不显然,控制收敛定理也不一定成立.但这两个性质对我们在方程中构建向上的推力很重要.为了克服这些困难,我们利用了概率族的弱紧性,并通过容度理论证明了 G-鞅的一致可积性.有了这些准备之后,我们通过一个鞅表示论证方法和不动点原理得到了均值反射G-BSDE解的存在唯一性.更进一步.我们考虑了更一般的非线性期望反射情形.下面我们给出本论文的主要结果.1.G 布朗运动驱动的多维倒向随机微分方程在本章,我们考虑如下类型的n-维G-倒向随机微分方程:Ytl=ξl+∫tTfl(s,Ys,Zsl)ds+∫tT gijl(s,Ys,Zsl)dBi,Bjs-∮tT ZsldBs-(KTl-Ktl),1≤l≤n,(0.0.3)其中fl(t,ω,y,zl),glij(t,ω,y,zl):[0,T]× ΩT × Rn × Rd→R,(?)1≤ l ≤n满足:(H1)存在一个常数 β1 使得对每个y,z,fl(·,·,zl)∈ MGβ(0,T),(H2)存在常数L0使得,对每个y1,y2 ∈Rn,z11,z21 ∈Rd,|fl(t,y1,z11)-fl(t,y2,z21)|+(?)|gijl(t,y1,z11)-gijl(t,y2,z2l)|≤L(y1-y2|+|z1l-z2l|).我们首先研究G-倒向随机微分方程(0.0.3)的局部解.实际上,我们有定理0.1.假设对某个β1,(H1)-(H2)成立.则存在一个仅依赖于T,G,n,β和L的常数0δ ≤ T使得对任意h ∈(0,δ,∈[0,T-h和给定ζ ∈LGβ(Ωt+h;Rn),对任意1αβ区间[t,t+h]上的G-倒向随机微分方程Ysl=(ζl+∫st+hfl(r,Yr,Zrl)dr+∫st=hgijl(r,Yr,Zrl)dBi,Bjr-∫st+hZrldBr-(Kt+h-l-Ksl),1 ≤ l ≤ n,(0.0.4)有唯一解(Y,Z,K)∈ SGα(t,t+h;Rn)×HGα(t,t+h;Rn×d)× +h;Rn).另外,Y ∈MGβ(t,t + h;Rn).为了证明定理0.1,我们考虑下面区间[t,t+h]上的G-倒向随机微分方程:YsU,l=ζl+∫st+hfl,U(r,YrU,lJ,ZrU,l)dr+ ∫st+hgijl,U(r,YU,l,ZrU,l)dBi,Bjr-∫st+hZrU,ldBr-(Kt+hU,l-KsU,l),1≤l≤n.其中U∈MGβ(t,t+h;Rn),ζ∈LGβ(Ωt+h;Rn),h ∈[0,T-t],ψl,U;(t,yl,zl)=ψl(t,Ut1,…,Utl-1,yl,Utl+1,…,Utn,zl):[0,T]× ΩT ×R×Rd→R,对ψ =f,gij.对X=Y,Z,K我们记XU=(XU,1,…,XU,n).则引理0.2.假定(H1)-(H2)对某个β1成立.则对任意1αβ,G-倒向随机微分方程(0.0.5)有唯一的SGα(t,t+h;Rn)×HGα(t+t+h;Rn×d)×AGα(t,t+h;Rn)-解(YU,Zu,KU).另外,YU∈MGβ(t,t + h;Rn).跟据引理0.2,我们可以定义从MGβ(t,t+h;Rn)到MGβ(t,t+h;Rn)的解映射Γ:U→Γ(U):Γ(U):=YU,(?)U ∈ MGβ(t,t+h;Rn).过说明在h充分小时,解映射r是一个压缩映射,我们可由Piccrd迭代方法得到局部解的存在唯一性定理(引理002).之后通过一个倒向迭代,我们得到了G-倒向随机微分方程(0.0.3)在整个区间[0,T]上的适定性.定理0.3.假设(H1)-(H2)对某个β1成立.则对任意1αβ,G-倒向随机微分方程(0.03)有唯一解(Y,Z,K)∈SGα(0,T;Rn)×HGα∈(0,T;Rn×d)×AGα(0,T;Rn).另外,Y∈MGβ(0,T;Rn).我们也有多维G-倒向随机微分方程(0.0.3)的比较定理.在区间[0,T]上,考虑下面两个G-倒向随机微分方程:Ytl =ξl+ ∫tT fl(s,Ys,Zsl)ds + ∫tTgijl(s,Ys,Zls)dBi,Bjs-∫tTZsldBs-(KTl-Ktl),1≤l≤n,Ytl=ξl+∫tTfl(s,Ys,Zsl)ds+∫tTgij(s,Ys,Zsl)dBi,Bjs-∫tTZaldBs-(KTl-Ktl),1≤l≤n.我们有下述比较定理.定理 0.4.对某个β1,假设ft(t,y,zl),f(t,y,zl),gijl(t,y,zl),gijl(t,y,zl)满足(H1)-(H2)且ξ,ξ∈LGβ(ΩT).如果下面的条件成立:(i)对任意1 ≤ l≤n,t∈[0,T],zl∈ 和 y,y∈ Rn 使得 yj≥yj,对j≠l,且yl=yl,有fl(t,y,zl)≥fl(t,y,zl).[gijl((t,y,zl]i,j=1d ≥[gijl(t,y,zl)]i,jd=1,(ⅱ)ξ≥ξ.则对任意 t ∈[0,T],≥ Yt.最后我们研究多维G-倒向随机微分方程和完全非线性偏微分方程的联系.首先,对任意给定t ∈[0,T]和η∈ LGp(Ωt;Rk),其中p≥ 2,我们引入如下的G-随机微分方程:(0.0.6)其中确定连续函数b(s,x),hij(s,x):[0,T]× Rkk →和σ(s,x):[0,T]× Rk → Rk×d满足:(H3)hij=hji,对1≤i,j ≤d,式且存在正常数L使得下面我们考虑如下区间[t,T]上的n-维G-倒向随机微分方程:Yst,η;l=φl(XTt,η)+∫sTfl(r,Xrt,η,Zrt.η;l)dr+∫sT gijl(r,Xrt,η,Zrt,η;l)dBi,Bjr-∫sTZrt,η;ldBr-(KTt,η;l-Kst,k,η;l),1≤l≤n,(0.0.7).其中确连续函=φl:Rk→R,fl.fijl+gjil:[0,T]× Rk×Rn×Rd → R,1 ≤l ≤ n.满足下面的假设:(H4)存在常数L ≥ 0使得|φl(x1)-φl(x2)| + |fl(t,x1,y1,z1l)-f(t,x2.y2,z2l)|+(?)|gijl(t,x1,y1,z1l)-gijl(t,x2,y2,z2l)|≤ L(|x1-x2|+ |y1-y2|+ |z1l-z21|).对每个(t,x)∈[0,,T]×R× 我们定义确定性函数u(t,x):=Ytt,x,对任意(t,x)[,,T ×.((0.0.8)则有定理0.5.u为下面抛物方程组的粘性解:(?)tul(t,x)+ Fl(Dx2ul,Dxul,u,x,t)=0,(t,x)(0,T)× Rk,(0.0.9)ul(T,x)= φl(x),x∈Rk;1≤ l ≤n,中Fl(A,p,r,x,t,):=G(σT(t,,)Aσ(t,x)+2[p,hij(t,x)]ij=1d+2[gijl(t,x,r,σT(t,x)p)]i=1d)+b(t,x),p+fl((t,x,r,σT(t,x)p),对(A,p,r,x,t)∈S(k)× Rk ×Rn × Rk ×[0,T].2.G-布朗运动驱动的随机微分方程的强马氏性在本章,我们研究G-布朗运动驱动的随机微分方程的强马氏性质质首先,对给定可选时τ,我们构造了关于于Fτ+的条件G-期望Eττ并研究其性质.给定一个映射τ:Ω→[0,∞).称τ为一个停时,如果对每个t ≥ 0,{τ≤t}∈Ft.称τ为一个可选时,如果对每个t ≥ 0,{τt}∈Ft.对每个可选时τ,我们定义σ-域Fτ+:={A ∈F:A∩{τt}∈ Ft,(?)t≥0}={A ∈ F:A∩{τ≤t}∈ Ft+,(?)t≥0},其中 Ft+=∩stFs.令τ是一个可选时.对每个p ≥ 1,我们定义LG0,p.τ+(Ω)={X=(?)ξiAi:n ∈ N {Ai}in=1 是Ω 的一个Fτ+-划分,ξi∈LGp(Ω),i=1,…,n}.记LGpτ+(Ω)为LG0,p,τ+(Ω)在范数‖·‖p下的完备化.我们定义了条件G-期望Eτ+:LG1,τ+(Ω)→LG1,τ+(Ω)∩ L0(Fτ+).并有命题 0.6.条件期望 Eτ+:LG1,τ+(Ω)→ LG1,τ+(Ω)∩ L0(Fτ+)满足:对X,Y ∈LG1,τ+(Ω),(ⅰ)Eτ+[X]≤ Eτ+[Y],对X≤Y;(ⅱ)Eτ+X+Y]≤Eτ+[Y+Eτ+[Y];(ⅲ)E[Eτ+[X]]=E[X].我们也给出了LG1,τ+(Ω)上条件期望的更进一步性质命题0.7.条件期望Eτ:LG1,τ+(Ω)→ LG1,τ+(Ω)∩ L0(Fτ+)满足下面的性质:(ⅰ)如果Xi∈ LG1,τ+(Ω),i=1,…,n {Ai}i=1n 是Ω 的一个Fτ+-划分,则Eτ+[(?)XiIAi]=(?)Eτ+[Xi]IAi;(ⅱ)如果τ和σ是两个可选时,X ∈ LG1,τ+(Ω),则ET+[X]I{τ≤σ}=E(τ^σ)+[XI{τ≤σ];(ⅲ)如果X ∈LG1.τ+(Ω),则 E(τ^T)+[XI{τ≤T}]→ Eτ+[X]在L1 下成立,当 T → ∞时:(ⅳ)如果(τn}n=1,∞,τ是可选时且满足τn → τ 一致成立,当n → ∞时,且X∈LG1,τ0+(Ω),其中τ0:=τ ^n(^n=1∞=1τn),则Eτn+[X]→ Eτ+[X]在L1范数下成立,当n→∞时;特别地,如果τn↓τ一致成立,当n↓∞时,且X ∈ +(Ω),则Eτn+[X]→Eτ+[X]在]L1下成立,当n → ∞时.命题0.8.条件期望Eτ+满足:(ⅰ)如果X ∈ LG1,τ+(Ω),η,Y∈LG1,τ+(Ω)∩L0(Fτ+),其中η是有界的,则 Eτ+[ηX+Y]=η+Eτ+[X]+η-Eτ+[-X]+Y;(ⅱ)如果η ∈ LG1,τ+(Ω);Rd)∩ L0(Fτ+;Rd),X ∈ LG1,τ+(Ω;Rn),φ ∈ 则Eτ+[φ(η,X)]=Eτ+[φ(p,X)]p=η·作为应用,我们给出如下的G-布朗运动的反射原理.定理0.9.令τ为可选时.则Bt:=2Bt^τ—Bt=Bt^τ—(Bt-Bτ)I{tτ},t≥0,仍是一个G-布朗运动.基于所构造的条件期望E+概念,我们得到G-随机微分方程的强马氏性如下.定理 0.10.令(Xtx)t≥0为G-随机微分方程的解.τ为一可选时.则对任意φ ∈Cb.Lip(Rm×n)和0≤t1≤…≤tm=T'∞,我们有Eτ+[φ(Xτ+t1x,…,Xτ+tmx)]=E[φ(Xt1y,…Xtmy)]y=Xτx.(0.0.10)在上述定理中取n= x=0,6=hij=0,σ:=(σ1,…,σd=Id×d,我们可以立刻得到下面的G-布朗运动的强马氏性,其说明从一个可选时重新开始的G-布朗运动仍是一个G-布朗运动.推论0.11.对每个φ∈ 0≤t1 ≤…≤tm+∞,m ∈N,有Eτ+[φ(Bτ+t1-Bτ,…,Bτ+tm-Bτ)]=E[φ(Bτ+t1-Bτ,…,Bτ+tm-Bτ)]=E[φ(Bt1,…,Btm)].最后我们给出一个应用..令(Bt)t≥0为一个一维G-布朗运动且满足σ2=—E[-B12]0(非退化性).给定常数a ∈ E,对每个ω∈Ω 定义水平集Lω(a):={t0:Bt(ω)=a}.(0.0.11)利用G-布朗运动的强马氏性,我们可以得到下述定理.定理0.12.对q.s.ω ∈ Ω水平集Lω(a)在[0,∞)上没有孤立点.3.非线性期望下半鞅的首出时问题我们将研究在一个一般的非线性期望框架下非线性半鞅首出时的拟连续性问题.对ω ∈Ω和,t≥0,令Bt(ω):=ωt为典则过程,Ft:=σ{Bs:s≤t 为的自然域流.我们记F:=(Ft)t≥0.令P为(Ω B(Ω))上的一族概率测度.设L(Ω):={X ∈ B(Ω):对每个P ∈ EP[X]存在}.我们定义相应的上期望为E[X]:= sup EP[X],对 X ∈L(Ω).(0.0.12)P∈P对这个P,我们定义相应的上容度为c(A):= sup P(A),A ∈B(Ω).p∈P定义 0.13.一个F-适应过程Y=(Yt)t≥0称为P-鞅(P-上鞅,P-下鞅,P-半鞅)如果它在每个P ∈ P下是鞅(上鞅,下鞅,半鞅).给定一个弱紧概率族P,令Y为d-维连续P-半鞅.假设在每个P∈P下,我们有分解Yt=MtP+AtP.其中MtP是一个d-维连续局部鞅,AtP是一个d-维有限差过程.我们也记YP=MP为下的二次变差过程.每个集合D I(?)Rd,我们定义Y从D首出时为τD(ω):inf{t ≥ 0:Yt(ω))Dc,对ω∈Ω.定义0.14.一个开集合O称为在x ∈(?)O足外球条件,如果存在中心为z半径为r为的开球U(z,r)使得U(z,r)Oc且x∈(?)U(z,r).开集O称为满足外球条件如果果在每个边界点x ∈(?)O满足外球条件.给定Q为Rd中的一个开集.我们记Ωω={ω'∈Ω:ωt'=ωt在[0,τQ(ω)上],对ω∈Ω.(0.0.13)在本节,我们将主要处理在边界处满足一种局部增长条件的半鞅Y.(H)对每个P∈个P,存在一个P-个零集N使得,如果ω ∈Nc满足τ Q(ω)∞,则存在某个停时σω和常数λω,εω0使得(ⅰ)σω(ω')0,对所有ω'∈Nc ∩Ωω;(ⅱ)对ω' ∈Nc∩ Ωω,在区间[0,σω(ω')^(τQ(ω')-τQ(ω'))]上,成立dMPτQ(ω)+t(ω')≥λωtr[dMPτQ(ω)+t(ω')]Id× d,tr[d(MPτQ(ω)+t(ω')]≥εω|dAPτQ(ω)+t,和tr[dMPτQ(ω)+t(ω')]0.这里三个量σω,λω和εω可以依赖于P,ω但是假设对所有ω' ∈ Nc∩Ωω是一致的.下面的定理建立了非线性半鞅首出时的拟连续性.定理0.15.令开集Q满足外球条件.假设Y为拟连续的且满足局部增长条件(H).则对任意δ0,存在开集O(?)Ω使得c(O)≤ δ且在Oc上,我们有:(ⅰ)τQ为下半连续,τQ为上半连续;(ⅱ)τQ=τQ.一般来说,我们可以用下面的截断操作来得到拟连续性.推论0.16.令Y,Q由上述定理给出.(ⅰ)如果X是一个拟连续随机变量,则τQ^X和ττQ^X都是拟连续的.(ⅱ)如果X∈X ∈LC1(Ω),则τQ ^X和τQ^X都属于LC1(Ω).之后我们给出了过程拟连续性的刻画定理和停止过程的一些相关性质.定理0.17.令X:Ω ×[0,∞)→ R为一个过程.(ⅰ)x在Ω ×[0,T]上有拟连续版本当且仅当我们能找到序列X∈ C(Ω×[0,T])使得,对任意ε0,c({ sup |Xtn-Xt|ε})ε}→ 0,当 n→∞时.(0.0.14)0tT另外,我们可以选取这个版本为关于t ∈[0,T]连续的.(ⅱ)X在Ω ×[0,∞)上有拟连续版本当且仅当对每个T0,存在序列Xn∈C(Ω ×[0,T])使得(0.0.14)成立.而且,这个版本也能被选为关于t ∈[0,∞)连续.下面两个结果关注过程停止的拟连续性.命题0.18.令X是一个过程.随机变量Xτ是拟连续的如果下面任一个条件成立.(ⅰ)X在Ω ×[O,T]上拟连续且τ≤T为拟连续停时.(ⅱ)X为Ω ×[O,∞)上的拟连续过程且τ:Ω → R+是一个拟连续停时.命题0.19.令X是一个过程.我们有(ⅰ)过程(XT^t)∈0,T]在Ω ×[0,T]上是拟连续的,如果X是拟连续的且τ是一个拟连续停时.(ii)过程(Xτ^t在Ω ×[0,在Ω ×∞)上是拟连续的,如果X是拟连续的且τ是一个拟连续停时.之前的刻画定理包含G-期望空间中下面三个典型过程命题0.20.我们有:(ⅰ)G-鞅M在Ω ×[0,∞)上有拟连续版本.(ⅱ)如果η∈ MF1(0,T)(或者nT0 MG1(0,T),则过程At:=∫0tds在 Ω ×[0,T](或在Ω ×[0,∞))上有拟连续版本.(iii)如果η∈ NG1(0,T)(或者nT0MG1(0,T)),则过程 A:=∫0tηsdBi,Bjs 在Ω ×[0,T](或在Ω ×[0,∞))上有拟连续版本.基于上述命题和G-鞅的可选抽样定理,在拟连续停时停止的G-鞅仍然是一个G-鞅.推论0.21.令τ是一个拟连续停时.如果(Mt)t≥0是一个G-鞅(或对称G-鞅),则(Mt^τ)t≥0仍然是一个G-鞅(或对称G-鞅).我们也有随机积分停止的一个正规性定理.命题0.22.令τ≤T为一个拟连续停时.则对每个p≥1,我们有I[0,τ]∈ MFp(0,T).(0.0.15)4.G 布朗运动驱动的均值反射倒向随机微分方程我们考虑如下类型的G-布朗运动驱动的均值反射倒向随机微分方程,即Y损失函数的G-期望必须满足一个运行约束:我们的目标是找到一个满足方程(0.0.16)的四元组.均值反射G-倒向随机微分方程的参数是终端条件ξ,生成元(或驱动)f,gij以及损失函数l.注意到,对于随机的R,均值反射倒向随机微分方程可能有无数组水平解.因此我们将研究均值反射G-倒向随机微分方程的所谓确定解.我们记AD为SG1(0,T)中满足R=0的非降确定过程R组成的闭子集.定义0.23.对α1,过程四元组(Y,Z,K,R)∈(?)Gα ×AD称为均值反射G-倒向随机微分方程(0.0.16)的确定解如果(0.0.16)成立.一个解称为水平的,如果另外R仅在必要时上升,即∫0TE[l(t,Yt)]dRt=0.(0.0.17)在之后,我们将基于下面的标准运行假设去研究方程(0.0.16)水平解的存在唯一性:(Hξ)存在一个常数β1使得ξ属于属于LGβ(Ω)E[l(T,ξ)]≥ 0.(Hl)运行损失函数l:Ωτ ×[0,T]R → R足下面的性质::1.(t,y)→l(t,y)为一致连续,关于于ω致,2.(?)t∈[0,T],y→l(t,y)为严格上升,,3.(?)t∈[0,T],(?)y ∈R,l(t,y)属)属于LG1(ΩT)且E[liml(t,y)]0,4.(?)t∈[0,T],(?)∈R,|l(t,y)| ≤(1+ |y|),对某个 C ≥ 0.我们主要研究下面两种形式的驱动:(Ⅰ)为确定线性依赖于y,且gij,与y无关,(Ⅱ)和gif均与z与无关无.为简单,我们将总是假设gij =0,而类似结果仍然对一般情形成立.情形Ⅰ中是驱动f具有下面结构的情形:(?)其中at是确定有界Borel可测函数.假设生成元f满足下面的设定:(Hf')驱动f:[0,T]×ΩT×Rd →R满足下面的性质:1.存在一个常数β1,使得对每个z,f(·,z)属于MGβ(0,T),2.存在某常数λ0使得,对每个t∈[0,T]和z1,z2 ∈ Rd,|f(t,z1)-f(t,z2)|≤ λ|z1-z2|.为了构造均值反射G-倒向随机微分方程的一个解,我们需要定义算子Lt:LG(ΩT)→[0,∞),t ∈[0,T],如下Lt:X→ inf{x≥ 0:E[l(t,x+X)]≥ 0}.命题0.24.我们有(ⅰ)对每个(t,x)∈[0,T]×R,l(t,x+X)∈LG1(ΩT),(ⅱ)映射x→l(t,x+X)在范数‖·‖LG1下连续,特别地,x→E[l(t,x+X)]是连续的,另外x→E[l(t,x +X)为严格增,(ⅲ)映射t→l(t,Et[X]+∫0tηudu在范数‖·‖LG1下连续,特别地,t→El(t,Et[X]+∫0tηudu+是连续的.基于上述命题,我们有下面的存在唯一性定理.定理0.25.假设(Hξ)-(Hf')-(Hl)成立.则对每个1αβ,均值反射G-倒向随机微分方程(0.0,18)有唯一的确定水平解(Y,Z,K,R)∈(?)Gα×AD.我们也有下述确定水平解的最小性.命题0.26.假设(Hξ)-(Hf')(Hl)成立.则确定水平解(Y,Z,K)是最小的,即解的Y-分量是均值反射G-倒向随机微分方程(0.0.18)所有确定解中最小的.情形Ⅱ中的驱动f不依赖于z,即(?)其中生成元f满足下面的假设:(Hf")驱动f:[0,T]×ΩT×R →具有下面的性质:1.对每个y,f(·,y)属于MGβ(0,T)其中常数β1.2.存在常数λ0使得,对所有t ∈[0,T],|f,t,y1)-f(t,y2)|≤λ|y1-y2|,(?)y1,y2∈R基于压缩论证.我们有定理0.27.假设((Hξ)-(Hf"))-Hl)-(Hl')成立立则对每个1αβ,均值反射G-向随机微分方程(0.0.19)在在[,,T上有唯一的确定水平解(Y,Z,K,R)∈(?)Gα×AD我们也把均值反射G-倒向随机微分方程的结果延拓到非线性期望反射情形下,即(?)这里E是一个由G-期望E控制的非线性期望.即E[X]-E[Y]≤E[X-Y,(?)X,Y ∈ LQ1(ΩT).(0.0.21)通过对之前论证的修正,我们有下面的均值反射G-BSDE的适定性.定理0.28.假设情形Ⅰ中的(Hξ)-(Hf')-(Hl)成立或情形形Ⅱ中的(H()-)-(Hf")-(Hl)-(Hl')成立.另外,假设设E[l(T,ξ]≥ lim E[l(t,x]]0.则在两个情形下对任意1αβ,具有非线性期望反射的G-倒向随机微分方程(0.0.20)有唯一解((Y,Z,K,R)∈(?)Gα×AD。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:F224

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