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《山东大学》 2019年
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图的染色标号问题及超图中的彩色匹配

李瞳  
【摘要】:图的染色理论和极值图论一直是图论研究领域中的重要分支,在组合最优化、计算机科学以及模式匹配等方面有着广泛的应用,因此长久以来备受关注。本文旨在讨论图的染色问题、标号问题以及超图中关于匹配的彩虹Turan问题。在本文中,除特殊声明外,我们所提到的图均为无向、有限、非空的简单图。给定一个图G,我们分别用V(G)、E(G)、△((G)、δ(G)和mad(G)(或简便起见,用V、E、△、δ和mad)来表示图的点集、边集、最大度、最小度和最大平均度。首先,我们研究了图的邻积可区别全染色问题。给定一个图G=(V,E),图G的一个正常[k]-全染色c是指图G的一个正常全染色c:V ∪ E{1,2,...,kk}。我们用p(v)表示所有与点v相关联的边的颜色及点v本身颜色的乘积,即p(v)=c(v)Пuv∈E(G)C(uv)。若对于图G中任意一条边uv,均有p(v)≠p(u)成立,则我们称染色c以乘积区分相邻点,并且称c为图G的一个邻积可区别全染色。使得图G存在一个邻积可区别全染色的最小整数kk,我们称之为邻积可区别全色数,记作x"П(G)。关于邻积可区别全染色,我们猜想对于包含至少两个点的连通图G,其邻积可区别全色数至多是△(G)+3。在第二章,我们证明了对于最大度至少为10的平面图,其邻积可区别全色数至多为max{△((G)+2,13};对于最大平均度小于3的图,其邻积可区别全色数至多为max{△({+2,7}。图的标号问题是一类特殊的图染色问题。在本文中,我们主要研究了图的反魔幻标号问题。图G的反魔幻标号是指从图G的边集E(GE到集合{1,2,...,|E(G)|}的一个双射,使得图中任意两个点的点和均不同,其中,点和是指该点的邻边标号之和。如果图G存在一个这样的反魔幻标号,那么我们就称图G是反魔幻的。1990年,Hartsfield和Ringel提出了这样一个猜想:除K2外所有的连通图均是反魔幻的。目前,该猜想仅被证明对于正则图、稠密图及部分特殊图类成立,即使是对于树,该猜想仍未被证实。受这一猜想的影响,Hefetz,Muutze和Schwartz等人在2010年开始研究有向图的反魔幻标号问题。有向图D的一个标号是指从D的边集A(D)(统一起见,我们将有向图中的弧仍称为是边)到集合{1,...,|A(D)|}的一个双射。如果D的标号可以使得图中任意两点的点和均不同,则称该标号是反魔幻的,其中,点和是指该点的入边标号之和减去该点的出边标号之和。若图G的一个定向DD有一个反魔幻标号,则称图G存在一个反魔幻定向。Hefetz等人提出猜想:任意连通图均存在反魔幻定向。目前,该猜想已被证明对于奇正则图、双正则二部图、稠密图及部分特殊图类是成立的。在第三章,我们证明了该猜想对于偶正则图是成立的。给出一个n个点的kk-一致超图H,如果H没有大小为s+1的匹配,那么H中最多可以存在多少条边?这是Erdos在1965年提出的一个极值组合领域的重要问题。一般情况下,我们用exk(n,s)表示顶点个数为n且不含大小为s+1的匹配的kk-一致超图所能具有的最大边数。Erdos猜想该问题有两个极图结构:第一个是由k(+1)-1个点的团和n-k(-+1)+1个孤立点构成的超图;第二个是所有边均和一个固定的s个点的集合有交的超图,由此猜想exk(n,s)=max{(k(s+1)—1),-1),(n k)-(n-s k)}。那么,如果该超图H是正常染色的且H没有大小为s+1的彩色匹配,那么H中最多可以存在多少条边?显然,这一问题是上述Erdos所提问题的推广(Erdos所提问题对应于该问题中H是彩虹图的特殊情况)。我们用ex*k(n,S)表示顶点个数为n且不含大小为s+1的彩色匹配的正常染色k-一致超图所能具有的最大边数。我们猜想ex*k(n,s)= max{(k(s+1)-1k),(n k)-(n-s k)}。在第四章,我们证明了当n ≥ 7.6s时,该猜想对于3-一致超图是成立的。更进一步地,假设H= {H1,H2,...,Hs+1}是一族顶点集均为[n]的k-一致超图,如果我们可以从每个超图中各取出一条边,构成一个大小为s+1的匹配,那么每个超图的边数至少是多少?Aharoni和Howard考虑了这一问题并猜想边数应至少为max(k(s+1)-1 k),(n k)-(n-s k)}+1。我们同样推广了这一猜想,考虑了正常染色的s+1个一致超图构成的集族H,并猜想当每个超图的边数至少为max{(k(s+1)-1 k),(n k)-(n-s k)}+1时,我们可以找到H的一个大小为s+1的彩色匹配,此处的彩色匹配意味着每条边均是从不同超图中取出的点不交的边且颜色两两均不同。在第四章,我们证明了当n≥3k2S时该猜想成立。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O157.5

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