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《山东大学》 2019年
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分数阶偏微分方程的谱方法及其应用

张慧  
【摘要】:近几十年来,分数阶微积分理论作为一种新颖的数学工具,被广泛的应用于物理、化学、生物、金融、工程等诸多领域,分数阶模型对复杂环境中所涉及的记忆性、遗传性、非局部性、路径依赖性提供更为深刻全面的阐释。但是分数阶算子的复杂性和非局部性给分数阶模型的求解带来了诸多的困难,利用数值方法对分数阶模型进行求解日趋成熟。已经有很多学者对分数阶模型的数值求解进行了研究。谱方法作为一种求解偏微分方程的数值方法,具有高效高精度的特点,但由于谱方法对基函数和初边值条件的要求的特殊性,目前用谱方法解决分数阶偏微分方程的研究还相对较少。此外,整数阶模型的参数估计问题研究已经相对成熟,但分数阶模型还缺乏相对可行的参数估计的方法。本文主要研究几类分数阶偏微分方程的谱方法和参数估计问题以及相关的应用。本文中针对一维时间-空间分数阶Fokker-Planc.k方程,我们提出了时空谱方法进行求解,并给出了稳定性和收敛性分析,此外,我们用Levenberg-Marquardt(L-M)方法对方程进行参数估计研究。其次,对于二维Riesz空间分布阶对流扩散方程,我们提出了精度高于中点公式的高斯求积公式,利用该公式对空间分布导数进行离散,通过Crank-Nicolson交替方向Legendre谱方法得到其数值解,并证明了半离散格式和全离散格式的稳定性和收敛性。第三,我们研究了一维非线性耦合的空间分数阶薛定愕方程,利用Legendre谱方法得到数值解,给出相关的理论分析,并在正问题数值解的基础上,率先采用贝叶斯方法对方程中的相关参数进行了估计。第四,对于一维时间分数阶Boussinesq方程,我们给出了Fourier谱方法进行逼近,证明了数值方法的稳定性和收敛性。第五,对于高维的非线性偏微分方程,在理论分析中会出现时间步长的限制条件,针对这个问题,我们研究了二维的非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的谱方法,基于误差分裂方法得到了无时间步长限制条件的误差估计,并提出了一种新的快速计算方法来降低存储空间和计算时间,利用修正方法来处理方程不光滑解的情形。最后,我们发展了二维非线性空间分数阶反应扩散方程的稳定的二阶半隐Fourier谱方法。采用时间-空间误差分裂技术,得到了数值格式的最优误差估计。并对该半隐方法的线性稳定性进行了分析,得到了一个选择时间步长的实用准则。具体地:第一章,我们首先简要介绍分数阶微积分的产生及发展历程,并给出本文中用到的几种分数阶导数的定义形式。然后,简单的概述本文的主要研究内容。第二章,针对一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程,我们提出一种时空谱方法。在时间上,利用Jacobi多项式进行离散,在空间上,利用Legendre多项式进行逼近。证明了数值格式的稳定性和收敛性,并给出了详细的数值实现过程。此外,我们利用L-M方法对方程中的时间分数阶导数阶数α和空间分数阶导数阶数2β进行了估计。数值算例给出了数值格式在时间和空间上不同范数下的误差和收敛阶,数值解与解析解的图像吻合的非常好,这说明我们给出的时空谱方法对于求解一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程是有效的。为了验证L-M方法的有效性,我们给出了无噪数据和有限水平的噪音数据,讨论了各个初始参数值的选取对估计结果的影响,发现了不同的初始参数值对于估计的结果影响很小,而随着噪音数据水平的提高,估计结果会有微小误差,表明L-M方法对方程的参数估计是可行的。第三章,我们研究了二维Riesz空间分布阶对流扩散方程。提出了比中点公式精度更高的高斯求积公式,利用该公式对空间分布导数进行离散,则方程可以转化为多项的空间分数阶方程。通过Crank-Nicolson交替方向Legendre谱方法得到方程的数值解,在时间方向上利用Cank-Nicolson差分方法进行离散,空间方向上采用Legendre谱方法离散,并证明了半离散格式和全离散格式的稳定性和收敛性,最后我们给出两个数值算例,第一个数值算例呈现了数值格式的收敛阶,以及数值解与解析解的图像,说明了数值方法的有效性,并且比较了高斯求积公式和中点公式的精度和收敛阶来论证高斯求积公式的精度是优于中点公式的。第二个数值算例是基于相关的研究背景给出,我们主要讨论了相关系数对方程解的影响,以及Riesz空间分布阶对流扩散方程和Riesz空间分数阶对流扩散方程之间的区别和联系。第四章,我们发展了一维非线性耦合的空间分数阶薛定谔方程的谱方法,给出了数值实施过程,利用Crank-Nicolson差分方法来离散时间,通过Legendre谱方法对空间进行逼近,证明了质量守恒和能量守恒定律以及数值格式的收敛性。在数值解的基础上,我们率先采用了贝叶斯方法对方程的空间分数阶导数阶数α,非线性项的系数ρ和β进行了估计。最后给出了三个数值算例,第一个数值算例给出了数值格式的收敛阶,并说明了初始参数值的变化对估计结果没有太大的影响,随着最大迭代次数的增加,估计结果的精度会变得越来越好,从而验证了数值方法和贝叶斯方法的有效性。第二个数值算例给出了非线性耦合的空间分数阶薛定谔方程解的相关性质,讨论了该模型的应用。第三个数值算例通过给方程加入源项,进一步论证了数值格式的可行性。第五章,我们考虑了具有周期边界条件的一维时间分数阶Boussinesq方程,此模型通常用来描述水平尺度远大于水深的地表水波。时间方向上采用了L2方法进行离散,空间方向上给出Fourier谱方法进行数值求解,并证明了数值格式的稳定性和收敛性。最后给出两个数值算例来验证理论分析,第一个数值算例给出了数值格式的误差、收敛阶和CPU时间,模型数值解与解析解的图像也是很吻合的,验证了所提出的谱方法的有效性。第二个数值算例呈现出相关的模型解的性质,并分析了方程中参数对解的影响,以上结果表明我们所提出的数值方法对所研究的方程是行之有效的。第六章,对于高维的非线性偏微分方程,由于非线性项的存在,理论分析会出现依赖于空间网格的时间步长的限制条件,我们研究了二维的非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的谱方法,假设方程的初始条件为0(当不为0时,可以通过变换使其变为0),方程的Caput.o分数阶导数就等价于Riemann-Liouville分数阶导数,我们利用加权移位Griinwald-Let.nikov差分方法离散时间分数阶导数,此种方法可以将时间方向上的收敛阶提高到二阶,空间方向考虑利用Legendre谱方法,并且处理了非齐次的边界条件。对于高维方程以及长时间计算问题,我们在数值实施过程中提出了一种新颖的快速计算方法来降低存储空间和计算时间。此外,我们基于误差分裂方法得到了无时间步长限制条件的误差估计,在理论分析方面有了突破。考虑到时间分数阶偏微分方程在t=0处常常伴有奇性,并且解在此处的正则性较差,我们通过修正方法来处理这种情形。最后呈现了三个数值算例,第一个和第二个数值算例分别带有齐次和非齐次边界条件,解都是光滑的,我们给出了数值格式的收敛阶和误差,并展示了快速计算方法和直接计算方法在计算时间上的差异以及两种方法最后求得数值解之间的误差,结果验证了数值方法和快速计算方法的有效性。第三个数值算例,解是不光滑的,呈现了不同个数的修正项的精度和收敛阶,证明了修正方法的可行性。第七章,我们研究了分数阶拉普拉斯算子描述的二维非线性空间分数阶反应扩散方程的稳定的二阶半隐Fourier谱方法。时间方向上利用半隐的二阶差分格式,并加上稳定项来提高稳定性,空间方向上采用Fourier谱方法。通过时间-空间误差分裂技术,在不施加步长限制条件的情况下,得到了数值格式的最优误差估计。并对该半隐方法的线性稳定性进行了分析,得到了一个选择时间步长的实用准则,以保证半隐方法在实际应用中的稳定性。我们的方法是通过解决几个实际感兴趣的问题来说明的,包括分数阶Allen-Cahn、Gray-Scott模型和FitzHugh-NNagumo模型。最后呈现了三个数值算例,第一个数值算例给出了数值格式的误差和收敛阶,验证了所提出的谱方法的有效性。第二个和第三个数值算例分别考虑了空间分数阶Gray-Scott模型和空间分数阶FitzHugh-Nagumo模型,给出了相关的解的相关性质,讨论了该模型的应用。第八章,我们给出本文的总结和未来可能的研究方向。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O241.82

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