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《山东大学》 2019年
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尖形式傅立叶系数的变号问题

何晓光  
【摘要】:Dirichlet定理表明,算术级数向{kq+l:K∈N(q,l)= 1]中有无穷多个素数.一个很自然的问题是,在此算术级数中最小的素数有多大,我们令P(q,l)为此算术级数中最小的素数.Linnik[29,30]首先证明了存在一个绝对常数L0满足P(q,l)(?)qL,这里这个常数L称为Linnik常数,且此问题称为Linnik问题.随后,很多人对此常数L算出了具体数值.在数论中,有很多问题类似于Linnik问题,我们将其称之为Linnik型问题.在本文中,我们将研究一些Linnik型问题.令q ≥ 2是一个整数,χ是一个模q的Dirichlet非主特征.定义nx为满足X(n)≠0,1的最小正整数,关于nx的上界估计,我们可以看成一个Linnik型问题.当χ的取值为对应的Legendre符号时,我们称nX是一个最小的二次非剩余.最小二次非剩余的研究有接近一个世纪的时间,参考[4,37,39,56].我们把特征当成是GL(1)上的课题,然后可以考虑GL(2)(甚至GL(n))上类似的问题,作为Linnik问题的推广.这里,我们可以提出三个关于变号的问题:·对于n≥ 2,GL(n)上的自守L-函数的系数,它的首次变号问题;·对于n ≥ 2,GL(n)上的自守L-函数的系数在长区间[1,x]上有多少符号变号;·对于n≥2,GL(n)上的自守L-函数的系数在短区间(Ux+x]上的变号问题,或者对一些特殊序列的变号问题.目前,关于上述变号问题己有丰富的研究历史,参考[23,24,34,38,40,41,51,52,57,58].在本文中,我们考虑如下三个问题,并得到一些新结果.第一,我们考虑一般的尖形式的傅里叶系数的第一变号问题,参考定理0.1,这个问题首先是由Choie和Kohnen研究[6].第二,我们考虑GL(2)上本原尖形式的傅里叶系数在稀疏序列上的短区间的变号问题,参考定理0.2.第三,我们考虑GL(2)上两个不同本原尖形式的傅里叶系数在短区间的同时变号问题,参考定理0.3.令Sk(N)(或snewk(N))表示在Hecke同余子群ГO(N)e SL2(Z)上权为偶数灸≥2的尖形式(或本原尖形式)空间.定义αF(n)(或λ∫(n))是F ∈Sk(N)(或f∈ Snewk(N))的第n个正规化的傅里叶系数,假设αF(n)和λ∫(n)都是实的.我们有下面的第一个主要定理.定理0.1 设N是一个无平方因子的正整数,F ∈Sk(N)是一个正规化的非零尖形式.F的第n个傅里叶系数为αF(n).对任意的ε0,存在n1,n2满足n1,n2(?)(kN)2+ε(0.1)并有aF(n1)aF(n2)0.接下来,我们考虑f∈S ZeW(N)正规化的傅里叶系数在稀疏序列上短区区的变号问题,并得到如下定理..定理002 设N是一个无平方因子正整数,,f ∈ Snewk(N)是一个正规化化的零本原尖形式..的第n第傅里叶系数为λ∫(n).则对于任意的13/17<r<1,及分大大的χχ序列列∫(nn))(n≥ 1))在n ∈((A,x++x中至少有一个变号.特别的,序列λ∫(n2))(n ≥1)在n≤x中变号》x1-r 次.我们也可考虑对于两个不同本原尖形式,它们对应的傅里叶系数在短区区同时变号问题,具体参考如下定理.定理0.3 设N是一个无平方因子正整数,,f,∈sewk(N)是两个不同的正规化的的零本原尖形式.f(或g)的第,第n傅里叶系数为λ∫(n)(或λg(n).则对于任意的13/155<r<1,及充分大的x,序列λ∫(n)λg(n)(n≥ 1)在n ∈(x,x+xr]至少有一一变号.特别的,序列λ∫(n)λg(n)(n(n≥1]))在n≤xJ中变号(?)x1-r次.
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O173

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