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《山东大学》 2019年
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延迟系统随机控制问题及控制受限的鲁棒效用最大化问题

王媛  
【摘要】:在本篇论文中,我们主要研究了延迟系统中的随机控制问题,首先研究了一类延迟系统的近似最优控制问题,其次研究了延迟系统中不定线性二次随机控制问题及相关正倒向随机微分方程.另外,基于随机最大值原理,我们还研究了一类控制受限的鲁棒效用最大化问题.现实中有许多现象对过去具有依赖性,即时刻t的表现不仅仅依赖于时刻t的状态,还与过去的历史状态相关,例如许多通信系统中出现的通信延迟.同时,近似最优控制作为“精确”最优控制的一种替代,由于其结构优良,适用范围广,可行性强,灵活性强等特点,近年来受到了广泛的关注.一方面,在许多情况下,最优控制可能并不存在,而近似最优控制则总是存在,也更容易被找到.另一方面,由于可以找到许多近似最优控制,因此能够从中选择最合适的候选者,以简化问题的分析.此外,在金融数学和数理经济学中,效用最大化问题是一类被广泛研究的最优决策问题,投资者需要考虑如何构建投资策略,来最大化效用.因此,研究具有时间延迟的控制问题及鲁棒效用最大化问题具有重要意义,尤其是在金融数学方面有很大的应用价值.下面,我们给出本文的主要内容和结构框架.在第一章中,我们介绍了本文所研究问题的背景知识,研究动机及研究方法,并阐述了每章工作的主要贡献.在第二章中,我们研究了一类延迟系统近似最优控制问题,问题的状态过程由带延迟的随机微分方程来描述.借助Ekeland's变分原理,我们对系统的状态过程和伴随过程进行了几个精巧的估计,以此为基础,建立了这个问题近似最优解所满足的必要条件和充分条件.并且,我们还突破性地将近似最优解的误差缩小到ε1/2阶.此外,我们还考虑了一个带延迟的生产和消费选择问题,来详细阐述我们得到的理论结果在实际经济问题中的应用.在第三章中,我们研究了一类具有时间延迟的不定随机线性二次最优控制问题,其中被控系统由一个具有时间延迟的随机微分方程给出.通过引入放松补偿子作为一种新的方法,我们首先得到了不定情况下线性二次问题的适定性.然后,我们讨论了一类新的超前延迟正倒向随机微分方程组解的存在性和唯一性,相较于已有的此类方程的结果,我们研究的方程包含更复杂的超前项和延迟项.在此基础上,我们推导出了与延迟不定线性二次问题相关的随机哈密顿系统的可解性,并给出了此问题最优控制的开环表示.最后,我们对不定条件下的工程和经济随机控制问题进行了理论验证,并给出了两类问题最优解的显示表达.在第四章中,我们讨论了一类具有随机资助的鲁棒效用最大化问题,其中,投资策略的取值被限制在给定的RN的闭凸子集中.我们首先介绍了控制受限且带有模型不确定性的初始问题,然后将其转化为一个控制不受限的积分形式的等价问题.以此为基础,通过点点凸共轭变换我们得到了对偶问题的表示.在完成了对初始问题和对偶问题的构造之后,我们借助随机最大值原理,用正倒向随机微分方程组加上一些附加条件,给出了初始问题和对偶问题的最优解满足的充分条件和必要条件.在此基础上,我们特别证明了对偶问题的最优伴随过程与初始问题的最优财富过程是动态一致的,反之亦然.此外,我们明确地将初始问题最优控制表示为对偶问题最优伴随过程的函数,反之亦然.最后,我们解决了两个控制受限的鲁棒效用最大化问题,详细阐述了我们所提出的对偶方法的简便之处.
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:F224;F830.91

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