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《山东大学》 2019年
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平均场正倒向随机微分方程的数值解法研究

孙亚兵  
【摘要】:平均场随机微分方程(MSDEs),也被称为Mckean-Vlasov方程,在气体动力学,量子力学和量子化学等诸多领域中有着重要的应用.Buckdahn,Djehiche,Li和Peng[10]在2009年提出了一类新的倒向随机微分方程-平均场倒向随机微分方程(MBSDEs).随后,Buckdahn,Li 和 Peng[15]给出了平均场非线性 Feynaman-Kac公式,建立了平均场正倒向随机微分方程和非局部半线性偏微分方程(PDEs)之间的关系,给出了非局部半线性PDEs解的概率表示.随后.平均场正倒向随机微分方程理论逐步发展完善,并且在平均场随机最优控制,随机微分对策和非局部偏微分方程等很多领域中得到了重要的应用.通常情况下,我们很难求出MFBSDEs的解析解,因此,研究平均场正倒向随机微分方程的数值解法对MFBSDEs的理论和应用研究有重要的意义.本文主要研究平均场正向随机微分方程(MSDEs),非耦合平均场正倒向随机微分方程(MFBSDEs)和带跳的非耦合平均场正倒向随机微分方程(MFBSDEJs)的数值解法.对MSDEs,我们将Ito公式进行推广得到平均场Ito公式,利用平均场Ito公式提出了求解平均场随机微分方程的Ito-Taylor格式,并严格证明了强Ito-Taylor格式的收敛阶;对MFBSDEs,提出了求解平均场倒向随机微分方程的一般θ格式,对格式的稳定性进行了严格的理论分析,并进一步利用格式的稳定性给出了格式的误差估计;提出了求解平均场正倒向随机微分方程的预估矫正格式,对预估矫正格式的稳定性和误差估计给出了严格的理论和数值分析;结合倒向正交多项式和数值积分的近似理论,提出了求解平均场正倒向随机微分方程的多步格式,严格理论分析了格式的高阶收敛性;提出了求解带跳的平均场正倒向随机微分方程的二阶数值格式,且数值验证了格式的稳定性和收敛性.论文的主要贡献及创新(1)给出了 MSDEs的Ito公式,它是研究MSDEs数值解法的理论基础,同时也为本文MFBSDEs数值解法的理论分析提供了有力的工具.部分研究成果已发表在 Numer.Math.Theor.Meth.Appl.[81].(2)利用MSDEs的Ito公式给出了 Ito-Tayolr展开,提出了求解MSDEs的Ito-Tayolr格式,包括强γ阶Ito-Tayolr格式和弱η阶Ito-Tayolr格式;严格证明了强Ito-Tayolr格式的收敛阶;数值分析了 Ito-Tayolr格式的稳定性和收敛性.部分研究成果已发表在 Numer.Math.Theor.Meth.Appl.[81].(3)提出了一类求解MBSDEs的显式θ格式,严格理论分析了格式的稳定性,得到了格式的误差估计;误差估计和数值实验均表明该格式可以达到二阶收敛.部分研究成果已发表在SIAM J.Numer.Anal.[86].(4)提出了求解MFBSDEs的预估矫正格式;对所提格式进行了严格的稳定性分析,并进一步给出了格式的二阶收敛性;所给数值实验也表明预估矫正格式可以用来求解非局部PDEs问题.部分研究成果已完成待发表[85].(5)提出了求解MFBSDEs的多步格式,对所提格式的稳定性进行了严格的理论分析,并分析了格式的高阶收敛性:数值实验结果表明理论结果是正确的.部分研究成果已完成待发表[83].(6)提出了求解MFBSDEJs的二阶格式,数值分析了该格式的稳定性和二阶收敛性.部分研究成果已完成待发表[82].论文的框架本论文共有七章第一章引言简单介绍所研究问题的背景、动机和发展现状第二章预备知识介绍与平均场随机微分方程(包括带跳的)相关的基础知识,给出平均场正倒向随机微分方程和和带跳的平均场正倒向随机微分方程的解与相应的抛物型非局部偏微分方程解的关系,即两类不同形式的平均场Feynman-Kac公式,以及一些本论文用到的其他必备知识.第三章MSDEs的Ito-Taylor格式及其误差分析主要研究求解平均场正向随机微分方程的Ito-Tayolr格式.首先利用SDEs的Ito公式,得到MSDEs的Ito公式,利用MSDEs的Ito公式给出MSDEs的Ito-Tayolr展开公式,并提出求解MSDEs的Ito-Tayolr格式,包括强Ito-Tayolr格式和弱Ito-Tayolr格式;严格证明了强Ito-Tayolr格式的收敛阶,并用数值实验验证所提格式的稳定性和收敛性.本章内容来自· YABING SUN,JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Ito-Taylor schemes for solving mean-field stochastic differential equations.Numer.Math.Theor.Meth.Appl.,10(2017),pp.798-828.(SCI)第四章MBSDEs的一般θ格式主要研究求解平均场倒向随机微分方程的数值方法.首先,通过鞅理论,条件期望的性质和平均场Feynman-Kac公式给出求解MBSDEs的参考方程并提出θ格式;然后利用随机扰动给出格式的扰动误差方程,并对格式的稳定性进行分析,得到一般稳定性结果;利用稳定性和MSDEs的Ito-Tay olr展开公式给出所提格式的误差估计,并用数值实验加以验证.本章内容来自· YABING SUN,WEIDONG ZHAO AND TAO ZHOU,Explicit θ-scheme for solving mean-field backward stochastic differential equations,SIAM J.Nu-mer.Anal.,56(2018),pp.2672-2697.(SCI)第五章MFBSDEs的预估矫正格式主要研究求解非耦合平均场正倒向随机微分方程的预估矫正格式.首先通过构造新的布朗运动,给出求解MFBSDEs的参考方程并提出预估矫正格式;对格式的稳定性进行了严格的理论分析,得到格式的稳定性结果,并给出格式的误差估计;通过数值实验验证了格式的稳定性和二阶收敛性.本章内容来自· YABING SUN AND W-EIDONG ZHAO,A numerical method for decoupled mean-field forward-backward stochastic differential equations.Submitted.第六章MFBSDEs的多步格式主要研究求解非耦合平均场正倒向随机微分方程的多步格式.提出了求解MFBSDEs的显式多步格式,并在一定条件下得到了该格式的误差估计.本章内容来自· YABING SUN,JIE YANG,WEIDONG ZHAO AND TAo ZHOU,An Explicit multistep scheme for solving mean-field forward-backward,stochastic differ-ential equations,Finished.第七章MFBSDEJs的二阶格式主要研究求解带跳的非耦合平均场正倒向随机微分方程的数值解法.给出求解带跳的非耦合平均场正向随机微分方程(MSDEJs)的欧拉格式;利用布朗运动和泊松随机测度构造的鞅过程给出求解MBSDEJs的参考方程.并提出求解MFBSDEJs的二阶格式;通过数值实验验证了格式的稳定性和收敛性.本章内容来自· YABING SUN,JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Numerical methods for decoupled mean-field forward-backward stochastic differential equations with jumps.Finished.论文的主要结果第三章,提出求解平均场正向随机微分方程的Ito-Tayolr格式,严格证明强Ito-Tayolr格式的收敛阶,并对格式进行数值分析.考虑平均场正向随机微分方程dXt=E[b(t,Xt,μ)]|μ=xtds+ E[σ(t,Xt,μ)]|μ=Xt dWt,0≤t0t≤T,(0.1)其中,t0为初始时刻,初始条件Xt0是Ft0可测的.为得到MSDEs的Ito-Tavlor格式,首先给出下列MSDEs的Ito公式和Ito-Taylor展开公式.考虑MSDEs:dXt=b3(t,Xt)dt十σ+ Xt)dWt,t≥0,(0.2)其中b3(t,X,)=E[b(t,βt,x)]| x=xt,σ3(t,Xt)=E[σ(t,βt,x)]|x=Xt,(0.3)这里dβt=ψtdt+ψtdWt,(0.4)其中ψt和ωt的为循序可测的随机过程.并且满足:∫0T|ψt|dt+∞,∫0T|ψs|2dt+∞.定义f3(t,x)=E[f(t,βt,x)],(0.5)其中,f:[0,∞)×Rd→R利用Ito公式,可得下列平均场Ito公式.定理0.1(平均场Ito公式).设Xt和βt爲分别为(0.2)和(0.4)定义的d维Ito过程,函数f(t,x',x)∈C 1,2,2([0,∞)×Rd×Rd),则f3(t,=Xt)也是 Ito 过程,且我们有f3(t,Xt)=f3(0,X0)+∫0t L0f3(s,Xs)ds +∑j=1 m ∫0t Lj f3(s,Xs)dWs,(0.6)其中,算子L0和Lj定义如下(?)上式中(?)其中,(?)xf=((?)f/(?)x1,…,(?)f/(?)xd)是d维行向量,fxx=((?)2f/(?)xi(?)xj)d×d维的矩阵,(?)x1f和fx1x1定义类似,Tr(A)表示矩阵A的迹.对f3(t,Xt)不断应用平均场Ito公式(0.6),可得平均场Ito-Taylor展开.定理0.2(平均场Ito-Taylor展开).假设停时ρ和τ满足t0≤ρ(ω)≤τ(ω)≤T,则对函数f:R+×Rd×Rd→R,我们有如下场均Ito-Taylor展开公式f3(τ,Xτ)=∑α∈AIα[fαβ(ρ,Xρ)ρ,τ+∑α∈(A)Iα[fαβ(·,X.)]ρ,τ,(0.8)其中,A(?)M为任给的等级集,且假定上式中出现的所有关于fβ,bβ和σ3的导数以及多重Ito积分都存在.利用平均场Ito-Taylor展开,提出强Ito-Taylor格式和弱Ito-Taylor格式.格式0.1(强γ阶Ito-Taylor格式).Xk+1=∑α∈AIα[fαXκ(tκ,Xκ)]tκ,tκ+1,k=0,1,…NT.(0.9)格式0.2(弱叼阶Ito-Taylor格式).·Xk+1=∑α∈ΓηIα[fαXκ(tκ,Xκ)]tκ,tκ+1,k=0,1,…NT.(0.10)证明强Ito-Taalor格式的收敛阶,首先给出一个判断格式收敛阶的定理.{Xt,x(s)}t≤s≤T为MSDE(0.1)从点(t,X)出发时的解.由(0.1)和((.3)知Xt,x(t+θ)= X+∫t t+∫ b Xt,x(s,Xt,x(s))ds+∫t t+θσXt,x(s,Xt,x(s))dWs,(0.11)中中0≤θ≤T-t.令Xt,x(t+h)为求解Xt,x(t+h)的数值格式的一步估计,则下列定理成立理0.3.令Xt,x(t+h)为(0.11)的解.假设Xt,x(t+h)满足条件(?)其中,t∈[t0,T-h],x∈Rd,C*是一个不依赖h,Xt.x(t+h)和Xt,x(t+h)的正常数,并且参数P1和p2满足p2≥1/2,p1≥p2+1/2,则对k=1,…,NT,我们有(E[|Xt0,X0(tk)-Xt0,X0(tk)|2])1/2≤C(1+E[|X0|2])1/2hp2-1/2,(0.13)其中,Xt0,X0(t0)=X0,Xt0,X0(tk)是求解Xt,x(t+h)的数值格式的角,即Xt0,X0(tk)=Xtk-1,Xt0,X0(tk-1)(tk).(0.14且C是不依赖于h,Xt,x(t+h)和Xt,x(t+h)的正常数.于强Ito-TTalor格式,利用定理0.3可得下列的强收敛性结果.理0.4.令x(t)和X和分别为MSDE(0.1)和强γ强阶Ito-Taylor格式(0.9)在初值X(t0)=X0时的解.假设A=Aγ=时,fXt,x(s,Xt,x(s)))=Xt,X(s)有Ito-Taylor展开(0,8).并且对任意的的α ∈Aγ∪B(Aγ)和(t,x)∈[0,T]×Rd,下式成立|fα3(t,x)|≤C(1+E[|βt|2]+|x|2)1/2,其中,β由(0.4)式定义定则我们有max κ∈{1,2…,NT}E[|Xtk-xk|2]≤C(1+E[|x0|2])(△t)2γ.格式0.1和格式0.2的数值分析结果请详见§ 3.4.第四章,提出求解平均场倒向随机微分方程的一般0格式,严格证明格式的稳定性和收敛性,并对格式进行数值分析.考虑完备概率空间(Ω,F,F,P)上的场均倒向随机微分方程:(?)其中ψ(x):Rd→Rp为确定性方程,XT0,X0为从点X0出发的随机过程Xt0,X0=X0+Wt,0≤t≤T.0.16)给出求解MBSDE(0.15)的一般显式θ格式如下:格式0.3.给定终端条件YN,X0和ZN,X0对n=N-1,…,0,通过下列方程组求解(?)其中fn,x0,X0=E[f(tn,Yn,x0,Zn,x0,y,z)]|y=Yn,x0,z=n,X0,并且|θ4|≤θ3.假设εf和(εvN,X0,εzN,X0)为生成元f和终端条件(YN,X0,ZN,X0)的随机扰动误差,并且记YεnX0,Yεn,X0和Zεn,X0为带有上述扰动的θ格式0.3的解.定义格式的扰动误差:εyn,X0=Yεn,X0-Yεn,X0,εzn,X0=Zεn,X0,-Zn,X0,εyn,X0=Yεn,X0-Yn,X0,关于求解MBSDEs的θ格式0.3,在初值X0=x0时有如下稳定性结果.定理 0.5.若f(t,y',z',y,z')关于(y',z',y,z)一致Lipschitz 连续,Lipschitz 常数为L,且c0为时间剖分T的正则性参数,则对充分小的时间步长△t和所有的n=N-1,…,0,有不等式(?)其中,C是依赖于c0,L,T,θ3和θ4的正常数.基于定理0.5,可得格式0.3在一般情况下的稳定性结果.定理0.6.在定理0.5条件下,对充分小时间步长△t和所有n=N-1,…,0,有(?)其中,C是依赖于c0,L,T,θ3和θ4的正常数.利用上述稳定性结果,格式0.3有如下误差估计.定理 0.7.用(Yt 0,X0,Zt 0,X0),t ∈[0,T]和(Yn,X0,Zn,X0),n=0,1,…,N,分别表示MBSDE(0.15)的真解和由格式0.3得到的数值解..则对参数θ1,θ2∈[0,1],θ3∈(0,1],θ4 ∈(-1,1],|θ4|θ3和充分小的时间步长△t,我们有下列结论:1.若f∈Cb1,3,3,3,3,ψ∈Cb3+n,α∈(0,1),则(?)2.若f∈Cb2,5,5.5,5,ψ∈cb5+α,α∈(0,1),则(?)其中,c是依赖于co,x0,X0,L,T,f和ψ的导数上界以及参数{θi}i4=1的正常数.定理0.7表明格式0.3可以达到二阶收敛.格式0.3的数值分析请详见§ 4.4.第五章,提出求解非耦合平均场正倒向随机微分方程的预估矫正格式,严格证明格式的稳定性和二阶收敛性,并对格式进行数值分析.考虑完备概率空间(Ω,F,F,P)上的非耦合平均场正倒向随机微分方程:(?)其中,终端条件ζ=E[φ(XT0,x0,μ)]μ=XT0,x0.首先给出三个求解MSDEs的特殊Ito-Taylor格式· Euler格式:Xn+1X0=XnX0+bXnx0(tn,XnX0)△tn+σXnx0(tn,XnX0)△Wn.· Milstein格式:(?)·弱二阶Taylor格式:(?)其中,△Zn=△WnAtn-∫tn tn+1∫tn s dzdWs.为提出求解MFBSDEs的预估矫正格式,我们定义新的布朗运动:△Wtn,s = 2△Wtn,s-3/△tn ∫tn s(r-tn)dWr.(0.26)提出如下求解MFBSDEs的预估矫正格式.格式0.4.Step 1.令X0 x0,利用Ito-Taylor格式求解(0.22)中MSDEs,得到{xn xn,n=0.1,…,N}:Step 2.给定初值X0,终端条件YN X0和ZnX0,对n=N-1,…,0,通过下列方程组求解YnX0=Yn(XnX0)和ZnX0=Zn(XnX0)(?)其中,Xn1+X0为由Ito-Taylor格式得到的数值解,Θnx=(Xnx,Ynx,Znx),且fnx0,X0=E[f(tn,Θnx0,x)]|x=ΘnX0令εf和(εyNX0,εzNX0)分别为生成子f和终端条件(YNX0,ZNX0)的随机扰动,记Yn,εX0,Yn,εX0和Zn,εX0为带有扰动的格式0.4的解,则定义扰动误差εyn,X0=Yn,εX0-YnX0,εzn,X0=Zn,εX0-ZnX0,εy,X0=Yn,εX0-YnX0关于格式0.4的稳定性,有如下两个定理.定理0.8.若f(t,x',y',z',x,y,z)关于(x',y',z',x',y,z)一致Lipschitz连续(Lipschitz常数为L),且c0为时间剖分T的正则性参数,则对充分小的时间步长△t和所有的n=N-1,0,有不等式(?)其中.C是依赖于c0,L和T的正常数.定理0.9.在定理0.8的条件下,对充分小时间步长△t和所有n=N-1,…,0,有(?)其中,C是依赖于c0,L和T的正常数.利用上述稳定性结果,可得格式0.4的误差估计如下.定理0.10.在一定假设条件下,对充分小时间步长At和所有n=0,…,N-1,有E[|eyn,X0|2]+△t∑i=n N-1E[|ezi,X0|2]≤C(△t2β+△t2γ+△t4),(0.32)其中,β和γ的定义见假设5.1,C是依赖于c0,T,L,K,x0,X0以及b,σ,f和φ的导数上界的正常数.格式0.4的数值分析结果请详见§ 5.4.第六章,提出求解非耦合平均场正倒向随机微分方程的多步格式,并对该格式进行理论数值分析.考虑完备概率空间(Ω,F,F,P)上的非耦合平均场正倒向随机微分方程:(?)其终端条件ζ=E[φ(XT0,x0,μ)]|μ=xt0,x0.为提出MFBSDEs的多步格式,首先定义倒向正交多项式[113].定义0.11(倒向正交多项式).称定义在[,,1上的多项式集合{Qi(s)}i=0L。为正交多项式,若对任意的i=0,1,…L,有∫01Qi(s)ds=1,∫01Qi(s)sjds=0,1≤j≤i.利用{Qi(s)}i=0L。,定义[a,b]上的倒向正交多项式集合{Pi(s)}i=0L;Pi(s)=Qi(s-a/b-a).(0.34)提出MFBSDEs的显式多步格式如下.格式0.5.Step 1.令X0=X0,利用Ito-Taylor格式求解(0.33)中MSDEs得到{Xnx0,n=0,1,…,N};Step 2.令K=max{Ky,Kf,Kz},并给定初值X0以及终端条件YN-oX0和ZN-iX0,i=0,1,…,K-1.对 n=N-K,...,1,0,通过下列方程组求解YnX0=Yn(XnX0)和ZnX0=Zn(XnX0)(?)其中,bky,in和Bky,in为拉格朗日插值多项式系数,定义如下:(?)关于该格式,有下面的稳定性和收敛性结果.定理 0.12.令(Xt,Xt,Zt),t∈[0,T]和(Xn,Yn,Zn,),n=0,1,...,N,分别为 MF-BSDE(0.33)的精确解和由格式0.5得到的数值解.若f(t,x',y',z',x,y,z)关于(x',y',z',x,y,z)一致Lipschitz连续(Lipschitz常数为L),且C0为时间剖分T的正则性参数,令(?),则对充分小的时间步长△t和所有的n=N-K,...,0,有不等式其中,C是依赖于c0,T,L,B,K,PK,和QKz(0)的正常数.定理0.13.在定理6.5的条件下,对充分小时间步长△t和所有n=N-k,...,0,有其中,C是依赖于c0,T,L,B,K,PKz和QKz(0)的正常数.定理0.14.在一定假设条件下,对充分小的步长△t和所有的n=N-k,...,0,有其中,β和γ的定义见假设5.1,C是依赖于c0,T,L,B,K,PKz(0),X0,x0,以及b,σ,f和φ的导数上界的正常数.格式0.5的数值分析结果请详见§ 6.4.第七章,提出求解带跳的非耦合平均场正倒向随机微分方程的二阶数值格式,并对该格式进行数值分析.考虑完备概率空间(Ω,F,F,P)上带跳的非耦合平均场正倒向随机微分方程:(?)其中,ζ=E[φ(XT0,x0,x)]|=x=xT0,x0,Θs0,x0=(Xs0,X0,Y80,X0,Z80,X0,Γs0,X0)为未知量.为了提出预估矫正格式,首先定义下面两个随机鞅过程:△Wtn,s=∫tnsp(r)dWr,△μtn,s=∫tns∫Ep(r)η(e)μ(de,dr)其中,p(r)=2-3/△tn(r-△tn).分别提出求解MSDEJs的欧拉格式和MFBSDEJs的二阶格式.格式0.6.给定初值x0和X0,对n= 1,2,…,N,通过下列方程求解Xnx0:(?)格式0.7.Step1:令X0 =x0,利用Euler格式0.6求解(7.1)中MSDEJ,得到Xnx0,n=0,1,…,N;Step 2:给定初值X0,终端条件YNX0,ZNX0和ΓNX0,对n=N-1,…,0,通过下列方程组求解YnX0=Yn(XnX0),ZnX0=Zn(XnX0)和ΓnX0=Γn(XnX0);(?)其中,Xn+1X.为由Euler格式0.6得到的数值解,且对x=x0或X0,Θnx=(Xnx,Ynx,Znx,Γnx).给出格式0.7中条件期望的近似,并对所提格式进行严格的数值分析,数值结果及分析请详见§ 7.2。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O211.63

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