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《山东大学》 2019年
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几类分数阶与色散偏微分方程的数值解法及分析

马颖  
【摘要】:近年来随着科技发展的日新月异,科学与工程领域中大量的实际问题都可转化为偏微分方程的定解问题,而一般情况下很难直接得到这些定解问题的解析解,因此偏微分方程数值解法的研究和发展显得尤为重要。本文主要研究几类分数阶与色散偏微分方程的数值解法及分析。首先,运用有限差分/谱方法对二维广义时间分数阶Cable方程进行全离散,并对其进行稳定性和收敛性的分析。然后,基于隐式有限差分方法得到的数值解,对广义时间分数阶Oldroyd-B流体非定常螺旋流动模型中分数阶导数的阶数、松弛时间和迟滞时间三个参数的识别问题进行研究。再次,通过Jacobi-Galerkin谱方法计算非线性空间分数阶Schrodinger方程的基态和第一激发态,并在修正能量下证明了时间离散格式的能量衰减特性,进一步推导出基本谱间隙的下界。最后,利用一致最优准确的多尺度时间积分Fourier伪谱方法,研究了亚音速极限参数区间下的Klein-Gordon-Zakharov系统。具体而言:第一章,我们首先简要介绍分数阶微积分的由来,并给出本文用到的几种分数阶微积分算子的定义和彼此之间的联系,然后简单介绍本文研究的主要内容。第二章,我们考虑二维广义时间分数阶Cable方程(?)带有边界和初始条件u(x,t)= 0,(x,t)∈(?)Ω×I,u(x,0)= u0(x),x∈Ω.我们运用有限差谱方法对二维广义时间分数阶Cable方程进行理论分析和数值计算。首先,对时间用二阶向后差分方法并对空间用基于Legendre多项式的Galerkin谱方法。其次,经过详细的理论分析,表明该格式是无条件稳定的。本方法被证明当解充分光滑时可达到时间min{2-α,2-β}阶收敛和空间谱精度收敛,其中α,β是分数阶导数的两个阶数。最后,数值结果与误差估计一致,说明了所提方法的有效性。该研究提供一种有效的数值方法,其可应用于扩散模型和粘弹性非牛顿流体流动模型。第三章,我们研究广义时间分数阶Oldrovd-B流体非定常螺旋流动模型(?)带有初边值条件v(r,0)=(?)tv(r,0)=0,w(r,0)=(?)tw(r,0)=0,arb,v(a,t)=(?)(t),v(b,t)=θ(t),w(a,t)=ψ(t),w(b,t)=φ(t),0≤t≤T.我们对无限长两同心圆柱间广义Oldroyd-B流体非定常螺旋流动模型的数值解和参数识别问题进行研究。首先,采用隐式有限差分方法得到正问题的数值解。通过Levenberg-Marquardt方法,数值反演同时识别模型的三个参数,即Riemann-Liouville时间分数阶导数α,松弛时间λ和迟滞时间λr.然后,利用不同的初始猜测下原始数据包含与不包含随机误差两种情形验证所提数值方法的有效性。该研究提供一种获得广义非牛顿流体模型未知参数估计值的有效方法。第四章,我们考虑定常非线性空间分数阶Schrodinger方程如下:求u(x)和λ∈R(Ω(?)Rd),使得(RDxα+ V(x)+ β|u(x)|2)u(x)= Au(x),x ∈Ω(?)Rd.u(x)= 0.x∈Ωc= Rd/Ω,带有归一化条件‖u‖2:= ∫Ω|u(x)|2dx=1.我们通过Jacobi-Galerkin谱方法数值研究非线性分数阶Schrodinger方程的基态和第一激发态。首先,为了有效地处理特征值问题的非线性项,我们引入一种离散归一化梯度流,运用时间方向半隐式向后Euler方法和空间方向Jacobi-Galerkin谱方法对其进行离散。然后,在修正能量下证明了时间离散格式的能量衰减特性,进一步推导出基本谱间隙的下界。最后,运用一些数值算例来验证本方法的准确性,并对基态和第一激发态在一维与二维的情形下分别进行计算。我们发现随着分数阶导数的增大或局部非线性相互作用的减小,基态和第一激发态变得更高和更窄。此外,通过数值研究基本谱间隙,验证了理论估计的正确性。本研究提供一种有效的数值计算方法,可推广到求解线性和非线性的Riesz空间分数阶偏微分方程中。第五章,我们考虑在亚音速极限参数区间下的Klein-Gordon-Zakharov(KGZ)系统(?)带有初值ψ(x,0)=ψ0(x),(?)tψ(x,0)=ψ1(x),φ(x,0)=φ0ε(x),(?)tφ(x,0)=φ1ε(x).我们通过一致最优准确的多尺度时间积分Fourier伪谱方法,研究带有无量纲参数0ε1且与声速成反比的KGZ系统。在亚音速极限参数区间下,即0ε1,KGZ系统的解依次以波长O(ε)和O(1)在时间和空间方向传播,并且由于波动算子在KGZ中的奇异扰动/初始数据的不相容性,快速向外传播的初始层以速度O(1/ε)在空间传播。首先,对方程基于频率和振幅作多尺度分解,通过对空间导数运用Fourier谱离散,在相空间中的每个时间步长上对时间导数使用指数型波积分器求解分问题,我们设计出了一种多尺度时间积分Fourier伪谱方法。其次,该方法是明确且易于实现的,大量的数值结果表明,MTI-FP方法在空间和时间都是最优收敛的,分别具有指数和二阶收敛速度,这与ε∈(0,1]时一致。本研究提供一种数值方法,其可应用于分析KGZ系统在亚音速极限下极限模型的收敛速度及二维KGZ系统波的动力学和相互作用。第六章,我们给出本文的工作总结,并对未来的研究进行展望。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O241.82

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