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《山东大学》 2005年
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A Mean Value Theorem for Automorphic L-functions

曲彦  
【摘要】:L-函数是一种生成函数,它的来源可以是算术几何,比如定义在数域上的椭圆曲线,或是自守形式。根据Langlands纲领,任何一个一般的L-函数都可以分解为GL_m/Q上的自守表示的L-函数的乘积。因此,GL_m/Q上的这些自守L-函数就是构建Langlands纲领大厦的砖瓦,因而具有非常深刻的理论意义。 本文中,我们将研究GL_2/Q上的全纯尖形式对应的自守L-函数。 我们首先考虑GL_1的情况。(?)(s)为Riemann-zeta函数,这里s=σ+it。Hardy和Littlewood研究了二次积分均值 (?)(T)=(1/T)integral from n=1 to T(|(?)(1/2+it)|~2dt), 并且证明了当T→∞时, (?)(T)~logT。(0.1) 这就是说|(?)(1/2+it)|~2的均值为logt。记γ≤γ~+为(?)(s)函数的连续零点的纵坐标,在Riemann猜想下,Conrey and Ghosh定义了离散均值 (?)(T)=1/(N(T)) sum from 0γ≤T to max γt≤γ+(|(?)(1/2+it)|~2), 并且证明了 (?)(T)~(e~2-5)/2 logT。(0.2) 这里N(T)是非显然零点ρ=1/2+iγ的个数,0γ≤T。这说明|(?)(1/2+it)|~2在临界情况下的均值为(e~2-5)/2logt。注意到(e~2-5)/2=1.1945…,大于1。所以,我们可以把公式(0.1)和(0.2)记做 (?)(T)~(e~2-5)/2(?)(T)。(0.3) 本文中,我们研究SL_2(Z)上的全纯尖形式f对应的自守L-函数L(f,s)。 Shandong University Master Dissertation 定义 J(f,T) :二一 T 厂卜(,,蚤+、亡)…’“ (0 .4) 在广义Riemann假设下,即侧f,s)的所有非显然零点都位于。二告上.记守三7+ 为L(f,,)的连续零点的纵坐标, 幻(了,刀二 1一l_/.1.、}‘ 两了万。落·级笋}乙气‘,百十’‘)}’‘。·5, 这里N(f,刀是L(f,s)的非显然零点p二合+行的个数,07三T.我们有 、(,,:)一丢,。g蒜+O(‘。gT,; (0 .6) 和经典的Riemann zeta函数的零点个数 N(:)一乒:。g乒+o(logT) 乙7T‘7TC 做比较. 我们有下面的结果 定理0.1.设侧了,s)为SLZ(蜀上的全纯尖形式f对应的自守L一函数,在广 义Riemann假设下, 习(f,T)~J(f,T)+乃(f,T), (0 .7) 这里 乃(f,T)= 州劲 弄109弄 二(忿卜艺_兴。。8(‘·而一普) 1介止‘ (0 .8) :(n)为依赖于f的某个常数. Shandong University Master Dissertation 这里到f,s)是2阶L一函数,而以s)阶为1.由(0.s),易知州f,s)比心(s) 研究起来更困难.在引理7.1中我们将证明 H(T)《Tl+‘. 遗憾地是,现在的方法不能得到(0.5)中H(刀的渐进公式.因此,我们在互7中将 给出一些探索性的讨论,给出 T《H(月《TlogZ工 以及如果H(T)阶为T10gZT,则有渐进公式H(刀~clTlogZT.我们提出了 猜想0.2.存在常数c全0 习(f,T)、(1+c)J(f,T). 常数。至多依赖于f的权k. 关键词:全纯尖形式,自守L-函数,广义Riemann猜想,广义Ramanujan猜想, 广义Lindel6f猜想
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2005
【分类号】:O174.52

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