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非线性数学期望

江龙  
【摘要】:期望效用理论是现代数理经济学的基础,但是诺贝尔经济学奖获得者Allais提出的著名的Allais悖论使得期望效用理论受到了很大的挑战。科学家们已经发现传统的期望效用理论的线性性—源于线性数学期望—是导致Allais悖论的主要原因。为了克服基于线性数学期望的期望效用理论在解释经济现象时的不足,许多数学家与经济学家致力于研究非线性数学期望,如法国著名数学家Choquet提出了Choquet期望理论.但Choquet期望和其它许多非线性期望一样在定义t时刻已知信息下的条件期望时遇到了实质性的困难,这个问题的存在使得他们的理论难以用于动态经济模型。彭实戈[1]通过倒向随机微分方程引入了g-期望与条件g-期望的概念,从而在一定的框架下建立了动态非线性数学期望理论的基础。特别是经过近年来的研究,科学工作者已经发现g-期望是研究递归效用理论与金融风险度量的有力工具。 为叙述方便,我们介绍如下记号。对于如下形式的倒向随机微分方程 yt=ζ+integral from n=t to T g(s, y_s, z_s)ds-integral from n=t to T z_s·dB_s, 0≤t≤T。(1)我们设g满足(A1):一致Lipschitz条件与(A2):平方可积条件。g被称为倒向随机微分方程(1)的生成元,(g,T,ζ)被称为倒向随机微分方程(1)的标准参数。我们将以(g,T,ζ)为标准参数的倒向随机微分方程(1)的惟一一对平方可积的适应解记为(Y_t(g, T, ζ),Z_t(g, T, ζ))t∈[0, T]。 如果g还满足(A3):g(t, y, 0)三0,那么将Y_0(g, T, ζ)记为ε_g[ζ]并称之为ζ的g-期望,将Y_t(g, T, ζ),记为ε_g[ζ|F_t],并称之为ζ的条件g-期望。 本文深入地研究了倒向随机微分方程特别是g-期望理论中的很多基本问题,并研究了它们在金融风险度量与金融资产定价中的应用。在以下方面取得显著进展: 一、第一章 建立了倒向随机微分方程生成元的一般表示定理 1.3.5(该工作的阶段性结果已发表于法国C.R.Acad.Sci.[33])。 该结果对本文第二、第三、第四章结果的获得具有关键性的影响。 为了研究倒向随机微分方程理论中的逆问题,Briand-Coquet-Hu-Mémin-Peng(2000)在假设g满足附加条件(g(t, y, z))t∈[0, T]关于时间t连续与E[sup_(0≤t≤T)|g(t, 0, 0)|~2]∞


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