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基于几何连续的曲线曲面延拓问题研究

周元峰  
【摘要】:参数多项式表示方法被广泛的应用到CAD及CAGD系统和自由曲线曲面的表示中,例如Bemstein-Bézier,Schoenberg-B-Spline和Hermite-Coons等。Bézier曲线是CAGD中最基本也是最重要的造型工具之一,有着广泛的应用背景,其中Bézier曲线曲面的应用尤为广泛。 在曲线曲面设计应用中,单独的一段参数曲线或者一片参数曲面的表示能力有限,如果所设计的曲线曲面形状比较复杂,就需要利用分片、分段技术进行表示,将多段曲线曲面光滑的拼接在一起,得到更为复杂的曲线曲面表示。用户经常遇到的一个问题是延长已知的参数曲线曲面延伸到一个给定的延伸点或一条给定的曲线,把所延长的曲线曲面段也用同次的参数曲线曲面表示,并要求曲线之间在拼接点处达到某种程度的光滑连续性。通过这种参数曲线曲面延拓方法可以使多段曲线曲面拼合在一起,从而可以表示更为复杂的曲线曲面形状。对于参数曲线曲面延拓问题,现在普遍使用的是利用参数连续性描述所拼接曲线曲面之间的光滑性。如果参数曲线曲面在拼接处达到了最高参数连续,则曲线曲面将不具有调整性,因此无法得到最为光顺的曲线曲面。 几何连续已经可以满足用户对于曲线曲面之间的光滑性要求,针对上述问题,本文提出了一种参数曲线曲面延拓的新方法,采用几何连续描述曲线曲面拼接点处的光滑性,从而为延长曲线曲面提供额外的自由度,克服了参数连续曲线曲面的不可调整性。本文分别用曲线弧长最短、能量最小、曲率变化率最小的近似表达式定义目标函数,通过极小化目标函数确定几何连续所提高的曲线曲面自由度,从而得到更为光顺的延拓曲线曲面,并分析了各个目标函数自由度的存在性问题。新方法具有计算量小,所得到的延伸曲线曲面更为光顺,并且具有更小的应变能和曲率变化率的优点。此外,也可以根据实际需要在所得到的自由度值的附近来继续调整曲线,或者把其中两种目标函数的加权和作为新的目标函数求解,以达到满意的效果,增加曲线调节的方便性。但是,本文所提到的三种近似公式所确定的目标函数并不是在任何情况下都能得到最好的效果,并且在某些情况下得不到自由度的解,这是我们以后要研究的问题。 由近似曲线弧长最短、能量最小、曲率变化率最小公式所确定的目标函数得


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