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关于图的哈密顿因子的若干结果

潘学军  
【摘要】:本文考虑的图若无特殊声明均为简单、无向有限图,对于一个图G=G(V(G),E(G)),我们用V(G)和E(G)分别表示图的顶点集合和边集合。对任意的v∈V(G),我们用d_G(v)表示顶点v在G中的度数。Δ(G)和δ(G)分别表示图G的最大度和最小度,对V(G)的子集S,用G-S表示从G中删去顶点集合S及其关联的边所得到的子图。若S={v},则令G-v=G-{v}。对E(G)的子集X,用G-X表示从G中删去边集合X所得的子图,若X={e},则G-{e}简记为G-e。若存在V(G)的两个不交子集X、Y,使得V(G)=X∪Y,且G的所有边均一个端点在X内,另一个端点在Y内,则称G为二部图,记为G=(X,Y,E(G))。如果|X|=|Y|,则称G为均衡二部图。 设g和f是定义在V(G)上的两个整数值函数,使对任意的v∈V(G)有0≤g(v)≤f(v)。若H是图G的一个支撑子图,且满足对任意顶点v∈V(H),g(v)≤d_H(v)≤f(v),那么我们就称H是图G的一个(g,f)-因子。如果对任意的v∈V(H)有g(v)=a、f(v)=b,则称G的(g,f)-因子为[a,b]-因子。若a=b=k,则此时称[a,b]-因子为k-因子,k=1时也称1-因子为完美对集。对于图G的一个因子,如果它同时包含G的一个哈密顿圈,我们就称该因子为G的一个哈密顿因子。图G的顶点数|V(G)|我们通常称为G的阶,一般用n来表示。如果图G的最小度δ(G)≥n/2,但对于G的任意一条边e,δ(G-e)<n/2,则称G为n/2-临界图。 设h是定义在图G的边集合E(G)上的一个函数,使对任意的e∈E(G)有h(e)∈[0,1]。对G中的任意顶点v,令d_G~h(v)=∑e∈E_vh(e),其中E_v={e:e=vw∈E(G)},则称d_G~h(v)是图G的顶点v的分数度,若h满足对任意的v∈V(G)有g(v)≤d_G~h(v)≤f(v),则称h为图G的一个分数(g,f)表示函数,令E~h={e:e∈E(G)且h(e)≠0},设G_h是图G的一个支撑子图而且满足E(G_h)=E~h,那么就称G_h为G的一个分数(g,f)-因子,称h是G_h的表示函数。同理,我们可定义分数[a,b]-因子、分数k-因子和分数哈密顿因子。 为了方便,对定义在V(G)上的任意函数f,我们记f(S)=∑v∈Sf(v),其中S(?)V(G)。


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