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抛物问题非重叠区域分裂有限差分法

李长峰  
【摘要】:数学物理及工程问题,如油气藏的勘探与开发,大型结构工程,天气预报等,无不归结为求解大型偏微分方程,面临着如何有效解决大规模科学计算的困难。众所周知,区域分裂能够降低运算时间和存储空间,可以有效的解决这一问题;其主要技巧是在不同子区域上解决不同子问题,各子问题需要一定的连续性条件,以便各局部解拟合成真解的近似解,一般分为重叠型和非重叠型两类方法。结合有限差分,有限元,谱或谱元方法,区域分裂在微分方程的数值逼近中越来越得到大家的重视。它源于1870年德国数学家H.A.Schwarz提出的著名的Schwarz交替法。随后Sobolev,Babu(?)ka,Courant和Hilbert等进一步研究了Schwarz方法的应用,到80年代,Dryja,Bramble,Lions,Meurant,Chan等提出区域分裂法并发展了其并行性,已在计算数学,工程界和其他应用领域得到广泛应用[32,54,55,57,58,59,60,61]。 非重叠区域分裂法将计算区域分解成多个不同的非重叠子区域,具有高度并行,更适合模型要求和网格剖分灵活的优点。内边界预处理算子是必须要考虑的,一般需附加三种形式的内边界条件:解的连续性条件(D-D),流量连续性条件(N-N),混合条件(D-N)。George,Liu,Dryja,Smith等在这方面做了很多工作,但各子问题的内边界要通过迭代处理(如AMS),计算比较复杂。为此,C.N.Dawson,T.F.Dupont,Q.Du和D.S.Daoud等[1,2,5,6,7,53,55]提出了一类显/隐非重叠区域分裂格式。与传统的Schwarz交替格式相比,由于内边界采用非迭代处理,因此显隐格式在计算方面和子问题信息传递方面更加有效,具有很好的应用前景。C.N.Dawson,T.F.Dupont,Q.Du等对热传导方程提出了一种易并行且精度高的区域分裂显隐差分格式,并得到了最优l~∞模估计;并对Neumann边值问题提出了显隐守恒Galerkin方法和块中心区域分裂格式,并给出了相应的理论结果。[4]对一维抛物问题块中心格式给出最优l~2模估计,但对二维问题只给出了次最优阶收敛性分析。G.W.Yuan,X.Cui等[50,51]对一般抛物问题提出新的差分格式,并给出了最大模次最优阶估计:O(△t+h~2+H~2)。显隐格式在内边界处采用了显格式预处理,不需迭代计算,而在各子区域内采用隐格式并行计算;显然内边界格式的显性会引入一定稳定性条件,为此显格式的空间步长一般取的较大(H>h),比起全局显格式的稳定性条件弱化了很多。 在导师袁益让的指导下,本文作者对非重叠区域分裂显隐差分法做了部分研究工作。在C.N.Dawson和T.F.Dupont等工作基础上,结合M.F.Wheeler[44],R.E.Ewing,R.D.Lazarow[29,30]和J.Douglas Jr.,T.F.Russell[11,15,33,39]等提出


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