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《山东大学》 2007年
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分数阶微积分在量子力学和非牛顿流体力学研究中的某些应用

郭霄怡  
【摘要】: 本论文由彼此相关的而又独立的五章组成。第一章为序言,简要介绍了本文所需的数学工具,即分数阶微积分理论和某些特殊函数。在§1.1节中,简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用,分别给出了Riemann-Liouville(R-L)分数阶积分算子_0D_t~(-β)、分数阶微分算子_0D_t~β(0<Reβ<1)、Caputo分数阶导数D_*~α和Riesz/Weyl分数阶导数_(-∞)D_x~μ(μ>0)的定义和重要性质,并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换。在§1.2节中,简单介绍了广义Mittag-Leffler函数E_(α,β)(z)的定义及其某些重要公式。在§1.3节中,给出了H-Fox函数的定义、级数表达式及其基本性质,并讨论了H-Fox函数的特例及其Fourier正弦和余弦积分变换。Fox函数是求解分数阶微分方程的有力工具。本章是后面各章的基础。 第二章讨论了分数阶微积分在量子力学中的应用,主要研究了一维空间分数阶Schr(?)dinger方程的一些应用。首先,§2.2节给出了自由粒子满足的分数阶Schr(?)dinger方程 并利用积分变换和H-Fox函数及其性质求得自由粒子的波函数: §2.3节求解了如下的无限深方形势阱 中粒子的波函数和能级分别为: §2.4节讨论并求得了粒子贯穿如下方形势垒 的贯穿系数和反射系数分别为: 还讨论了具有能量E的粒子通过方形势阱的情形。第二章的最后我们讨论了量子散射问题中与分数阶Schr(?)dinger方程 等价的广义的Lippmann-Schwinger积分方程 并同样利用H-Fox函数及其性质确定了其Green函数的形式: 在第三章中,我们对比广义Oldroyd-B流体的本构关系:引入了修正的现象逻辑学的分数阶导数描述的Darcy定律: 在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上,研究了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体在多孔介质中的涡流运动模型: 我们利用分数阶导数的Laplace变换和Hankel变换,以及广义的Mittag-Leffler函数,分别给出了涡流速度场和温度场的精确解: 特别得,当η=0时,(17)式简化为广义Oldroyd-B流体在非多孔介质中的涡流速度场的解;而当α=1,β=1时,(17)式化为经典Oldroyd-B流体通过多孔介质的涡流速度场的解。当α=0,λ→0,η=0时,我们便得到广义二阶流体的涡流速度场的解,该结果与沈等人的结果一致,并包含了过去的经典结果作为其特例。 第四章在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上,研究了广义Oldroyd-B流体在多孔介质中由于平板的突然启动而引起的流动:即Stokes第一问题。运用Laplace变换和Fox函数的性质,给出了该问题的速度精确解: 特别地,当η=0时,上述结果就退化为非多孔介质中的广义Oldroyd-B流体的Stokes第一问题的解;当α=1,β=1可得到多孔介质中整数阶Oldroyd-B流体的相关结果;当α=0,λ=0时,可得到多孔介质中广义二阶流体的相关结果;当β=0,λ_t=0时,得到多孔介质中广义二阶流体的解。 第五章中讨论了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型: 应用Laplace变换和Weber变换,以及广义Mittag-Leffler函数,我们得到了该问题的精确解: 其中A(λ_i,t)=L~(-1) 特别地,当α=β=1时,该模型简化为经典Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型;当β=0,λ_t→0时,结果即为广义Maxwell流体的非定常Couette流的解;当α=0,λ→0时,结果即为广义二阶流体的非定常Couette流的解;当α=0,λ=0,β=0,λ_t=0时,该结果简化为Newtonian粘性流体的非定常Couette流的经典解。
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