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《山东大学》 2007年
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MORTAR有限体积元方法及多孔介质中两相流的分相流动形式的研究

曹玉翡  
【摘要】: 随着计算数学的快速发展,采用区域分裂思想的离散方法正成为解决具有复杂区域或复杂过程的现实生活问题的强有力的工具,且能对大规模问题进行高性能计算.Mortar有限元方法就是其中一种区域分裂方法,它允许不同的物理模型、数值格式和不匹配网格在计算区域的内交接面处的耦合.这为近似带有剧烈变化的扩散系数、局部各向异性或奇异性、以及在不同子区域上主导过程不同(例如对流占优或扩散占优过程)的问题提供了优势. 该方法最早由Bernardi、Maday和Patera在[12]中对Possion问题提出,是一种把有限元近似和谱元近似结合起来的新技术.Belgacem和Maday在[9]中将其推广到三维情形.在不失稳定性的情况下,放宽子区域顶点处的连续性限制,[12]中的原方法发展成如今被广泛使用和分析的标准mortar有限元方法.标准方法包含两种形式:非协调的正定形式,例如Marcinkowski[47]或[48];和鞍点形式,它由Belgacem在中提出,也被称作带有Lagrange乘子的mortar有限元方法.在[66]中,Wohlmuth提出了更易于在交接面实施匹配条件的修正的Lagrange乘子空间,即对偶空间.具体内容,参见Wohlmuth[67]. 最初,mortar有限元方法是基于计算区域的非重叠子区域的分解构造的.该区域分解有两种形式:几何协调形式,即在二维情形下两个不同的闭子区域的交集是空集、一个顶点或是一条边,见Figure 2(左);否则,是几何非协调形式,见Figure 2(右).此外,Cai等在[18]中考虑了重叠子区域的情形.求解由mortar有限元方法得到的代数系统的不同算法可参见Achdou、Maday和Widlund[2],Casarin和widlund[23],Gopalakrishnan和Pasciak[37],Wohlmuth[68]等. 另外,mortar有限元还可以与自适应方法结合,例如Bergam等[10],Bernardi和Hecht[11];与有限体积元方法结合,如Ewing等[35],Bi和Li[13];与混合有限元方法结合,参见Arbogast等[4],Wheeler和Yotov[65]等.本篇论文中,我们在第一章着重研究基于鞍点形式的mortar有限体积元方法,在第二章中研究基于非协调正定形式的mortar有限体积元方法. 有限体积元方法是一种可以局部保持原问题的物理守恒律的离散技巧.因此它在计算流体力学中很受欢迎,因为该领域研究的偏微分方程产生于质量、动量和能量守恒律.与早期的有限体积法相比,有限体积元方法结合了有限差分法和有限元方法的技巧,可用于一般的三角形和四边形网格,且允许更一般的控制体积的构造(例如:[19,20,29,36,41,45])。它综合了两种方法的优点,包括简单的离散格式、良好的精确性和离散的局部质量守恒,一个对许多应用问题非常重要的性质. 本篇论文的研究目的和结构如下. 多孔介质流问题广泛出现于我们的日常生活中,从污水处理、纸张(尿片、女士卫生巾等)制造、石油开采、深层地质岩层中的二氧化碳贮藏到医学领域,如人体内血液流动过程的研究.这些问题引起许多研究人员(来自工程、数学、物理、生物等领域)的兴趣,因为对它们的解决技巧的改善与我们的生活质量息息相关. 一方面,mortar有限元方法因其灵活性和进行大规模并行计算的潜力而成为研究热点.例如,地下水流动所处的多孔介质通常情况下是非均匀的土壤.非均匀性对流动行为和过程有着重要的影响.然而,很难用标准的协调数值方法描述非均匀性.因此,mortar有限元方法被用来解决这一困难,即把具有不同渗透率的整个区域上的非均匀问题分解为具有同一种土壤性质的子区域上的均匀子问题,对不同子问题可采用适当的离散技巧. 另一方面,有限体积元方法在计算流体力学领域很受欢迎,因为它可保持原问题的性质,即满足离散的局部质量守恒,这对许多应用的离散方法而言是最重要的特性. 鉴于以上两个原因,本文的第一个目的是对简单模型研究mortar有限体积元方法,包括第一章中的稳态椭圆问题和第二章中的与时间相关的抛物问题.进而,我们可以在将来的工作中基于对简单模型的理论分析考虑采用该方法来处理多孔介质流的应用问题,因为mortar有限体积元方法的灵活性和局部守恒性的优势结合对这些应用非常具有吸引力. 本文的第二个研究目的源于把mortar有限体积元方法应用到多孔介质中的多相流问题,起初,应用到两相流问题的想法.对两相流有两种主要的数学形式.一种是完全耦合形式;另一种是分相流动形式,它由两个弱耦合方程组成——椭圆或抛物的压力方程和对流-扩散的饱和度方程,具体请见第三章.近年来,有大量文献致力于椭圆(如:Marcinkowski[47],Belgacem[8])、抛物(如:Chen和Xu[27],Bergam等[10])和对流-扩散问题(如:Bourgault和Boukili[14],Achdou[1])的mortar有限元方法的研究.但是,我们目前没有见到针对完全耦合形式中的强耦合、抛物型方程组的mortar有限元方法的存在.所以,在本文第三章,为了起初保持模型简单,我们考虑并研究了在一定假设下的两相流的分相流动形式.实际上,对分相流动形式的全面理解将有助于我们在今后的工作中对多孔介质流问题建立适当的mortar有限体积元方法.于是我们对分相流动形式的比较研究给出一个具体的研究动机.基于第三章的局部动机,根据两种不同数学形式的区别,我们对分相流动形式提出了更多的自适应可能性.此外,将分相流动形式和采用间断Galerkin方法的飞行时间的计算相结合,给出弱耦合系统的另一个应用. 全文共分三章. 第一章着重研究二阶椭圆边值问题基于局部协调P_1有限元的带有Lagrange乘子的mortar有限体积元方法的精确性.这里,我们分析了Ewing等在[35]中提出的一种mortar有限体积元格式,该格式仅在各子区域上采用有限体积元近似,而在交接面上采用Lagrange乘子的有限元法.我们陈述并严格证明了两个主要的理论结果.一是给出格式的一般L~2模误差估计,它说明了离散解的收敛率对精确解和源项f的正则性的依赖.Ewing等在[35]中仅给出L~2模误差的一些数值实验,但没有证明.我们的分析表明只有当f∈H~β且β≥1时,误差估计才能达到最优.由于有限体积元方法的构造,对f额外的光滑性要求是必要的.二是在最小正则性假设下给出离散解的一致收敛.我们目前还没有见到针对mortar有限体积元方法的一致收敛性的研究.这一章的结果已经在Cao和Rui[21]中发表. 在第二章,我们对抛物问题构造并分析了两种全离散的对称mortar有限体积元格式,即在空间上采用基于非协调的Crouzeix-Raviart(CR)元的mortar有限体积元离散,在时间上采用向后Euler或Crank-Nicolson离散.Bi和Li在中对椭圆问题提出了基于CR元的mortar有限体积法,然而,我们目前还没有见到针对抛物问题的此类结果.此外,我们提出的两个格式是标准mortar有限体积元方法的修正,即满足离散代数系统的对称性.这一性质很重要,因为求解大规模线性代数方程组的许多有效算法,例如共轭梯度法,都依赖于离散代数系统的对称性,且在许多情况下,该性质是交互作用的基本物理原理.为了得到离散格式的误差估计,我们给出一个Ritz投影算子和一个对称的mortar有限体积元算子,并建立了一些辅助引理,以获得收敛性分析所需的两个算子的性质.在本章的最后一节,陈述并证明了两个主要的定理,即定理2.1和定理2.2,它们分别对向后Euler和Crank-Nicolson对称mortar有限体积元格式给出最优的离散L~2(H~1)模误差估计. 第三章针对多孔介质中两相流的分相流动形式给出系统的和比较的研究,这些研究结果将作为技术报告发表于Cao等[22]. 在§3.1节,我们陈述了本章的研究动机和目的. §3.2节针对两相流描述了物理背景的基本概念和两种主要的数学形式(完全耦合形式和分相流动形式),并对两种形式分别给出基于以顶点为中心的有限体积元方法的隐格式和IMPES(隐式压力-显式饱和度)格式. 鉴于完全耦合(FC)和分相流动(FF)形式的区别,我们在§3.3节对FF系统提出更多的自适应可能性.首先,综述了已发展起来的不同自适应技巧.然后对分相流动形式提出一些结合不同技巧的新想法,其中包括三个主要的策略:一是对压力和饱和度方程使用不同的离散网格;二是将误差指示子与误差估计子相结合,从而平衡整个区域上的整体误差,同时节省求解时间;三是运用Peclet数控制离散格式中的迎风方法,并自适应地变动离散网格. 在§3.4节,我们给出均匀多孔介质中两相流的一维和二维检验实例,并对模拟实验的精确性和求解时间都进行了数值研究.我们首先对每个数学形式中的两个方程采用相同的均匀网格进行数值模拟.比较两种数学形式的数值结果证明FF形式对对流占优的两相流问题的求解更有效.同时,我们也对分相流动形式采用不同的均匀网格作了数值模拟,以研究其可行性. §3.5节将分相流动形式与飞行时间(TOF)的计算相结合,给出两个现实生活中的应用,且这两个新颖的应用对地下水问题具有重要的实用价值.这里,我们对TOF方程采用并描述了间断Galerkin方法.数值模拟给实际应用提供了直接的信息,而这些应用仅对两相流的分相流动形式是可行的.
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O357.3;O359

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