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《山东大学》 2007年
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SPDE的平稳解以及无穷区间上的倒向重随机微分方程

张奇  
【摘要】: 本文研究了SPDE的平稳解的存在性。我们首次将无穷区间上的倒向重随机微分方程(BDSDE)的解与SPDE的平稳解联系起来。为此,我们证明了有限区间以及无穷区间上满足Lipschitz条件的非线性BDSDE在L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间中的解的存在唯一性,从而得到所对应SPDE的初值问题的弱解和平稳弱解(与初值无关)。我们同样考虑了含有非Lipschitz项的一类有限区间以及无穷区间上的BDSDE在L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间中的解。另外,我们验证了实值BDSDE的解对时间变量和空间变量的连续性,从而得到实值SPDE的平稳随机粘性解。我们相信SPDE的平稳弱解与BDSDE之间的联系无论是在SPDE领域还是在BSDE领域都是一个令研究者感兴趣的问题。 本文有以下五章构成: 第一章引言介绍了随机动力系统平稳解的问题。令u:[0,∞)×U×Ω→U是可测空间(U,B)和度量动力系统(Ω,(?),P,(θ_t)_(t≥0))上的一个可测随机动力系统,则一个平稳解是一个(?)可测的随机变量Y:Ω→U使得(Arnold[1]) u(t,Y(ω),ω)=Y(θ_tω)对所有t≥0 a.s.成立。 我们紧接着给出一个简单但不平凡的随机动力系统的例子,Ornstein-Uhlenbeck过程。需要指出的是一个轨道平稳解描绘了平稳解的轨道沿可测的且P保持不变的变量θ_t:Ω→Ω对时间的不变性以及随机动力系统的解的轨道极限。由于外部的随机扰动的时刻存在,相对于确定性的动力系统而言,由例如随机微分方程(SDE)或随机偏微分方程(SPDE)产生的随机动力系统的平稳解的存在性是一个困难和棘手的问题。我们在第一章中指出关于随机动力系统的平稳性和不变流形的研究很广泛,研究者通常假设存在一个不变集合(或者单点:一个平稳解或者一个固定点,经常假设为0),然后在这个不变集合的一个点上证明不变流形和平稳性的结果(Arnold[1]以及其上的参考文献,再比如Ruelle[48],Duan,Lu和Schaumulfuss[18],[19],Li和Lu[31],Mohammed,Zhang和Zhao[38]等等)。但是不变流形的理论既没有给出不变集合和平稳解的存在性结果,又没有给出一种寻找它们的办法。尤其是SPDE平稳解的存在性结果,仅在很有限的一些情况下能够得到([13],[20],[38],[50],[51])。在[50],[51]中,Sinai使用Hopf-Cole变换得到了含有周期的或者随机的扰动(空间变量是C~3)的随机Burgers方程的平稳强解。在[38]中,验证了随机进化方程的平稳解是它所对应的无穷区间上的积分方程的解,因而Mohammed,Zhang和Zhao能够得出某些特定的SPDE平稳解存在的结论。但是一般来说这样的随机积分方程的解的存在性难以得到。 本文将研究下面形式的SPDE dv(t,x)=[(?)v(t,x)+f(x,v(t,x),σ~*(x)Dv(t,x))]dt+g(x,v(t,x),σ~*(x)Dv(t,x))dB_t。这里B是可分的Hilbert空间U_0中的圆柱上的双向布朗运动。这个SPDE的形式很广泛,特别是当我们考虑它的弱解的时候,非线性函数f和g含有▽v并且二阶偏微分算子(?)可以是退化的,然而在大多数文献里,g不依赖于▽v或者g仅线性的依赖于▽v(Da Prato和Zabczyk[16],Gy(?)ngy和Rovira[23],Krylov[27],Mikulevicius和Rozovskii[37],Pardoux[41])。作为研究这个SPDE平稳解过程中的一步,我们还得到了另外一个结果,即在空间Lipschitz条件下通过求解对应的BDSDE得到了这个SPDE的弱解的存在唯一性。 在第一章中,我们还解释了为什么本文中我们所研究的平稳解支持它所对应的不变测度,因而相比不变测度它给出了更多的信息。 BDSDE是我们研究SPDE平稳解的工具,我们将证明对应的无穷区间上的BDSDE的解给出了我们所求的SPDE的平稳解,因此在第一章中我们简单的回顾了自1990年Pardoux和Peng开创性的工作[42]以来BSDE和BDSDE领域的发展。 据我们所知,在本文中我们建立的SPDE和无穷区间上的BDSDE的轨道平稳解之间的联系是一个获得平稳解的新方法。 第二章SPDE和BDSDE之间的平稳解的对应给我们展示了如何通过SPDE所对应的BDSDE得到SPDE的平稳解。为此,我们对广泛的BDSDE的解运用“完善化程序”。 定理2.2.4.假设在Hilbert空间H中,下面的BDSDE有唯一解(Y,Z),则在条件(A.2.1)和(A.2.2)下,(Y_t,Z_t)_(t≥0)是一个“完善”的平稳解,即 (?)_r○Y_t=Y_(t+r),(?)_r○Z_t=Z_(t+r)对所有r,t≥0 a.s.成立。而推广的等价范数准则是Kunita([28]),Barles和Lesigne([4]),Bally和Matoussi([3])文章中的等价范数准则在随机函数情况下的简单推广,它在本文的分析中起着重要作用。 引理2.3.3.(推广的等价范数准则)如果s∈[t,T],ψ:Ω×R~d→R~1是(?)_(t,s)~W独立的,且ψρ~(-1)∈L~1(Ω(?)R~d),则存在两个常数c>0和C>0使得另外,如果Ψ:Ω×[t,T]×R~d→R~1,Ψ(s,·)是(?)_(t,s)~W独立的,且Ψρ~(-1)∈L~1(Ω(?)[t,T](?)R~d),则然后我们以弱解为例,通过“完善化程序”和“推广的等价范数准则”将平稳性质由BDSDE传递到对应的SPDE。 定理2.3.13.在条件(A.2.1)′-(A.2.4)′下,对任意T以及t∈[0,T],令v(t,·)(?)Y_(T-t)~(T-t,),其中(Y_·~(t,·),Z_·~(t,·))是下面BDSDE在L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间中的解,其中对任意s≥0,(?)_s=B_(T-s)-B_T。则v(t,·)是下面SPDE dv(t,x)=[(?)v(t,x)+f(x,v(t,x),σ~*(x)D_v(t,x))]dt+g(x,v(t,x),σ~*(x)Dv(t,x))dB_t的“完善”的平稳弱解。 第三章SPDE的平稳弱解目标在于研究取值于L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间的BDSDE和它对应的SPDE的平稳弱解。一个必要的中间环节是研究有限区间上的BDSDE并建立它的解与SPDE弱解之间的联系。我们研究有限区间上的BDSDE在L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间中的解的方法是受Bally和Matoussi研究方法的启发,他们研究了有限区间上的有限维布朗运动驱动的BDSDE解的存在唯一性([3])。但是我们的结果更强而条件更弱。我们将在L_ρ~2(R~d;R~1)空间上的Lipschitz条件下求解圆柱上的布朗运动驱动的非线性BDSDE。我们得到唯一解(Y_·~(t,·),Z_·~(t,·))∈S~(2,0)([t,T];L_ρ~2(R~d;R~1))(?)M~(2,0)([t,T];L_ρ~2(R~d;R~d))。相比[3]中的结果,我们更进一步得到了Y_·~(t,·)∈S~(2,0)([t,T];L_ρ~2(R~d;R~1)),它在解决非线性BDSDE和证明BDSDE与SPDE(或BSDE与PDS)弱解的联系上起着重要作用.我们相信它是研究有限区间上的BDSDE和BSDE的一个新结果。我们所得到的有限区间上的无穷维噪声驱动的BDSDE的主要结果是 定理3.1.2.在条件(H.3.1)-(H.3.4)下,下面取值于L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间的BDSDE有唯一解。这类BDSDE与它所对应的有限区间上的无穷维噪声驱动的SPDE之间的联系在下面定理中建立起来。 定理3.2.3.在条件(H.3.1)-(H.3.4)下,如果我们定义u(t,x)=Y_t~(t,x),其中(Y_s~(t,x),Z_s~(t,x))是定理3.1.2中BDSDE的解,则u(t,x)是下面SPDE的唯一弱解。另外, u(s,X_s~(t,x))=Y_s~(t,x),(σ~*▽u)(s,X_s~(t,x))=Z_s~(t,x)对a.e.s∈[t,T],x∈R~d a.s.成立。利用有限区间上的BDSDE的结果,我们证明了无穷区间上取值于L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间的BDSDE解的存在唯一性。 定理3.3.1.在条件(H.3.4)-(H.3.7)下,下面取值于L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间的BDSDE有唯一解。我们在定理2.3.13中得到了对应的SPDE的平稳弱解,然而在证明定理2.3.13的过程中,用到了下面两个未证明的用于得到SPDE解的连续性的定理。我们在这章中证明了它们。 定理2.3.10.在条件(A.2.1)′-(A.2.4)′下,定理2.3.13中的BDSDE有唯一解(Y_s~(t,x),Z_s~(t,x))。且E[sup_s≥0∫_R~d e~(-pKs)|Y_s~(t,x)|~pρ~(-1)(x)dx]<∞。 定理2.3.11.在条件(A.2.1)′-(A.2.4)′下,令u(t,·)(?)Y_t~(t,·),其中(Y_·~(t,·),Z_·~(t,·))是定理2.3.13中的BDSDE的解。则对任意T以及t∈[0,T],u(t,·)是下面SPDE的弱解。的弱解。且u(t,·)在L_ρ~2(R~d;R~1)空间中是关于t a.s.连续的。 第四章非Lipschitz条件进一步讨论了取值于L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间的含有线性增长的非Lipschitz项的非线性BDSDE和它对应的SPDE。除了利用单调性条件,我们还利用了Lepeltier和San Martin的结果得到下面的命题,这个命题在证明有限区间上的含有非Lipschitz项的BDSDE的结果中起着重要作用。 命题4.2.4.给定(U_·(·),V_·(·))∈S~(2,0)([0,T];L_ρ~2(R~d;R~1))(?)M~(2,0)([0,T];L_ρ~2(R~d;R~d)),则在条件(H.4.1)-(H.4.7)下,下面取值于L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间的BDSDE有唯一解。 于是按照与第三章类似的程序,我们建立起有限区间上的BDSDE在L_ρ~2(R~d;R~1)(?)L_ρ~2(R~d;R~d)空间中的解和SPDE的弱解之间的联系。然后,我们求解无穷区间上的BDSDE并且研究解的连续性。尽管在这章中我们使用非Lipschitz条件来减弱第三章中所使用的Lipschitz连续条件,但由于程序上的相似性,这里不打算列出所有结果,仅仅给出这章中在非Lipschitz条件下得到SPDE平稳弱解的最终定理。 定理4.1.4.在条件(A.4.1)′-(A.4.6)′下,对任意T以及t∈[0,T],令v(t,·)(?)Y_(T-t)~(T-t,·),其中(Y_·~(t,·),Z_·~(t,·))是定理2.3.13中的BDSDE的解。则v(t,·)是定理2.3.13中的SPDE的“完善”的平稳弱解。 第五章SPDE的平稳随机粘性解展示了如何通过实值的BDSDE和SPDE的随机粘性解之间的联系得到SPDE的平稳随机粘性解。我们首先回顾了Buckdahn和Ma通过Doss-Sussmann变换定义SPDE的随机粘性解的方法,然后我们证明了一般形式的无穷区间上实值BDSDE解的存在唯一陛。 Theorem 5.2.4.在条件(H.5.1)-(H.5.3)下,下面的BDSDE有唯一解 (Y.,Z.)∈S~(p,-K)([0,∞);R~1)∩M~(2,-K)([0,∞);R~1)(?)M~(2,-K)([0,∞);R~d)。 相比弱解,我们在研究随机粘性解时需要更多的信息。我们需要考虑的不仅有BDSDE的解对时间变量的连续性,还要有对空间变量的连续性。 命题5.3.2.在条件(A.5.1)-(A.5.4)下,令(Y_s~(t,x))s≥0是下面BDSDE的解,则对任意T,t∈[0,T],x∈R~d,(t,x)→Y_t~(t,x)是a.s.连续的。当实值的BDSDE和SPDE的随机粘性解之间的联系建立起来以后,解对空间变量的连续性和对时间变量的连续性由BDSDE传递到SPDE。 定理5.3.3.在条件(A.5.1)-(A.5.4)下,对任意T,t∈[0,T],x∈R~d,令v(t,x)(?)Y_(T-t)~(T-t,x),其中(Y_s~(t,x),Z_s~(t,x))是命题5.3.2中的BDSDE的解。则v(t,x)关于t和x连续且是下面SPDE的随机粘性解。 利用“完善化程序”,我们得到SPDE的平稳随机粘性解。 定理5.3.4.在条件(A.5.1)-(A.5.4)下,对任意T以及t∈[0,T],令v(t,x)(?)Y_(T-t)~(T-t,x),其中(Y_s~(t,x),Z_s~(t,x))是命题5.3.2中的BDSDE的解。则v(t,x)是定理5.3.3中的SPDE的“完善”的平稳随机粘性解。 最后我们指出,尽管第四章中的技术可以类似的应用到研究含有线性增长的非Lips-chitz项的SPDE的随机粘性解的问题中,但在这章中我们不打算包括这方面的分析而仅仅处理满足Lipschitz条件的情况。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O211.63

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